ทฤษฎีบทจุดคงที่สำหรับการวัดพื้นที่เชิงสร้างสรรค์?

ของ Banach ทฤษฎีบทจุดคงบอกว่าถ้าเรามีว่างสมบูรณ์พื้นที่ตัวชี้วัดฟังก์ชั่นใด ๆ แล้ว contractive สม่ำเสมอก็มีที่ไม่ซ้ำกันจุดคง )อย่างไรก็ตามการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ต้องการสัจพจน์ของการเลือก - เราจำเป็นต้องเลือกองค์ประกอบโดยพลเพื่อเริ่มทำซ้ำจาก, เพื่อให้ได้ลำดับ Cauchy $A$ $f : A \to A$ $\mu(f)$ $a \in A$ $f$ $a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$ .

ทฤษฎีบทจุดคงที่ระบุไว้ในการวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์อย่างไร
นอกจากนี้ยังมีการอ้างอิงที่รัดกุมเกี่ยวกับช่องว่างเมตริกที่สร้างสรรค์หรือไม่

เหตุผลที่ฉันถามคือฉันต้องการสร้างแบบจำลองของ System F ซึ่งประเภทนั้นมีโครงสร้างตัวชี้วัดเพิ่มเติม (เหนือสิ่งอื่นใด) มันค่อนข้างมีประโยชน์ที่ในทฤษฎีเซตเชิงสร้างสรรค์เราสามารถทำตระกูลเซต $U$ ขึ้นมาได้เช่นว่า $U$ ถูกปิดภายใต้ผลิตภัณฑ์เลขชี้กำลังและตระกูล $U$ -indexed ซึ่งทำให้เป็นแบบอย่างของ System F ได้ง่าย

มันจะดีมากถ้าฉันสามารถทำอาหารตระกูลอุลตร้าเมทริกเชิงสร้างสรรค์ที่คล้ายคลึงกันได้ แต่เนื่องจากการเพิ่มตัวเลือกให้กับทฤษฎีเซตเชิงสร้างสรรค์ทำให้เป็นคลาสสิกแน่นอนว่าฉันต้องระมัดระวังเกี่ยวกับทฤษฎีบทจุดคงที่และสิ่งอื่น ๆ ด้วย

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

คุณสามารถเปลี่ยนสมมุติฐาน

เป็นชุดที่อยู่อาศัยได้ คุณยังไม่ได้กล่าวอ้างจริงของการเลือกที่จะรับ

A

$A$

a \in A

$a\in A$

— โคลิน McQuillan

สัจพจน์ของการเลือกใช้เมื่อมีการสะสมของ "สิ่งของ" และคุณเลือกองค์ประกอบหนึ่งสำหรับแต่ละสิ่ง " หากมีเพียงสิ่งเดียวในคอลเลกชันนั่นไม่ใช่ความจริงที่เลือก ในกรณีของเราเรามีเพียงหนึ่งช่องว่างเมตริกและเรา "เลือก" จุดในนั้น ดังนั้นที่ไม่จริงของการเลือก แต่การกำจัดของปริมาณการดำรงอยู่คือเรามีสมมติฐานและเราพูดว่า "ให้เป็นเช่นนั้น " น่าเสียดายที่ผู้คนมักพูดว่า $\exists x \in A . \phi(x)$ $x \in A$ $\phi(x)$ $x \in A$ "ซึ่งดูเหมือนแอปพลิเคชันของสัจพจน์ที่เลือก $\phi(x)$

สำหรับการอ้างอิงนี่คือหลักฐานเชิงสร้างสรรค์ของทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach

ทฤษฎีบท:การหดตัวของพื้นที่ตัวชี้วัดแบบสมบูรณ์ที่มีจุดคงที่ที่เป็นเอกลักษณ์

พิสูจน์ สมมติว่าเป็นพื้นที่ตัวชี้วัดแบบสมบูรณ์และเป็นตัวย่อ เพราะเป็นหดตัวมีอยู่ดังกล่าวที่และสำหรับทุก $(M,d)$ $f : M \to M$ $f$ $\alpha$ $0 < \alpha < 1$ $d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$ $x, y \in M$ .

สมมติว่าและจะจุดคงที่ฉแล้วเราก็มีจากการที่มันตามที่ $u$ $v$ $f$

d (u, v) = d (f (u), f (v)) \leq α d (u, v)

$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$

เพราะฉะนั้น

และ

นี่เป็นการพิสูจน์ว่า

มีจุดคงที่มากที่สุดหนึ่งจุด

0 \leq d (u, v) \leq (α - 1) d (u, v) \leq 0

$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$

d (u, v) = 0

$d(u,v) = 0$

u = v

$u = v$

f

$f$

มันยังคงอยู่เพื่อพิสูจน์การดำรงอยู่ของจุดคงที่ เพราะเป็นที่อยู่อาศัยมีอยู่ Mกำหนดลำดับซ้ำโดยเราสามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำที่ )จากนี้มันตามมาว่า $M$ $x_0 \in M$ $(x_i)$

x_{i + 1} = f (x_{i}) .

