อัลกอริธึมที่เร็วที่สุดในการคำนวณอันดับของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคืออะไร

ให้ matrix (สมมติว่า ) อัลกอริธึมที่เร็วที่สุดในการคำนวณอันดับและพื้นฐานของคอลัมน์คืออะไร?$m \times n$$m \ge n$

ฉันรู้ว่ามันสามารถแก้ไขได้ผ่านการตัดกันเชิงเส้น matroid ซึ่งหมายถึงอัลกอริทึมกำหนดเวลาและอัลกอริธึมแบบสุ่ม มีอัลกอริธึมกำหนดเวลาที่ลดปัญหาโดยตรง (หรือการกำจัดแบบเกาส์เซียน) เพื่อการคูณเมทริกซ์หรือไม่$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

คุณสามารถนำมาเป็น -matrix ลงในแบบฟอร์มระดับในเวลา O ( n ω + ε )สำหรับการใด ๆε > 0 ดูหนังสือ "ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพีชคณิต" โดยBürgisser, Clausen, Shokrollahi, มาตรา 16.5$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

ตอนนี้คุณใช้ขั้นตอนนี้ครั้งที่คุณม. × n -matrix นี่เป็นอัลกอริธึมที่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์O ( m n ω - 1$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

หากคุณนำเมทริกซ์ขนาดมาเป็นรูปแบบ echelon มันจะมีเมทริกซ์ขนาดศูนย์ที่มีขนาดn × nหลังจากนั้น คุณใช้เวลาที่เหลือn × n -matrix เพิ่มn × n- block ใหม่ของเมทริกซ์อินพุตของคุณและนำสิ่งนี้ไปยังฟอร์ม echelon และอื่น ๆ$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

เราสามารถคำนวณตำแหน่งของที่$m \times n$เมทริกซ์ A ใน$\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$เวลาที่$\textrm{nnz}(A)$คือจำนวนของที่ไม่ใช่ศูนย์รายการในและRคือยศ สิ่งนี้ตามมาจากทฤษฎีบท 1.1 ใน Cheung และ อัล [CKL'13]และค้นหาไบนารีมากกว่าR นี่คือเร็วกว่าอัลกอริทึมO ( m n ω - 1 ) ที่กล่าวถึงข้างต้น$A$$r$$A$$r$$O(mn^{\omega-1})$