ความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์คงที่และอัลกอริทึมการประมาณ

พารามิเตอร์คงที่และการประมาณเป็นวิธีการที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงในการแก้ปัญหาอย่างหนัก พวกเขามีแรงจูงใจที่แตกต่างกัน การประมาณจะค้นหาผลลัพธ์ที่รวดเร็วขึ้นด้วยวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ พารามิเตอร์คงที่มองหาวิธีการแก้ปัญหาที่แน่นอนที่มีความซับซ้อนของเวลาในแง่ของการชี้แจงหรือฟังก์ชั่นบางอย่างของ k และฟังก์ชั่นพหุนามของ n ที่ n คือขนาดอินพุตและ k เป็นพารามิเตอร์ ตัวอย่าง 3$2^kn^3$

ตอนนี้คำถามของฉันมีผลลัพธ์ขอบเขตบนหรือล่างตามความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์คงที่และวิธีการประมาณหรือพวกเขาทั้งหมดไม่มีความสัมพันธ์ใด ๆ ตัวอย่างเช่นสำหรับปัญหาถูกกล่าวว่าเป็นยากสำหรับบางคนไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับการมีอัลกอริทึม c-approximation หรือ PTAS โปรดระบุข้อมูลอ้างอิงบางอย่าง$P$i > $W[i]$$i>0$

มีการเชื่อมต่อหลายอย่างระหว่างความซับซ้อนของพารามิเตอร์และอัลกอริทึมการประมาณ

ก่อนอื่นให้พิจารณาการกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐานที่เรียกว่าปัญหา ที่นี่พารามิเตอร์คือสิ่งที่คุณจะเพิ่มประสิทธิภาพในรุ่นการเพิ่มประสิทธิภาพของปัญหา (ขนาดของฝาครอบจุดสุดยอดสำหรับปัญหาปกจุดยอดความกว้างของการสลายตัวของต้นไม้สำหรับปัญหา Treewidth ฯลฯ ) ให้เราดูที่ Vertex Cover อย่างเป็นรูปธรรม เคอร์เนลใด ๆ ที่มีจำนวนจุดยอดเยี่ยมสำหรับ Vertex Cover หมายถึงอัลกอริทึมการประมาณเวลาแบบพหุนามแบบคงที่: ในโซลูชันโดยประมาณวางจุดยอดทั้งหมดที่ถูกบังคับให้เข้าสู่การแก้ปัญหาโดยอัลกอริทึมการสร้างเคอร์เนลและจุดยอดทั้งหมดของอินสแตนซ์เคอร์เนล . ในทางกลับกันขอบเขตที่ต่ำกว่าของปัจจัยการประมาณจะหมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าในขนาดของเคอร์เนล ตัวอย่างเช่นภายใต้การคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำKhot และ Regev (JCSS 2008)ออกกฎการประมาณอัลกอริธึมสำหรับ Vertex Cover ด้วยอัตราส่วนของใด ๆซึ่งจะออกกฎเคอร์เนลสำหรับ Vertex Cover ด้วยที่จุดส่วนใหญ่เช่นกันc k c < $c<2$$ck$$c<2$

แก้ไข: การโต้เถียงสำหรับเคอร์เนลลดลงในย่อหน้าก่อนหน้านี้เป็นทางการมากและที่ดีที่สุดของความรู้ของฉันมันเปิดว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าขนาดเคอร์เนลสามารถพิสูจน์ได้แม้สำหรับ Vertex Cover เนื่องจาก @Falk ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นการโต้แย้งจึงเป็นที่รู้จักมากที่สุด (ทั้งหมด?) อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นวิธีที่สามารถแยกการมีอยู่ของอัลกอริทึม kernelization ที่เป็นไปได้วิธีการแก้ปัญหาของอินสแตนซ์เคอร์เนลมีอัตราส่วนประมาณที่แตกต่างกว่าโซลูชั่นที่สอดคล้องกันในอินสแตนซ์เริ่มต้น

