การ จำกัด ช่องว่างระหว่างความซับซ้อนเชิงปริมาณและเชิงปริมาณ

แม้ว่าการแยกชี้แจงระหว่างความซับซ้อนแบบสอบถามขอบเขตควอนตัมข้อผิดพลาด ( ) และความซับซ้อนแบบสอบถามกำหนด ( ) หรือข้อ จำกัด ขอบเขตความซับซ้อนแบบสอบถามข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ( ) พวกเขาจะนำไปใช้กับบางส่วนเท่านั้น หากฟังก์ชั่นบางส่วนมีบางโครงสร้างพิเศษแล้วพวกเขาจะยังเกี่ยวข้องกับ polynomially9)) อย่างไรก็ตามฉันส่วนใหญ่กังวลเกี่ยวกับฟังก์ชั่นทั้งหมดD ( f ) R ( f ) D ( f ) = O ( Q ( f ) 9 ) $Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

ในกระดาษคลาสสิกมันก็แสดงให้เห็นว่าถูกล้อมรอบด้วยสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมด,สำหรับฟังก์ชั่นรวมเสียงเดียวและสำหรับฟังก์ชั่นรวมแบบสมมาตร อย่างไรก็ตามไม่รู้จักการแยกกำลังสองสำหรับฟังก์ชันประเภทนี้ ( ตัวอย่างเช่นการแยกนี้ทำได้โดยใช้ ) เท่าที่ผมเข้าใจคนส่วนใหญ่คาดว่าสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมดที่เรามี2) การคาดเดานี้ได้รับการพิสูจน์ภายใต้เงื่อนไขใด (นอกเหนือจากฟังก์ชันสมมาตร)? ขอบเขตปัจจุบันที่ดีที่สุดของความซับซ้อนของต้นไม้ตัดสินใจในแง่ของความซับซ้อนของแบบสอบถามควอนตัมสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดคืออะไรO ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2 ) O R D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

เท่าที่ฉันรู้ขอบเขตทั่วไปที่คุณระบุนั้นเป็นที่รู้จักกันเป็นอย่างดี การเปลี่ยนแปลงรูปแบบเล็กน้อย Midrijanis ได้แสดงขอบเขตที่โดยที่เป็นความซับซ้อนของการสืบค้นควอนตัมที่แน่นอนของ ; นอกจากนี้ยังมีขอบเขตที่เข้มงวดมากขึ้นที่รู้จักกันในแง่ของข้อผิดพลาดด้านเดียว (ดูมาตรา 6 ของบทความนี้ )Q E ( f ) $D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

ในแง่ของการที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น แต่ยังคงทั่วไปชั้นเรียนของฟังก์ชั่นมีกระดาษ Barnum และ Saks ซึ่งแสดงให้เห็นว่าทุกการอ่านครั้งเดียวฟังก์ชั่นบนตัวแปรมีควอนตัมแบบสอบถามซับซ้อน{n})Ω ( $n$$\Omega(\sqrt{n})$

แม้ว่าความคืบหน้านี้จะถูก จำกัด แต่ก็มีความคืบหน้าอย่างมากในการลดขอบเขตความซับซ้อนของแบบสอบถามควอนตัมของฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจง ; ดูรีวิวนี้สำหรับรายละเอียด (หรือเช่นเมื่อเร็ว ๆ นี้กระดาษของไรชาดซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่ารุ่นทั่วไปมากที่สุดของความซับซ้อน '' ศัตรู '' ลักษณะผูกพันแบบสอบถามควอนตัม)

ฉันชอบคำตอบของ Ashley Montanaro แต่ฉันคิดว่าฉันจะรวมชุดของฟังก์ชั่นที่รู้จักการคาดเดาด้วย

ชุดของฟังก์ชั่นที่น่าสนใจคือฟังก์ชั่นที่มีใบรับรอง 1 ขนาดคงที่ ปัญหาระดับนี้รวมถึงสิ่งต่าง ๆ เช่นความชัดเจนการชนกันการค้นหารูปสามเหลี่ยมและปัญหาอื่น ๆ อีกมากมาย (ไม่ใช่ในตระกูล HSP) ซึ่งแสดงว่ามีการแยกความซับซ้อนของแบบสอบถาม$OR$

