การตัดสูงสุดแบบยุคลิดในขนาดต่ำ

$x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

ตัวอย่างที่เลวร้ายที่สุดที่ฉันสามารถที่จะหาคือ 3 จุดบนรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งประสบความสำเร็จใน3 โปรดทราบว่าการแบ่งแบบสุ่มจะสร้างแต่ดูเหมือนชัดเจนโดยสัญชาตญาณว่าในมิติที่ต่ำหนึ่งสามารถจัดกลุ่มได้ดีกว่าการสุ่ม $\frac 2 3$ $\frac 1 2$

จะเกิดอะไรขึ้นสำหรับ max-k-cut สำหรับ k> 2 ขนาด d> 2 เป็นอย่างไร? มีกรอบในการตอบคำถามเหล่านี้หรือไม่? ฉันรู้เกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันของ Cheeger แต่สิ่งเหล่านั้นนำไปใช้กับการตัดแบบกระจาย (ไม่ใช่การตัดสูงสุด) และใช้ได้กับกราฟปกติเท่านั้น

(คำถามได้รับแรงบันดาลใจจากปัญหาการจัดกลุ่มแหล่งกำเนิดแสงในคอมพิวเตอร์กราฟิกส์เพื่อลดความแปรปรวน)

— Milos Hasan
แหล่งที่มา

มีการประมาณ 1-2 / k อย่างง่ายสำหรับ Max k-Cut และสำหรับ k> 2 คุณสามารถหารอยตัดขนาดใหญ่ได้ดี แต่สำหรับ k = 2 คุณสามารถดูwww-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdfและหัวข้อที่เกี่ยวข้องฉันคิดว่าถ้าคุณพบว่าการตัดที่ดีที่มีความน่าจะเป็นสูงคุณสามารถพูดได้ว่ามีการตัดด้วย 2/3 หรือไม่อย่างน้อยช่วงความเป็นไปได้จะถูก จำกัด

— Saeed

โปรดทราบว่าฟังก์ชันน้ำหนักนี่คือระยะทางยูคลิด SQUARED ซึ่งไม่ใช่ตัวชี้วัด

— Suresh Venkat

ฉันเดาว่า max cut มี ptas หรืออาจเป็นอัลกอริทึม polytime สำหรับกรณีเหล่านี้ แต่คำถามเฉพาะนั้นน่าสนใจมาก เห็นได้ชัดว่าอะไรคือการตัดสูงสุดเมื่อจุดยอดมีระยะห่างเท่ากันตลอดวงจรและตัวอย่างในคลาสนี้ที่ลดการตัดสูงสุดเป็นสามจุดยอดที่เท่ากัน? เนื่องจากอาจมีข้อโต้แย้งที่แสดงให้เห็นว่าการกำหนดค่าของคะแนนทุกรายการสามารถแปลงเป็นการกำหนดค่าแบบ 'สมมาตร' โดยไม่เพิ่มอัตราส่วนของการตัดสูงสุดต่อน้ำหนักรวมและดังนั้นจึงอาจเพียงพอที่จะเข้าใจการกำหนดค่าสมมาตรสูงเท่านั้น

— Luca Trevisan

นอกจากนี้จะเกิดอะไรขึ้นในมิติเดียว เป็นไปได้ที่จะหาการกำหนดค่าที่การตัดสูงสุดมีค่าประมาณ 2/3 ของน้ำหนักรวม (จุดหนึ่งคือ -1, จุดหนึ่งคือ +1, 4 คะแนนอยู่ใกล้กับศูนย์มาก, น้ำหนักรวมคือ 12 และค่าที่เหมาะสมที่สุด คือ 8) 2/3 เป็นอัตราส่วนที่เล็กที่สุดของการตัดสูงสุดต่อน้ำหนักรวมใน 1 มิติหรือไม่

— Luca Trevisan

@Luca: ใช่ 1D ก็ไม่สำคัญเหมือนกัน โดยสัญชาตญาณค่าคงที่ควรใกล้ขึ้นถึง 1/2 เมื่อขนาดเพิ่มขึ้น สำหรับกรณี 2D เราอาจสมมติว่าจุดศูนย์ถ่วงอยู่ที่ (0,0) และจุดทั้งหมดอยู่ในวงกลมหน่วย อาจมีข้อโต้แย้ง "การผลักคะแนน" ที่ผลักคะแนนไปยังวงกลมหน่วยในขณะที่ไม่เพิ่มน้ำหนักการตัดซึ่งจะช่วยได้ แต่ฉันไม่สามารถตรึงมันได้

— Milos Hasan

คำตอบ:

ค่าคงที่มีแนวโน้มที่จะ 1/2 เมื่อขนาดเพิ่มขึ้น ในมิติข้อมูลคุณสามารถมี d + 1 จุดที่ระยะทางหนึ่งจากกันดังนั้นผลรวมของระยะทางกำลังสองคือและการตัดสูงสุดคือสูงสุดซึ่งเป็นส่วนของน้ำหนักรวม ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Luca Trevisan
แหล่งที่มา

ตกลง แต่ทำไมการกำหนดค่า d + 1 คะแนนที่ระยะทาง 1 จากกันและกันถือว่าเป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุด ดูเหมือนว่าจะเป็นไปได้ แต่ชัดเจนหรือไม่ (และสำหรับ d = 1 จุดสองจุดที่ระยะทาง 1 จากกันไม่ชัดเจนว่าเป็นกรณีที่แย่ที่สุดการกำหนดค่า 6 จุดที่คุณให้ไว้ข้างต้นนั้นแย่ลงอาจเป็นไปได้ว่า d = 1 เป็นกรณีทางพยาธิวิทยาเพียงอย่างเดียวและทำงานได้ สำหรับ d> = 2))