จากนั้นมีปัญหาของ PTAS เทียบกับ FPTAS ถ้าเราต้องการที่จะหาวิธีการแก้ปัญหาภายในจากที่ดีที่สุดที่เราสามารถ parameterize โดย1จากนั้น PTAS จะสอดคล้องกับ XP-algorithm ในการตั้งค่าที่กำหนดพารามิเตอร์ในขณะที่ FPTAS นั้นสอดคล้องกับ FPT-algorithm สำหรับขอบเขตที่ต่ำกว่าโดยประมาณเราอาจไม่คาดว่า EPTAS สำหรับปัญหาใด ๆ ที่การกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐานคือ W [1] - ยาก: การเรียกใช้ EPTAS ด้วยจะแก้ปัญหาได้อย่างแน่นอนในเวลา FPT1 / ϵ ϵ = 1 / ( k + 1 $(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$\epsilon=1/(k+1)$

ในที่สุดอัลกอริทึมการประมาณค่า FPT เป็นอัลกอริทึมที่ใช้เวลารัน FPT และอัตราส่วนการประมาณซึ่งอาจขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่นการกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐานของปัญหา Cliquewidth มีอัลกอริธึมการประมาณ FPT พร้อมอัตราส่วนการประมาณ (Oum, WG 2005)ในขณะที่การกำหนดพารามิเตอร์มาตรฐานของชุดการปกครองอิสระไม่มีการประมาณ FPT อัลกอริทึมที่มีอัตราส่วนประสิทธิภาพสำหรับการใด ๆ ฟังก์ชันคำนวณเว้นแต่ FPT = W [2] (ดาวนีย์ et al., IWPEC 2006) ดู(Marx, The Computer Journal 2008)สำหรับการสำรวจ FPT โดยประมาณg ( k ) $(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$$g$

มีทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จัก [1, ทฤษฎีบท 3.1], การจำแนกลักษณะของคลาสโดยประมาณผ่านคลาสที่กำหนดพารามิเตอร์ :P F P $FPTAS$$PFPT$

ให้เป็นการเพิ่มประสิทธิภาพปรับขนาดได้ จากนั้นมีและถ้าหากอยู่ในPFPT$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$$NP$$Q$$FPTAS$$Q$$PFPT$

ในทางกลับกันหมายถึง:$PFPT$

ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเป็นพหุนามคงพารามิเตอร์ซูฮก ( ) หากรุ่นแปรของมันคือการแก้ปัญหาได้ในเวลาที่- ขนาดของตัวอย่างเช่นการป้อนข้อมูลx$NP$$Q$$PFPT$$O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$$|x|$$x$

การอธิบายลักษณะอื่นสำหรับคลาสการประมาณสองคลาสนั้นเสนอไว้ใน [2, ทฤษฎีบท 6.5]

ปัญหาคือ

• ในและถ้าหากจะมีและ parameterization มาตรฐานที่อยู่ใน Wพีทีs ∞ X P $PTAS$$ptas^{\infty}$$XP^w$

• ในและถ้าหากมันมีกับฟังก์ชั่นเกณฑ์ polynomially- จำกัด และ parameterization มาตรฐานที่อยู่ใน Wฉพีทีs ∞ P F P T $FPTAS$$fptas^{\infty}$$PFPT^w$

ที่นี่หมายถึง asymptotic (เต็ม) แบบประมาณพหุนาม, parametrization มาตรฐาน - รุ่นการตัดสินใจของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ, - คลาสที่สอดคล้องกันของปัญหาการตัดสินใจที่อัลกอริทึมที่ตัดสินใจพวกเขากลับมา เป็นสักขีพยานถ้าคำตอบคือใช่ฟังก์ชันขีด จำกัด - ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับข้อผิดพลาดและขอบเขตจากด้านล่างเป็นค่าที่เหมาะสม ( X P ) P F P T w $(f)ptas^{\infty}$$(XP)PFPT^w$$\frac{1}{\epsilon}$

1. พหุนามแผนการเวลาประมาณและความซับซ้อนแปร เจเฉินและคณะ คณิตศาสตร์ประยุกต์แบบไม่ต่อเนื่อง 155 (2007) 180 - 193
2. โครงสร้างของพหุนามเวลาประมาณ EJ van Leeuwen และคณะ รายงานทางเทคนิค UU-CS-2009-034, ธันวาคม 2009