สัจพจน์ของการเลือกใช้เมื่อมีการสะสมของ "สิ่งของ" และคุณเลือกองค์ประกอบหนึ่งสำหรับแต่ละสิ่ง " หากมีเพียงสิ่งเดียวในคอลเลกชันนั่นไม่ใช่ความจริงที่เลือก ในกรณีของเราเรามีเพียงหนึ่งช่องว่างเมตริกและเรา "เลือก" จุดในนั้น ดังนั้นที่ไม่จริงของการเลือก แต่การกำจัดของปริมาณการดำรงอยู่คือเรามีสมมติฐานและเราพูดว่า "ให้x ∈ Aเป็นเช่นนั้นϕ ( x ) " น่าเสียดายที่ผู้คนมักพูดว่า∃x∈A.ϕ(x)x∈Aϕ(x) x∈A "ซึ่งดูเหมือนแอปพลิเคชันของสัจพจน์ที่เลือกϕ(x)
สำหรับการอ้างอิงนี่คือหลักฐานเชิงสร้างสรรค์ของทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach
ทฤษฎีบท:การหดตัวของพื้นที่ตัวชี้วัดแบบสมบูรณ์ที่มีจุดคงที่ที่เป็นเอกลักษณ์
พิสูจน์ สมมติว่าเป็นพื้นที่ตัวชี้วัดแบบสมบูรณ์และf : M → Mเป็นตัวย่อ เพราะฉเป็นหดตัวมีอยู่αดังกล่าวที่0 < α < 1และd ( F ( x ) , F ( Y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , Y )สำหรับทุกx , y ที่∈ M(M,d)f:M→Mfα0<α<1d(f(x),f(y))≤α⋅d(x,y)x,y∈M.
สมมติว่าและVจะจุดคงที่ฉ แล้วเราก็มีวันที่( U , V ) = d ( ฉ( U ) , F ( วี) ) ≤ α d ( U , V )จากการที่มันตามที่0 ≤ d ( U , V ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) ≤uvf
d(u,v)=d(f(u),f(v))≤αd(u,v)
เพราะฉะนั้น
วันที่( U , V ) = 0และ
U = V
นี่เป็นการพิสูจน์ว่า
fมีจุดคงที่มากที่สุดหนึ่งจุด
0≤d(u,v)≤(α−1)d(u,v)≤0d(u,v)=0u=vf
มันยังคงอยู่เพื่อพิสูจน์การดำรงอยู่ของจุดคงที่ เพราะเป็นที่อยู่อาศัยมีอยู่x 0 ∈ M กำหนดลำดับ( x ฉัน )ซ้ำโดยx ฉัน+ 1 = F ( x ฉัน ) เราสามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำที่d ( x ฉัน , x ฉัน+ 1 ) ≤ อัลฟ่าฉัน ⋅ d ( x 0 , x 1 ) จากนี้มันตามมาว่าMx0∈M(xi)
xi+1=f(xi).
d(xi,xi+1)≤αi⋅d(x0,x1)เป็นลำดับ Cauchy เพราะ
Mเสร็จสมบูรณ์ลำดับมีขีด จำกัด
Y = Lim ฉันxฉัน
ตั้งแต่
ฉเป็นหดตัวก็เป็นเหมือนกันอย่างต่อเนื่องและเพื่อให้มัน commutes กับข้อ จำกัด ของลำดับ:
F ( Y ) = F ( Lim ฉัน x ฉัน ) = Lim ฉัน F ( x ฉัน ) = Lim ฉัน x ฉัน+ 1 = Lim ฉัน x ผม(xi)My=limixif
ดังนั้น
Yเป็นจุดคงที่ของฉ
QED
f(y)=f(limixi)=limif(xi)=limixi+1=limixi=y.
yf
หมายเหตุ:
ฉันระมัดระวังที่จะไม่พูดว่า "เลือก " และ "เลือกx 0 " เป็นเรื่องปกติที่จะพูดสิ่งต่าง ๆ และพวกเขาก็แค่เพิ่มความสับสนที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ธรรมดาไม่สามารถบอกได้ว่าอะไรคือความจริงของการเลือกαx0
uvf¬¬(u=v)u=v
(xi)x0∃x∈M.⊤x0M
M∃x∈M.⊤M¬∀x∈M.⊥
fixMMM∀∃
ในที่สุดทฤษฎีบทจุดคงที่ต่อไปนี้มีเวอร์ชันเชิงสร้างสรรค์:
- ทฤษฎีบทจุดคงที่ Knaster-Tarski สำหรับแผนที่โมโนโทนในโปรยที่สมบูรณ์
- ทฤษฎีจุดคงที่ของ Banach สำหรับการหดตัวในพื้นที่ตัวชี้วัดที่สมบูรณ์
- ทฤษฎีบทจุดคงที่ Knaster-Tarski สำหรับแผนที่แบบโมโนโทนบน dcpos (พิสูจน์โดย Pataraia)
- ทฤษฎีบทจุดคงที่ที่หลากหลายในทฤษฎีโดเมนมักจะมีบทพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์
- ทฤษฎีบทการเรียกซ้ำเป็นรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทจุดคงที่และมีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์
- ผมพิสูจน์ให้เห็นว่า Knaster-Tarski จุดคงทฤษฎีบทเดียว Maps บนห่วงโซ่สมบูรณ์ posets ไม่ได้มีหลักฐานที่สร้างสรรค์ ในทำนองเดียวกันทฤษฎีบทจุดคงที่ Bourbaki-Witt สำหรับแผนที่โปรเกรสซีฟบน posets ที่สมบูรณ์แบบโซ่ล้มเหลวในเชิงสร้างสรรค์ ตัวอย่างแบบเคาน์เตอร์สำหรับภายหลังนั้นมาจาก topos ที่มีประสิทธิภาพ: ในรูปแบบของ topos ordinals (กำหนดอย่างเหมาะสม) ในรูปแบบชุดหนึ่งและแผนที่สืบจะมีความก้าวหน้าและไม่มีจุดคงที่ โดยวิธีการทำแผนที่ผู้สืบทอดในพระราชกฤษฎีกาไม่ได้เป็นเสียงเดียวใน topos ที่มีประสิทธิภาพ
ตอนนี้เป็นข้อมูลที่มากกว่าที่คุณต้องการ