— Milos Hasan

@ milos ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจ เรารู้ว่า 0.5 สามารถทำได้และตัวอย่างนี้แสดงว่าคุณทำไม่ได้ดีกว่า อย่างไรก็ตามมันไม่ได้ทำลายการคาดเดา 2/3 สำหรับระนาบ

— Suresh Venkat

@Suresh: สิ่งที่ฉันเป็นจริงหลังจากนั้นคือการพิสูจน์ว่าคุณสามารถทำได้ดีขึ้นในมิติต่ำคือฉันสนใจในลำดับของค่าที่แท้จริงของค่าคงที่ที่เลวร้ายที่สุดสำหรับ d ต่ำโดยเฉพาะ

— Milos Hasan

ฉันต้องการพิสูจน์ช่องว่างจริงระหว่าง 1/2 ถึง 2/3 สำหรับ d ต่ำ สิ่งนี้จะมีผลที่น่าสนใจคือคุณสามารถเอาชนะการรวม / การรวม Monte Carlo (โดยแบ่งปัญหาของคุณออกเป็นปัญหาย่อยอย่างชาญฉลาดแทนการสุ่ม) หากปัญหาของคุณมีมิติน้อยมาก

— Milos Hasan

แม้ว่านี่จะเป็นเพียงคำตอบสำหรับ d ขนาดใหญ่ แต่ก็แสดงให้เห็นถึงความยากลำบากในการวิเคราะห์เคสขนาดเล็ก สมมติว่าใน 2 มิติคุณอาจมีห้าจุดที่มีระยะห่างระหว่างคู่กับระยะห่างระหว่าง 1 ถึง 1.1 จากนั้นน้ำหนักรวมอย่างน้อย 10 และสูงสุดตัดได้สูงสุด 6.6 ถ้า 2/3 เป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับสองมิติคุณจะต้องสามารถแสดงให้เห็นว่าถ้าคุณมีห้าจุดเช่นนั้นระยะทางแบบยุคลิดแบบยูนิทไลด์ทุกคู่อย่างน้อยหนึ่งระยะทางแบบยุคลิดแบบคู่หนึ่งอย่างน้อย . คุณให้เหตุผลว่าอย่างไร

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Luca Trevisan

ใช้ 3 คะแนน A, B, C บนสามเหลี่ยมด้านเท่าและเพิ่มอีก 3 จุด D, E, F ตรงกลาง เห็นได้ชัดว่าคุณต้องการสอง A, B, C ที่ด้านหนึ่งของการตัดดังนั้นสมมุติว่าการตัดที่จุดสามจุดเหล่านี้คือ (AB; C) ตอนนี้แต่ละจุด D, E, F ต้องไปทางด้าน C ของการตัดดังนั้นการตัดที่เหมาะสมที่สุดคือ (AB; CDEF) และตรวจสอบอัตราส่วนอย่างง่ายดายเป็น 2/3

ทีนี้เลื่อนจุดแต่ละจุด D, E, F ออกไปจากจุดศูนย์กลางเล็กน้อยเพื่อสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า มันไม่สำคัญว่าจะไปในทิศทางใดตราบเท่าที่มันสมมาตรรอบจุดศูนย์กลาง หากคุณเคลื่อนย้ายวัตถุเหล่านั้นในระยะที่ห่างพอสมควรการตัดที่ดีที่สุดจะต้องเป็น (AB; CDEF) พิจารณาความยาวของการตัดนี้ ขอบ (AC, BC) เป็น 2/3 ของความยาวทั้งหมดของขอบ (AB, BC, AC) โดยความสมมาตรความยาวทั้งหมดของขอบ (AD, AE, AF, BD, BE, BF) คือ 2/3 ของความยาวของขอบ (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ) แต่ไม่มีขอบ (DE, EF, DF) ที่อยู่ในการตัด ดังนั้นอัตราส่วนของการตัดนี้จะน้อยกว่า 2/3 อย่างเคร่งครัด

คุณควรจะปรับโครงสร้างการก่อสร้างให้เหมาะที่สุดเพื่อค้นหาการกำหนดค่าที่การตัดที่เหมาะสมน้อยกว่า 2/3 ลองใช้ดูฉันจะได้ว่าถ้าคุณหาหกจุดที่จัดในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปที่มีศูนย์กลางเดียวกันโดยมีขนาดเล็กกว่าหนึ่งอันขนาดของรูปใหญ่ขึ้น -cut กลายเป็นน้ำหนักรวมแทน2/3 $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Peter Shor
แหล่งที่มา

เยี่ยมมากคุณพูดถูก! การคาดคะเนที่สง่างามอีกแบบหนึ่งกัดฝุ่น ... มันยังเป็นคำถามเปิดแม้ว่าค่าคงที่ในระนาบนั้นใหญ่กว่า 1/2 หรือว่าคุณสามารถบรรลุด้วยกลุ่มที่1 ฉันจะคิดมากกว่านี้

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Milos Hasan

ฉันเดาว่าคำตอบที่ถูกต้องคือสิ่งที่ไม่ต่ำกว่า. 64 มากเกินไป แต่ฉันไม่รู้ว่าจะแสดงขอบเขตล่างได้อย่างไร

— Peter Shor