การเพิ่มน้ำหนักขอบรวม

ฉันสงสัยว่าปัญหาต่อไปนี้มีชื่อหรือผลลัพธ์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้อง

ปล่อย $G = (V,w)$ เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักที่ไหน $w(u,v)$ หมายถึงน้ำหนักของขอบระหว่าง $u$ และ $v$และสำหรับทุกคน $u,v \in V$, $w(u,v) \in [-1,1]$. ปัญหาคือการหาส่วนย่อยของจุดยอดที่เพิ่มผลรวมของน้ำหนักของขอบที่อยู่ติดกัน:

$$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$$ โปรดทราบว่าฉันนับขอบทั้งที่อยู่ภายในชุดย่อยและที่อยู่นอกชุดย่อยซึ่งเป็นสิ่งที่แตกต่างปัญหานี้จากการตัดสูงสุด อย่างไรก็ตามแม้ว่าทั้งและอยู่ในฉันต้องการนับขอบเพียงครั้งเดียว (มากกว่าสองครั้ง) ซึ่งเป็นสิ่งที่แยกความแตกต่างของวัตถุประสงค์จากการเป็นผลรวมขององศาเท่านั้น$u$$v$$S$$(u,v)$

โปรดทราบว่าปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องเล็กน้อยหากน้ำหนักขอบทั้งหมดไม่เป็นลบ - เพียงแค่ใช้กราฟทั้งหมด!

ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา แต่เป็นข้อสังเกต

นี่เป็นกรณีพิเศษของปัญหาต่อไปนี้: ให้จักรวาล , และกลุ่มชุดและฟังก์ชันน้ำหนักค้นหาชุดซึ่งถูกขยายให้ใหญ่สุด (น้ำหนักของชุดคือน้ำหนักรวมขององค์ประกอบ) ปัญหาของคุณสอดคล้องกับกรณีที่องค์ประกอบของปรากฏในสองชุด (แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะใช้ประโยชน์จากข้อ จำกัด นี้ได้อย่างไรแม้ว่าอาจจะช่วยได้ก็ตาม)$U = \{1, \ldots, m\}$$S_1, \ldots, S_n \subseteq U$$w:U \rightarrow [-1, 1]$$I \subseteq [n]$$w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$$U$

นี่เป็นปัญหาที่ครอบคลุม: คล้ายกับ Max-k-Set-Cover แต่ไม่มีข้อ จำกัด ในการใช้ชุดและด้วยน้ำหนักเชิงลบที่ได้รับอนุญาต ประมาณโลภของ Max-k-Set-ปก (ในแต่ละขั้นตอนการส่งออกชุดที่มีน้ำหนักที่ใหญ่ที่สุดขององค์ประกอบเปิดเพื่อให้ห่างไกล) outputs ลำดับของชุดดังกล่าวว่าเป็นครั้งแรกชุดเป็นประมาณไป เหมาะสม (ดังนั้นนี่คือการประมาณพร้อมกันสำหรับทั้งหมด) น่าเสียดายที่ตามปกติมีปัญหาในการวิเคราะห์เมื่อน้ำหนักอาจเป็นลบ การสังเกตพื้นฐานของการวิเคราะห์อัลกอริทึมโลภคือถ้าเป็นชุดแรกที่เป็นเอาต์พุตดังนั้น ($k$$k$$1 + 1/e$$k$$S_1$$w(S_1) \geq OPT_k/k$$OPT_k$เป็นน้ำหนักสูงสุดที่ครอบคลุมโดยชุด) เพราะน้อยกว่าผลรวมของน้ำหนักที่ชุดที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหาและแต่ละคนมีน้ำหนักน้อยกว่า(s_1) อย่างไรก็ตามด้วยน้ำหนักเชิงลบมันไม่เป็นความจริงอีกต่อไปว่าจะน้อยกว่าผลรวมของน้ำหนักในโซลูชันที่ดีที่สุด โดยทั่วไปแล้วการรวมสหภาพจะไม่เป็นจริงอีกต่อไป$k$$OPT_k$$k$$w(S_1)$$OPT_k$

