การ จำกัด รายการของผู้ประกอบการรวมกับจำนวนจริงและชุดประตูสากล

ใน Bernstein และ Vazirani กระดาษน้ำเชื้อ "ควอนตัมทฤษฎีความซับซ้อน" พวกเขาแสดงให้เห็นว่ามิติการเปลี่ยนแปลงรวมสามารถประมาณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยผลิตภัณฑ์ของสิ่งที่พวกเขาเรียกว่า "ใกล้เล็กน้อยหมุน" และ "ใกล้เล็กน้อยกะเฟส"$d$

"ใกล้สัพเพเหระผลัด" เป็นมิติรวมการฝึกอบรมการกระทำที่เป็นตัวตนในทุก แต่ 2 มิติ แต่ทำหน้าที่เป็นวาระในเครื่องบินทอดทั้งสองมิติ (เช่นมี submatrix 2x2 ของรูปแบบ:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

สำหรับบางคน )$\theta$

"กะระยะใกล้น่ารำคาญ" เป็นมิติรวมการฝึกอบรมการกระทำที่เป็นตัวตนในทุกมิติ แต่ 1 แต่ใช้ปัจจัยของอีฉันθสำหรับบางθกับที่อีกมิติหนึ่ง$d$$e^{i\theta}$$\theta$

ยิ่งไปกว่านั้นพวกเขาแสดงให้เห็นว่าจำเป็นต้องมีมุมการหมุนเพียงมุมเดียวเท่านั้น (สำหรับทั้งหน่วยการหมุนและการเลื่อนเฟส) เนื่องจากมุมนั้นเป็นจำนวนที่ไม่ลงตัวของ (BV ตั้งค่ามุมเป็น2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 j .$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

เอกสารที่ตามมาในทฤษฎีควอนตัมซับซ้อน (เช่นนั้นโดย Adleman et al, หรือ Fortnow และโรเจอร์ส) อ้างว่าผล BV ก็หมายความว่าการคำนวณควอนตัมสากลสามารถทำได้กับผู้ประกอบการรวมกันที่มีรายการที่อยู่ในR$\mathbb{R}$

สิ่งนี้ติดตามได้อย่างไร ฉันสามารถเข้าใจได้ว่าผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์การหมุนแบบใกล้เคียงจะให้เมทริกซ์ที่รวมเข้าด้วยกันกับรายการจริง แต่แล้วเมทริกซ์การเปลี่ยนเฟสเป็นอย่างไร

นั่นคือ: ถ้าคุณทำได้เพียงการหมุนรอบ ๆ แบบไม่สำคัญและเมทริกซ์การเปลี่ยนเฟสที่รายการของเมทริกซ์เป็นเราสามารถประมาณเมทริกซ์การเปลี่ยนเฟสอื่น ๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพหรือไม่?$0,\pm 1$

ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้ไม่ชัดเจนในทันทีและการพิสูจน์ที่เหมาะสมสำหรับมันจะคล้ายกับการพิสูจน์ว่าประตู Toffoli เหมือนของ Deutsch นั้นเป็นสากล - หรือฉันขาดอะไรที่ชัดเจนมากไป?

มีหลักฐานง่าย ๆ ว่า Toffoli และ Hadamard เป็น Quantum Universalโดย Dorit Aharonov ซึ่งแสดงให้เห็นว่าแอมพลิจูดที่ซับซ้อนสามารถจำลองโดยแอมพลิจูดที่แท้จริงบนพื้นที่ฮิลแบร์ตที่มีขนาดใหญ่กว่าได้อีกหนึ่งควิบิต

$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

นอกจากกระดาษ Martin ชี้ให้คุณเห็นมีกระดาษก่อนหน้านี้โดย Terry Rudolph และ Lov Grover แสดงว่าประตู 2 rebit เป็นสากลสำหรับการคำนวณควอนตัม (ดูquant-ph / 0210187 ) เกทมี enteries ที่แท้จริงทั้งหมดและในกรณีที่คุณไม่รู้จัก rebits คือ qubits ที่แอมพลิจูดถูก จำกัด จำนวนจริง นี่อาจเป็นที่มาของการอ้างสิทธิ์ ประตูในคำถามที่อธิบายไว้ในกระดาษคือการหมุน Y ที่ควบคุม

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$