ฐานGröbnerใน TCS?

มีใครรู้บ้างเกี่ยวกับการใช้งานที่น่าสนใจของฐานGröbnerกับวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี?

ฐานGröbnerใช้เพื่อแก้สมการพหุนามหลายตัวแปรซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นโดยทั่วไป ฉันสงสัยว่าบางกรณีที่ใช้การได้ดีสามารถใช้เพื่อให้อัลกอริทึม / การสร้าง / การพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพใน TCS หรือพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับ TCS (combinatorics, coding ทฤษฎี)

การคำนวณพื้นฐานของGröbnerในขณะที่ EXPSPACE สมบูรณ์แบบโดยทั่วไปนั้นจะอยู่ใน PSPACE บนวงแหวนบูลีน สิ่งนี้มีแอปพลิเคชันในการตรวจสอบรูปแบบเพื่อแทนที่ BDDs: Quoc-Nam Tran, "อัลกอริทึม PSPACE สำหรับการคำนวณ Groebner Bases ใน Boolean Rings", Proc WASET, Vol. 35, พ.ย. 2008, ISSN 2070-3740

[หมายเหตุ]ผลที่ระบุว่าการคำนวณพื้นฐานของ Groebner อยู่ใน PSPACE เหนือวงบูลีนดูเหมือนผิดดู Mark van Hoeij, ฐานGröbnerในวงบูลีนไม่ใช่ P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015

[หมายเหตุ]การอ้างสิทธิ์ว่าผลลัพธ์ที่ระบุว่าการคำนวณพื้นฐานของ Groebner อยู่ใน PSPACE เหนือวงบูลีนดูเหมือนว่าผิด ผู้เขียนสร้างความสับสนในการคำนวณ PSPACE ด้วยขนาดโพลิโนเมียล ฟังก์ชั่น PSPACE อาจมีเอาต์พุตยาวเป็นอย่างมาก

มีปริมาณ Springer ที่น่าสนใจสำหรับการใช้งานฐานGröbnerในการเข้ารหัสและการเข้ารหัส:

• Gröbner Bases, Coding และ Cryptography , / Sala, M .; โมรา, ต.; Perret, L .; Sakata, S. Traverso, C. (Eds.)

โดยส่วนตัวแล้วฉันกำลังทำวิจัยของฉันในอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณอุดมคติของพหุนามความผิดพลาดของตัวระบุตำแหน่ง (แนวคิดที่รู้จักกันดีในทฤษฎีการเข้ารหัสโดยเฉพาะการถอดรหัสกลุ่มอาการ) ในกรณีของรหัสจากตัวระบุตำแหน่งเชิงเรขาคณิตผิดพลาดของ algeraic มักเป็นอุดมคติของพหุนามจากตัวแปรหลายตัวนั่นคือที่ที่Gröbner Bases มีบทบาทสำคัญ ในปริมาณที่กล่าวมาข้างต้นส่วนที่น่าสนใจที่สุดสำหรับฉันคือคำอธิบายของ S. Sakata เกี่ยวกับ BMS-algorithm และการสำรวจแอพพลิเคชั่นสำหรับการถอดรหัสรหัสเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

เพิ่งได้ยินในระหว่างการประชุมเชิงปฏิบัติการ 8F

หลักฐานดั้งเดิมที่สามารถใช้การเข้ารหัสเครือข่ายในเครือข่ายการไหลใช้ฐานของGröbner

ฐานGröbnerถูกนำไปใช้กับปัญหาความพึงพอใจของข้อ จำกัด (ดูทุนนี้) ณ จุดนี้เทคนิคพื้นฐานของGröbnerดูเหมือนจะไม่เป็นประโยชน์สำหรับการประยุกต์ใช้ความพึงพอใจของข้อ จำกัด เนื่องจากพวกเขากำลังแข่งขันกับการค้นหาฮิวริสติกแบบผู้ใหญ่เทคนิคการบังคับใช้อย่างต่อเนื่องและผู้เผยแพร่วัตถุประสงค์พิเศษที่มีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตามฉันคิดว่ามีการใช้งานเชิงทฤษฎีที่รอการค้นพบโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเกณฑ์Gröbnerมีขนาดที่เหมาะสม ดูบทความโดยJefferson, Jeavons, Green และ van Dongen ที่นำเสนอใน MACIS 2007 (ฉบับบันทึก: AMAI 67 359–382, 2013, ดอย: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ) ซึ่งกล่าวถึงปัญหาบางอย่าง .

