ทฤษฎีบทลำดับชั้นสำหรับขนาดวงจร

ฉันคิดว่าทฤษฎีบทลำดับชั้นขนาดสำหรับความซับซ้อนของวงจรอาจเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในพื้นที่

มันเป็นวิธีที่น่าสนใจในการแยกชั้นเรียนหรือไม่?

แรงจูงใจของคำถามคือเราต้องพูด

มีฟังก์ชั่นบางอย่างที่ไม่สามารถคำนวณได้ตามขนาดวงจรและสามารถคำนวณได้โดยมีขนาดวงจรที่(n)) (และอาจเป็นสิ่งที่เกี่ยวกับความลึก)$f(n)$$g(n)$$f(n)<o(g(n))$

ดังนั้นถ้าทรัพย์สินดูเหมือนจะผิดธรรมชาติ (มันละเมิดเงื่อนไขความใหญ่โต) เห็นได้ชัดว่าเราไม่สามารถใช้เส้นทแยงมุมได้เพราะเราไม่ได้อยู่ในสภาพที่เหมือนกัน$f(m)g(n) \leq n^{O(1)}$

มีผลในทิศทางนี้หรือไม่?

ในความเป็นจริงมันเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกเล็กพอ (น้อยกว่า ) มีฟังก์ชั่นที่คำนวณได้จากวงจรขนาดแต่ไม่ใช่โดยขนาดหรือแม้กระทั่งขึ้นอยู่กับประเภทของประตูที่คุณอนุญาต2 n / n f ( n ) f ( n ) - O ( 1 ) f ( n ) - $f$$2^n/n$$f(n)$$f(n)-O(1)$$f(n)-1$

นี่คือการโต้แย้งง่ายๆที่แสดงให้เห็นว่ายังมีฟังก์ชั่นคำนวณขนาดแต่ไม่ได้ขนาด(n)f ( n ) - O ( n $f(n)$$f(n)-O(n)$

เรารู้ว่า:

1. มีฟังก์ชั่นที่ต้องมีความซับซ้อนวงจรอย่างน้อยและโดยเฉพาะอย่างยิ่งความซับซ้อนของวงจรมากกว่า(n)2 n / O ( n ) f ( n $g$$2^n/O(n)$$f(n)$
2. ฟังก์ชันดังนั้นสำหรับอินพุตทุกตัวสามารถคำนวณได้โดยวงจรขนาดคงที่z ( x ) = 0 $z$$z(x)=0$$x$
3. ถ้าสองฟังก์ชั่นและแตกต่างกันเฉพาะในการป้อนข้อมูลแล้วของพวกเขาแตกต่างวงจรซับซ้อนโดยที่มากที่สุดg 2 O ( n $g_1$$g_2$$O(n)$

สมมติว่าไม่ใช่ศูนย์ในอินพุตโทรปัจจัยการผลิตเช่นx_1,เราสามารถพิจารณาสำหรับแต่ละฟังก์ชันซึ่งเป็นฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้ของชุด ; จึงและกรัมN x 1 , … , x Nฉันg i ( x ) { x 1 , … , x i } g 0 = 0 g N = $g$$N$$x_1,\ldots,x_N$$i$$g_i(x)$$\{ x_1,\ldots,x_i \}$$g_0=0$$g_N=g$

เห็นได้ชัดว่ามีบางเช่นว่ามีความซับซ้อนวงจรมากกว่าและมีความซับซ้อนน้อยกว่าวงจร(n) แต่แล้วมีความซับซ้อนน้อยกว่าวงจรแต่กว่า(n)g ฉัน+ 1 f ( n ) g ฉัน f ( n ) g ฉัน f ( n ) f ( n ) - O ( n $i$$g_{i+1}$$f(n)$$g_i$$f(n)$$g_{i}$$f(n)$$f(n) - O(n)$

ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้อาร์กิวเมนต์การนับง่าย ๆ พิจารณาฟังก์ชันสุ่มนำไปใช้ครั้งแรกบิตของท่าน ฟังก์ชั่นนี้เกือบจะมีความซับซ้อนของวงจรโดย Riordan และ Shannon การนับการโต้แย้งและการจับคู่ขอบเขตบน ดังนั้นการเลือกเพื่อให้ เราสามารถแยกแยะความแตกต่างขนาดจากขนาด(n) โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นที่เป็นปัญหาไม่จำเป็นต้องคำนวณแม้กระทั่ง แต่เราสามารถใส่ไว้ในลำดับชั้นเวลาชี้แจงโดยเทคนิคมาตรฐาน (ตราบใดที่เราสามารถคำนวณค่าที่เหมาะสมของ ) แน่นอนว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีข้อ จำกัด มากกว่า( 1 + o ( 1 ) ) ( 2 k / k ) k 2 g ( n ) < 2 k / k < f ( n ) / 2 g ( n ) f ( n ) k 2 n /$k$$(1+o(1))(2^k/k)$$k$$2g(n) < 2^k/k < f(n)/2$$g(n)$$f(n)$$k$$2^n/n$เพราะนั่นคือความซับซ้อนวงจรกรณีที่เลวร้ายที่สุดของฟังก์ชั่นใด ๆ

การพิสูจน์ตามธรรมชาติไม่สามารถใช้กับการโต้แย้งประเภทนี้ได้เนื่องจากคุณสมบัติในคำถามคือ `` ไม่มีวงจรขนาดเล็ก '' ซึ่งไม่สามารถคำนวณได้ง่ายจากตารางความจริงของฟังก์ชัน (สมมุติ) ยังไม่ชัดเจนว่าระดับความซับซ้อนในการนับประเภทนี้มีน้อยเพียงใด มีเหตุผลใดที่เราไม่สามารถใช้อาร์กิวเมนต์การนับเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับหรือไม่? ไม่ใช่ที่ฉันรู้ $NE$