ทฤษฎีบทจุดคงที่สำหรับการวัดพื้นที่เชิงสร้างสรรค์?


15

ของ Banach ทฤษฎีบทจุดคงบอกว่าถ้าเรามีว่างสมบูรณ์พื้นที่ตัวชี้วัดฟังก์ชั่นใด ๆ แล้ว contractive สม่ำเสมอ: ก็มีที่ไม่ซ้ำกันจุดคงμ ( ) อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ต้องการสัจพจน์ของการเลือก - เราจำเป็นต้องเลือกองค์ประกอบโดยพลการAเพื่อเริ่มทำซ้ำfจาก, เพื่อให้ได้ลำดับ Cauchy a , f ( a ) , f 2 ( a ) , f 3 ( ) ,Af:AAμ(f)aAfa,f(a),f2(a),f3(a), .

  1. ทฤษฎีบทจุดคงที่ระบุไว้ในการวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์อย่างไร
  2. นอกจากนี้ยังมีการอ้างอิงที่รัดกุมเกี่ยวกับช่องว่างเมตริกที่สร้างสรรค์หรือไม่

เหตุผลที่ฉันถามคือฉันต้องการสร้างแบบจำลองของ System F ซึ่งประเภทนั้นมีโครงสร้างตัวชี้วัดเพิ่มเติม (เหนือสิ่งอื่นใด) มันค่อนข้างมีประโยชน์ที่ในทฤษฎีเซตเชิงสร้างสรรค์เราสามารถทำตระกูลเซตUขึ้นมาได้เช่นว่าUถูกปิดภายใต้ผลิตภัณฑ์เลขชี้กำลังและตระกูลU -indexed ซึ่งทำให้เป็นแบบอย่างของ System F ได้ง่าย

มันจะดีมากถ้าฉันสามารถทำอาหารตระกูลอุลตร้าเมทริกเชิงสร้างสรรค์ที่คล้ายคลึงกันได้ แต่เนื่องจากการเพิ่มตัวเลือกให้กับทฤษฎีเซตเชิงสร้างสรรค์ทำให้เป็นคลาสสิกแน่นอนว่าฉันต้องระมัดระวังเกี่ยวกับทฤษฎีบทจุดคงที่และสิ่งอื่น ๆ ด้วย


2
คุณสามารถเปลี่ยนสมมุติฐานเป็นชุดที่อยู่อาศัยได้ คุณยังไม่ได้กล่าวอ้างจริงของการเลือกที่จะรับAaA
โคลิน McQuillan

คำตอบ:


22

สัจพจน์ของการเลือกใช้เมื่อมีการสะสมของ "สิ่งของ" และคุณเลือกองค์ประกอบหนึ่งสำหรับแต่ละสิ่ง " หากมีเพียงสิ่งเดียวในคอลเลกชันนั่นไม่ใช่ความจริงที่เลือก ในกรณีของเราเรามีเพียงหนึ่งช่องว่างเมตริกและเรา "เลือก" จุดในนั้น ดังนั้นที่ไม่จริงของการเลือก แต่การกำจัดของปริมาณการดำรงอยู่คือเรามีสมมติฐานและเราพูดว่า "ให้x Aเป็นเช่นนั้นϕ ( x ) " น่าเสียดายที่ผู้คนมักพูดว่าxA.ϕ(x)xAϕ(x) xA "ซึ่งดูเหมือนแอปพลิเคชันของสัจพจน์ที่เลือกϕ(x)

สำหรับการอ้างอิงนี่คือหลักฐานเชิงสร้างสรรค์ของทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach

ทฤษฎีบท:การหดตัวของพื้นที่ตัวชี้วัดแบบสมบูรณ์ที่มีจุดคงที่ที่เป็นเอกลักษณ์

พิสูจน์ สมมติว่าเป็นพื้นที่ตัวชี้วัดแบบสมบูรณ์และf : M Mเป็นตัวย่อ เพราะเป็นหดตัวมีอยู่αดังกล่าวที่0 < α < 1และd ( F ( x ) , F ( Y ) ) α d ( x , Y )สำหรับทุกx , y ที่M(M,d)f:MMfα0<α<1d(f(x),f(y))αd(x,y)x,yM.

สมมติว่าและVจะจุดคงที่ฉ แล้วเราก็มีวันที่( U , V ) = d ( ( U ) , F ( วี) ) α d ( U , V )จากการที่มันตามที่0 d ( U , V ) ( α - 1 ) d ( u , v ) uvf

d(u,v)=d(f(u),f(v))αd(u,v)
เพราะฉะนั้นวันที่( U , V ) = 0และ U = V นี่เป็นการพิสูจน์ว่า fมีจุดคงที่มากที่สุดหนึ่งจุด0d(u,v)(α1)d(u,v)0d(u,v)=0u=vf