ฉันใช้เกณฑ์Gröbnerเพื่อช่วยหาบทพิสูจน์สั้น ๆ ของทฤษฎีการแบ่งขั้วใหม่สำหรับปัญหา #CSP บนกราฟ 3 ตัวที่มีฟังก์ชัน จำกัด แบบไบนารีเดียวที่มีน้ำหนักซับซ้อน ( รุ่น arXiv )

มีความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันโดยธรรมชาติกับชุดของฟังก์ชันข้อ จำกัด คือถ้าสำหรับกราฟอินสแตนซ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด สำหรับกราฟแบบปกติ 3 รายการจะมีคลาสที่เทียบเท่าน้อยกว่ากราฟที่เป็นไปได้ทั้งหมด เนื่องจากทฤษฎีบทแบ่งขั้วเพียงต้องการพิสูจน์ความซับซ้อนของฟังก์ชัน จำกัด ในแต่ละระดับความเท่ากันสิ่งนี้นำไปสู่การพิสูจน์ที่สั้นกว่า# CSP ( f ) = # CSP ( g $f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

พื้นฐานของGröbnerใช้ในการแปลงจากตัวแปรสี่ตัวแรกที่จำเป็นในการกำหนดฟังก์ชันเลขฐานสองเป็นหก "ตัวแปรสมมาตร" ที่ไม่แปรเปลี่ยนในแต่ละระดับความเท่ากัน (ดูหมวด D ของกระดาษที่เชื่อมโยงด้านบน) อย่างไรก็ตามพื้นฐานGröbnerไม่ได้กล่าวถึงในเอกสารเนื่องจากวัตถุประสงค์เพียงอย่างเดียวคือการเปลี่ยนแปลงอัตโนมัติจากตัวแปรเริ่มต้นสี่ตัวไปเป็นตัวแปรสมมาตรหกตัวในตัวแปรพหุนามต่าง ๆ (ซึ่งถูกขึ้นรูปโดยGroebnerBasis ของ Mathematic )

สามารถมองเห็นเอกสารต่อไปนี้เป็นแอปพลิเคชั่นเดียว

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: การคำนวณแบบพหุมิติ วารสารการคำนวณทางเรขาคณิต, 1 (1) 2010, หน้า 72-100 http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

ฉันเห็นผู้เขียนใช้อัลกอริทึมของ Buchberger เป็นรูทีนย่อยและใช้ประโยชน์จากโครงสร้างของปัญหาของพวกเขาเพื่อพิสูจน์ว่าเวลาทำงานนั้นมีขอบเขตแบบพหุนาม

Grant Passmoreและคนอื่น ๆ เขียนเกี่ยวกับพวกเขาในบริบทของนักแก้ปัญหา SMT ฉันไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญในฐานของ Groebner หรือในนักแก้ปัญหา SMT ดังนั้นจึงยากสำหรับฉันที่จะประเมินว่าข้อมูลอ้างอิงนี้ตอบคำถามของคุณได้ดีเพียงใด

ในการพิสูจน์ความซับซ้อนการใช้ฐานGröbnerได้รับการเสนอโดยClegg, Edmonds, Impagliazzoเพื่อลบล้าง CNFs มีหลายกรณีที่ระบบการพิสูจน์นี้มีประสิทธิภาพสูงกว่าการแก้ปัญหาแบบชี้แจง แต่ดูเหมือนว่าฉันไม่ได้มีการปรับปรุงประสิทธิภาพที่แท้จริงสำหรับอินสแตนซ์ทั่วไป

มันเป็นความจริงเช่นกันที่ขอบเขตล่างหลายค่าสำหรับการระงับความละเอียดสำหรับโพลิโนเมียลแคลคูลัส (ระบบพิสูจน์บนฐานGröbner) ข้อยกเว้นมักจะถูกสร้างขึ้นสำหรับลักษณะของสนามต้นแบบ ซึ่งหมายความว่าการทำงานในสามารถช่วยคุณในบางสูตร แต่ไม่เกี่ยวกับสูตรอื่น$GF(2)$

อย่างไรก็ตามแคลคูลัสพหุนามยังไม่ได้รับการศึกษามากเท่ากับความละเอียดดังนั้นจึงไม่สามารถใช้การวิเคราะห์พฤติกรรมได้อย่างดี

ดูสิ่งนี้สำหรับแอปพลิเคชันใน cryptanalysyis (ฉันไม่รู้มากเกี่ยวกับเรื่องนี้)

Alekseyev และ Pevzner ใช้มันในบทความนี้เพื่อคำนวณระยะทาง -break ระหว่างสองจีโนมในเวลาเชิงเส้น ระยะทางนั้นหมายถึงจำนวนครั้งต่ำสุดที่คุณต้องตัดจีโนมที่ให้เป็นชิ้นและจัดเรียงใหม่เพื่อเปลี่ยนจีโนมนั้นเป็นอีกอันหนึ่ง$k$$k$

ฐาน Grobner ใช้สำหรับอัลกอริทึมการถอดรหัสรายการที่เร็วที่สุดสำหรับรหัส Reed-Solomon: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

ฐานGröbnerได้รับการใช้ประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาที่สำคัญในเรขาคณิตหลายมุมมองในการมองเห็นของคอมพิวเตอร์

ต่อไปนี้http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdfพื้นฐานGröbnerบางครั้งจะใช้ในการตัดสินใจมอร์ฟ (เมื่อกราฟจะถูกเข้ารหัสโดยระบบสมการ) แต่สิ่งนี้ได้รวมการใช้พื้นฐานของ grobner ในการปรับปรุง CNFS