ช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างอันดับและอันดับโดยประมาณคืออะไร?

เรารู้ว่าบันทึกของการจัดอันดับของเมทริกซ์ 0-1 เป็นขอบเขตล่างของความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นและล็อกของอันดับโดยประมาณนั้นเป็นขอบเขตล่างของความซับซ้อนของการสื่อสารแบบสุ่ม ช่องว่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างความซับซ้อนของการสื่อสารที่กำหนดขึ้นได้และความซับซ้อนของการสื่อสารแบบสุ่มนั้นเป็นสิ่งที่อธิบาย แล้วช่องว่างระหว่างอันดับและอันดับโดยประมาณของเมทริกบูลีนคืออะไร?

ก่อนอื่นฉันจะให้พื้นหลังและกำหนดอันดับโดยประมาณ การอ้างอิงที่ดีคือการสำรวจล่าสุดโดยลีและ Schraibman ล่างขอบเขตในการสื่อสารความซับซ้อน

$A$$A$$\alpha$$rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$

เมื่อให้กำหนด$\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$(B)

ผลจากKrauseบอกว่าโดยที่และเป็น ล้อมรอบข้อผิดพลาดส่วนตัวเหรียญซับซ้อนสื่อสารด้วยข้อผิดพลาดบนล้อมรอบด้วย\$R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$$\alpha=1/(1-2\epsilon)$$R_\epsilon^{pri}$$A$$\epsilon$

ด้านบนสำหรับพื้นหลัง ตอนนี้ที่จะตอบคำถามที่Paturi และไซมอนพบว่าอย่างสมบูรณ์ลักษณะซับซ้อนสื่อสารมากมายข้อผิดพลาดของ พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าเรื่องนี้เห็นด้วยกับมิติที่ต่ำสุดของการจัดตระหนักถึงฟังก์ชั่นบูลที่มีเมทริกซ์การสื่อสารเป็น ความซับซ้อนในการสื่อสารมากมายข้อผิดพลาดการทำงานของความเท่าเทียมกันคือ(1) เก็บไว้ในใจ$rank^\infty(A)$$A$$A$$O(1)$

เมทริกซ์การสื่อสารเพื่อความเท่าเทียมเป็นเพียงตัวตนนั่นคือเมทริกบูลีนที่มีแถวและคอลัมน์กับทุกคนในแนวทแยง ขอแสดงนี้โดยn} อลอนแสดงให้เห็นว่าซึ่งแน่นไปด้วยปัจจัยลอการิทึม (กับทฤษฎีบทของ Krause เราได้ )$2^n$$2^n$$I_{2^n}$$rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$$R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

เมทริกซ์ตัวตนมียศเต็มคือ n ดังนั้นเราจึงมีการแยกขนาดใหญ่ชี้แจงและ\$2^n$$\alpha=2$$\alpha\to\infty$