มันยังคงอยู่เพื่อพิสูจน์การดำรงอยู่ของจุดคงที่ เพราะเป็นที่อยู่อาศัยมีอยู่x 0 M กำหนดลำดับ( x ฉัน )ซ้ำโดยx ฉัน+ 1 = F ( x ฉัน ) เราสามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำที่d ( x ฉัน , x ฉัน+ 1 ) อัลฟ่าฉันd ( x 0 , x 1 ) จากนี้มันตามมาว่าMx0M(xi)

xi+1=f(xi).
d(xi,xi+1)αid(x0,x1)เป็นลำดับ Cauchy เพราะ Mเสร็จสมบูรณ์ลำดับมีขีด จำกัด Y = Lim ฉันxฉัน ตั้งแต่เป็นหดตัวก็เป็นเหมือนกันอย่างต่อเนื่องและเพื่อให้มัน commutes กับข้อ จำกัด ของลำดับ: F ( Y ) = F ( Lim ฉัน x ฉัน ) = Lim ฉัน F ( x ฉัน ) = Lim ฉัน x ฉัน+ 1 = Lim ฉัน x ผม(xi)My=limixif ดังนั้น Yเป็นจุดคงที่ของฉ QED
f(y)=f(limixi)=limif(xi)=limixi+1=limixi=y.
yf

หมายเหตุ:

  1. ฉันระมัดระวังที่จะไม่พูดว่า "เลือก " และ "เลือกx 0 " เป็นเรื่องปกติที่จะพูดสิ่งต่าง ๆ และพวกเขาก็แค่เพิ่มความสับสนที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ธรรมดาไม่สามารถบอกได้ว่าอะไรคือความจริงของการเลือกαx0

  2. uvf¬¬(u=v)u=v

  3. (xi)x0xM.x0M

  4. MxM.M¬xM.

  5. fixMMM

  6. ในที่สุดทฤษฎีบทจุดคงที่ต่อไปนี้มีเวอร์ชันเชิงสร้างสรรค์:

    • ทฤษฎีบทจุดคงที่ Knaster-Tarski สำหรับแผนที่โมโนโทนในโปรยที่สมบูรณ์
    • ทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach สำหรับการหดตัวในพื้นที่ตัวชี้วัดที่สมบูรณ์
    • ทฤษฎีบทจุดคงที่ Knaster-Tarski สำหรับแผนที่แบบโมโนโทนบน dcpos (พิสูจน์โดย Pataraia)
    • ทฤษฎีบทจุดคงที่ที่หลากหลายในทฤษฎีโดเมนมักจะมีบทพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์
    • ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทจุดคงที่และมีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์
    • ผมพิสูจน์ให้เห็นว่า Knaster-Tarski จุดคงทฤษฎีบทเดียว Maps บนห่วงโซ่สมบูรณ์ posets ไม่ได้มีหลักฐานที่สร้างสรรค์ ในทำนองเดียวกันทฤษฎีบทจุดคงที่ Bourbaki-Witt สำหรับแผนที่โปรเกรสซีฟบน posets ที่สมบูรณ์แบบโซ่ล้มเหลวในเชิงสร้างสรรค์ ตัวอย่างแบบเคาน์เตอร์สำหรับภายหลังนั้นมาจาก topos ที่มีประสิทธิภาพ: ในรูปแบบของ topos ordinals (กำหนดอย่างเหมาะสม) ในรูปแบบชุดหนึ่งและแผนที่สืบจะมีความก้าวหน้าและไม่มีจุดคงที่ โดยวิธีการทำแผนที่ผู้สืบทอดในพระราชกฤษฎีกาไม่ได้เป็นเสียงเดียวใน topos ที่มีประสิทธิภาพ

ตอนนี้เป็นข้อมูลที่มากกว่าที่คุณต้องการ


1
สัจพจน์ของช่องว่างของเมทริกจำเป็นต้องได้รับการปรับรูปแบบใหม่หรือไม่?
Neel Krishnaswami

นี่เป็นคำตอบที่ดีอีกอันหนึ่ง Andrej!
Suresh Venkat

1
@Neel: ไม่ความจริงก็เหมือนกับในกรณีคลาสสิก
Andrej Bauer

2
ฉันเห็นว่าคุณกำลังถ่ายภาพสำหรับระบบ F ในกรณีนี้คุณอาจต้องการพิจารณาคำถามว่าผู้ให้บริการจุดคงที่หรือไม่ ผมxเป็น polymorphic ที่เหมาะสม แต่ก่อนอื่นคุณต้องตอบว่า "มันเป็นฟังก์ชั่นหรือไม่?" เพราะดูเหมือนว่ามีทางเลือกที่เกี่ยวข้องในการก่อสร้างผมx(สำหรับทุกพื้นที่ของเมตริกที่สมบูรณ์ซึ่งเราอาศัยอยู่ "เลือก" จุด) อย่างไรก็ตามไม่มีทางเลือกเนื่องจากคุณค่าของผมxไม่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น (ต่อ)
Andrej Bauer

2
หรือจะใช้วิธีอื่นทุกอย่างก็โอเคเพราะ ผมx เป็นทางออกเดียวของสมการจุดคงที่ ผมx=λM.λ.(ผมxM()) ที่ไหน M ช่วงเหนือช่องว่างตัวชี้วัดที่สมบูรณ์และ คือการหดตัวเมื่อ M (ถ้าคุณเขียนประเภทคุณจะเห็นความแตกต่างใน M)
Andrej Bauer
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.