FWIW ปัญหาของคุณยากที่จะประมาณค่าภายในปัจจัยคูณของสำหรับใด ๆ$n^{1-\epsilon}$$\epsilon>0$

เราแสดงให้เห็นว่าด้านล่างโดยให้การลดการรักษาโดยประมาณจากชุดอิสระซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีว่ามีความแข็งประมาณ

ลดจากชุดอิสระ

ให้กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางเป็นตัวอย่างของชุดอิสระ ให้แสดงว่าระดับของจุดสุดยอดในGให้เป็นหมายเลขของจุดในG$G=(V,E)$$d_v$$v$$G$$n$$G$

สร้างกราฟถ่วงน้ำหนักขอบจากดังนี้ ให้แต่ละขอบด้วยน้ำหนัก 1 สำหรับแต่ละจุดยอดไม่แยกแต่ละตัวเพิ่มขอบใหม่ซึ่งมีน้ำหนักลงไปที่จุดยอดใหม่สำหรับจุดสุดยอดที่แยกแต่ละแห่งให้เพิ่มขอบน้ำหนักใหม่ 1 อันลงในจุดสุดยอดใหม่$G'=(V',E')$$G$$E$$v\in V$$d_v-1$$-1$$d_v-1$$v\in V$

(หมายเหตุ: จุดสุดยอดใหม่แต่ละอัน (ในแต่ไม่ใช่ ) มีเพื่อนบ้านหนึ่งคนซึ่งอยู่ใน )$G'$$G$$G$

บทแทรก มีชุดที่เป็นอิสระจากขนาด IFF (เป็นตัวอย่างของปัญหาของคุณ) มีวิธีการแก้ปัญหาของมูลค่าอย่างน้อยk$G$$k$$G'$$k$

พิสูจน์ ให้เป็นชุดอิสระใด ๆ ในGจากนั้นเนื่องจากจุดยอดในเป็นอิสระในค่าของใน (โดยวัตถุประสงค์ของคุณ) คือ $S$$G$$S$$G'$$S$$G'$

$$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$$

ตรงกันข้ามให้เป็นวิธีการแก้ปัญหาสำหรับของมูลค่าอย่างน้อยkหากไม่มีการสูญเสียความคิดทั่วไปถือว่าไม่มีจุดยอดใหม่ (จุดสุดยอดใหม่แต่ละอยู่บนขอบเดียวถ้าไม่ได้แยกในดังนั้นน้ำหนักของขอบคือดังนั้นการลบจากเพิ่มค่าของถ้าถูกแยกออกจากนั้นน้ำหนักของขอบคือ 1 ดังนั้นการลบจากและการเพิ่มรักษาค่าของ )$S$$G'$$k$$S$$v'$$(v',v)$$v$$G$$-1$$v'$$S$$S$$v$$v'$$S$$v$$S$

โดยไม่สูญเสียของทั่วไปสมมติว่าเป็นชุดที่เป็นอิสระในG(มิฉะนั้น, ให้เป็นขอบโดยที่และอยู่ในน้ำหนักรวมของขอบของเหตุการณ์ในคือ , ดังนั้นน้ำหนักรวมของขอบของเหตุการณ์ที่ไม่ใช่นั้นมีค่าเป็นศูนย์มากที่สุดดังนั้นการลบจากจะไม่เพิ่มมูลค่าของ )$S$$G$$(u,v)$$u$$v$$S$$v$$G'$$d_v - (d_v-1) = 1$$v$$(u,v)$$v$$S$$S$

ตอนนี้โดยการคำนวณเช่นเดียวกับที่จุดเริ่มต้นของการพิสูจน์ค่าของคือ. มันเป็นไปตามนั้น . QED$S$$|S|$$|S| \ge k$

เช่นกันคุณอาจถามแทนการเติมแต่งประมาณของการพูด,หรือเมตร $O(n)$$\epsilon m$

ดูเหมือนว่าเป็นไปได้สำหรับฉันที่ปัญหาของคุณจะตัดสินใจได้ว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาค่าบวกอาจเป็นปัญหาได้หรือไม่