สำหรับค่าคงที่ขนาด 1 ใบรับรองฟังก์ชั่นรวมเรามี2)D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

รายละเอียด:

ใบรับรองสำหรับอินพุตเป็นเซตย่อยของบิตเช่นนั้นสำหรับอินพุตทั้งหมด ,(x) จากนั้นเป็นขนาดต่ำสุดของใบรับรองสำหรับใส่และ 1 ใบรับรองซับซ้อน (ความซับซ้อน 0 ใบรับรองนั้นเหมือนกัน แต่ถูก จำกัด ให้ )S ⊆ { 1 , . . , n } y ( ∀ i ∈ $x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$C x ( f ) x C 1 ( f ) = max x | f ( x ) = 1 C x ( f ) f ( x ) = $(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

คุณสามารถแสดงที่1 จากนั้นคุณสามารถใช้อัลกอริทึมที่นำเสนอในแบบสำรวจของ Buhrman และ de Wolf เพื่อแสดงว่า:D(f)≤C1(f)bs(f)≤C0(f)C1(f$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

หากเรา จำกัด ความสนใจคุณสมบัติของกราฟเราสามารถพิสูจน์ขอบเขตที่ดีขึ้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับขอบเขตทั่วไปที่คุณพูดถึง:

ในกระดาษคลาสสิกมันก็แสดงให้เห็นว่าถูกล้อมรอบด้วยสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมด,สำหรับฟังก์ชั่นรวมเสียงเดียวและสำหรับฟังก์ชั่นทั้งหมดแบบสมมาตรO ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

ก่อนอื่นฉันคิดว่าขอบเขตกำลังที่ 6 สามารถปรับปรุงเป็นกำลังสี่สำหรับคุณสมบัติกราฟ สิ่งนี้ตามมาจาก [1] ซึ่งพวกเขาแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติกราฟใด ๆ มีความซับซ้อนของแบบสอบถามอย่างน้อยโดยที่คือขนาดอินพุตซึ่งเป็นกำลังสองในจำนวนจุดยอด แน่นอนความซับซ้อนแบบสอบถามคลาสสิกที่ส่วนใหญ่ยังไม่มีข้อความN $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

กำลังงานที่ 4 สำหรับฟังก์ชั่นรวมเสียงเดียวสามารถปรับปรุงให้เป็นกำลังงานที่ 3 สำหรับคุณสมบัติกราฟเสียงเดียว นี้ต่อไปนี้จากการสังเกตที่ไม่ได้เผยแพร่ยาวและ Santha (กล่าวถึงใน [2]) ที่ทุกคุณสมบัติเดียวกราฟมีความซับซ้อนแบบสอบถามควอนตัมN)$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X.; เย้า, AC.; Shengyu Zhang, "คุณสมบัติกราฟและฟังก์ชันแบบวงกลม: ความซับซ้อนของการสืบค้นควอนตัมต่ำไปได้อย่างไร," ความซับซ้อนในการคำนวณ, 2004. การดำเนินการ การประชุมประจำปีครั้งที่ 19 ของ IEEE เกี่ยวกับฉบับที่, pp.286,293, 21-24 มิถุนายน 2004 ดอย: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "อัลกอริธึมควอนตัมสำหรับปัญหาสามเหลี่ยม", การดำเนินการของการประชุมวิชาการ ACM-SIAM สิบหกประจำปีเกี่ยวกับอัลกอริธึมที่ไม่ต่อเนื่อง, แวนคูเวอร์, บริติชโคลัมเบีย: สังคมสำหรับอุตสาหกรรมและคณิตศาสตร์ประยุกต์, pp. -ph / 0310134

คำถามนี้มีความก้าวหน้าเป็นอย่างมากในปี 2558

ก่อนอื่นในarXiv: 1506.04719 [cs.CC]ผู้เขียนได้ปรับปรุงการแยกกำลังสองโดยการแสดงฟังก์ชันทั้งหมดด้วย$f$

ในอีกทางหนึ่งในarXiv: 1512.04016 [quant-ph]มันก็แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์กำลังสองระหว่างควอนตัมและความซับซ้อนของแบบสอบถามที่กำหนดขึ้นเมื่อโดเมนของฟังก์ชันมีขนาดเล็กมาก