$x_{i+1} = f(x_i).$

d (x_{i}, x_{i + 1}) \leq α^{i} \cdot d (x_{0}, x_{1})

$d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$

เป็นลำดับ Cauchy เพราะ

เสร็จสมบูรณ์ลำดับมีขีด จำกัด

ฉัน

ตั้งแต่

เป็นหดตัวก็เป็นเหมือนกันอย่างต่อเนื่องและเพื่อให้มัน commutes กับข้อ จำกัด ของลำดับ:

(x_{i})

$(x_i)$

M

$M$

y = lim_{i} x_{i}

$y = \lim_i x_i$

f

$f$

ดังนั้น

เป็นจุดคงที่ของฉ

QED

f (y) = f (lim_{i} x_{i}) = lim_{i} f (x_{i}) = lim_{i} x_{i + 1} = lim_{i} x_{i} = y .

$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$

y

$y$

f

$f$

หมายเหตุ:

ฉันระมัดระวังที่จะไม่พูดว่า "เลือก " และ "เลือก " เป็นเรื่องปกติที่จะพูดสิ่งต่าง ๆ และพวกเขาก็แค่เพิ่มความสับสนที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ธรรมดาไม่สามารถบอกได้ว่าอะไรคือความจริงของการเลือก $\alpha$ $x_0$
$u$ $v$ $f$ $\lnot\lnot (u = v)$ $u = v$
$(x_i)$ $x_0$ $\exists x \in M . \top$ $x_0$ $M$
$M$ $\exists x \in M . \top$ $M$ $\lnot\forall x \in M . \bot$
$\mathrm{fix}_M$ $M$ $M$ $\forall\exists$
ในที่สุดทฤษฎีบทจุดคงที่ต่อไปนี้มีเวอร์ชันเชิงสร้างสรรค์:
- ทฤษฎีบทจุดคงที่ Knaster-Tarski สำหรับแผนที่โมโนโทนในโปรยที่สมบูรณ์
- ทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach สำหรับการหดตัวในพื้นที่ตัวชี้วัดที่สมบูรณ์
- ทฤษฎีบทจุดคงที่ Knaster-Tarski สำหรับแผนที่แบบโมโนโทนบน dcpos (พิสูจน์โดย Pataraia)
- ทฤษฎีบทจุดคงที่ที่หลากหลายในทฤษฎีโดเมนมักจะมีบทพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์
- ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทจุดคงที่และมีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์
- ผมพิสูจน์ให้เห็นว่า Knaster-Tarski จุดคงทฤษฎีบทเดียว Maps บนห่วงโซ่สมบูรณ์ posets ไม่ได้มีหลักฐานที่สร้างสรรค์ ในทำนองเดียวกันทฤษฎีบทจุดคงที่ Bourbaki-Witt สำหรับแผนที่โปรเกรสซีฟบน posets ที่สมบูรณ์แบบโซ่ล้มเหลวในเชิงสร้างสรรค์ ตัวอย่างแบบเคาน์เตอร์สำหรับภายหลังนั้นมาจาก topos ที่มีประสิทธิภาพ: ในรูปแบบของ topos ordinals (กำหนดอย่างเหมาะสม) ในรูปแบบชุดหนึ่งและแผนที่สืบจะมีความก้าวหน้าและไม่มีจุดคงที่ โดยวิธีการทำแผนที่ผู้สืบทอดในพระราชกฤษฎีกาไม่ได้เป็นเสียงเดียวใน topos ที่มีประสิทธิภาพ

ตอนนี้เป็นข้อมูลที่มากกว่าที่คุณต้องการ

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

สัจพจน์ของช่องว่างของเมทริกจำเป็นต้องได้รับการปรับรูปแบบใหม่หรือไม่?

— Neel Krishnaswami

นี่เป็นคำตอบที่ดีอีกอันหนึ่ง Andrej!

— Suresh Venkat

@Neel: ไม่ความจริงก็เหมือนกับในกรณีคลาสสิก

— Andrej Bauer

ฉันเห็นว่าคุณกำลังถ่ายภาพสำหรับระบบ F ในกรณีนี้คุณอาจต้องการพิจารณาคำถามว่าผู้ให้บริการจุดคงที่หรือไม่

f i x

$\mathrm{fix}$ เป็น polymorphic ที่เหมาะสม แต่ก่อนอื่นคุณต้องตอบว่า "มันเป็นฟังก์ชั่นหรือไม่?" เพราะดูเหมือนว่ามีทางเลือกที่เกี่ยวข้องในการก่อสร้าง

f i x

$\mathrm{fix}$ (สำหรับทุกพื้นที่ของเมตริกที่สมบูรณ์ซึ่งเราอาศัยอยู่ "เลือก" จุด) อย่างไรก็ตามไม่มีทางเลือกเนื่องจากคุณค่าของ

f i x

$\mathrm{fix}$ ไม่ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น (ต่อ)

— Andrej Bauer

หรือจะใช้วิธีอื่นทุกอย่างก็โอเคเพราะ

f i x

$\mathrm{fix}$ เป็นทางออกเดียวของสมการจุดคงที่

f i x = λ M . λ f . f ({f i x}_{M} (f))

$\mathrm{fix} = \lambda M . \lambda f . f(\mathrm{fix}_M(f))$ ที่ไหน

M

$M$ ช่วงเหนือช่องว่างตัวชี้วัดที่สมบูรณ์และ

f

$f$ คือการหดตัวเมื่อ

M

$M$ (ถ้าคุณเขียนประเภทคุณจะเห็นความแตกต่างใน

M

$M$ )

— Andrej Bauer