NC เวอร์ชั่นใหญ่คืออะไร

จับความคิดของ parallelizable ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเป็นหนึ่งในความหมายของมันก็เป็นปัญหาที่แก้ไขได้ในเวลาโดยใช้หน่วยประมวลผลแบบขนานสำหรับบางคนคง ,kคำถามของฉันคือถ้ามีความสลับซับซ้อนคล้ายที่เวลาเป็นและจำนวนของตัวประมวลผลเป็น kเป็นคำถามที่เติมในช่องว่าง: $\mathsf{NC}$ $O(\log^c n)$ $O(n^k)$ $c$ $k$ $n^c$ $2^{n^k}$

คือเนื่องจาก__ คือ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{EXP}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจในแบบจำลองที่เรามีคอมพิวเตอร์จำนวนมากที่ถูกจัดเรียงในเครือข่ายที่มีขอบเขตแบบ polynomially (ให้บอกว่าเครือข่ายไม่ขึ้นอยู่กับอินพุต / ปัญหาหรืออย่างน้อยก็สามารถสร้างได้ง่ายหรืออย่างอื่น ๆ ) ในแต่ละขั้นตอน:

คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องจะอ่านจำนวนพหุนามของข้อความขนาดพหุนามที่ได้รับในขั้นตอนเวลาก่อนหน้า
คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องใช้การคำนวณแบบหลายช่วงเวลาที่สามารถขึ้นอยู่กับข้อความเหล่านี้
คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องส่งข้อความ (ความยาว) ไปยังแต่ละเพื่อนบ้าน

คลาสความซับซ้อนชื่ออะไรที่ตรงกับโมเดลเหล่านี้? เป็นสถานที่ที่ดีในการอ่านเกี่ยวกับชั้นเรียนที่ซับซ้อนเช่นอะไร? มีปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับชั้นเรียนนี้หรือไม่?

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

คำถามที่เกี่ยวข้องฉันคิดว่า: cstheory.stackexchange.com/q/2788/1037

— Artem Kaznatcheev

เรามี

N C^{k} = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{k})

$NC^k = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^k)$

N C = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{O (1)})

$NC = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^{O(1)})$

)

ดังนั้นคลาสที่สอดคล้องกับ

อาจเป็นสิ่งที่ต้องการ

P = T i m e (n^{O (1)})

$P = Time(n^{O(1)})$

E X P = T i m e (2^{n^{O (1)}})

$EXP = Time(2^{n^{O(1)}})$

N C^{k}

$NC^k$

แล้วระดับที่สอดคล้องกับ

จะ

)

มันเป็นแค่การจัดการเชิงพีชคณิตฉันไม่ได้ตรวจสอบว่ามันตรงกับความต้องการของคุณหรือไม่ แต่ฉันคิดว่ามันจะเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อ ฉันคิดว่าคุณควรทิ้งข้อกำหนดนั้นไว้เป็นอย่างอื่น (เพิ่มเติม)

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{O (\log n)^{k}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{O(\log n)^k})$

N C

$NC$

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{(\log n)^{O (1)}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{(\log n)^{O(1)}})$

— Kaveh

ระดับที่เกิดขึ้นจะมี

และการเปรียบเทียบจะไม่ถือเป็น

E X P

$EXP$

N C \subseteq P

$NC \subseteq P$

— Kaveh

ฉันไม่เข้าใจว่าคุณมี

ความซับซ้อนพื้นที่ เท่าที่ฉันรู้ว่า

อนุญาตให้มีประตูจำนวนมาก ถ้าเราต้องการไปตามแนวอะนาล็อกของคุณเราควรดูที่

เป็น

แล้วระดับความซับซ้อนที่ฉันกำลังมองหาคืออะไร เช่น

l o g n

$log n$

N C

$NC$

N C

$NC$

P T / W K (l o g^{c} n, n^{k}) / p o l y

$PT/WK(log^c n,n^k)/poly$

อย่างไรก็ตามฉันหวังว่าจะมีลักษณะที่ดีกว่านี้

P T / W K (n^{c}, 2^{n^{k}}) / p o l y

$PT/WK(n^c ,2^{n^k})/poly$

— Artem Kaznatcheev

นั่นคือมาตรฐาน (แม้ว่าจะไม่ได้อยู่ในสวนสัตว์ที่มีความซับซ้อน) ให้ตรวจสอบเช่น Ruzzo, "เกี่ยวกับความซับซ้อนของวงจรเครื่องแบบ", 1981 นอกจากนี้ฉันคิดว่าคุณควรทำงานกับชั้นเรียนแบบสม่ำเสมอทุกฟังก์ชั่นมีขนาด สิ่งนี้จะเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อนี้หากเราใช้การเข้าใช้งานแฟนอินและ

ความลึก

) และอย่างที่ฉันบอกถ้ามีหลายโหนดแทนการเปรียบเทียบก็ไม่ถือ นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติหลักของการคำนวณแบบขนานคือประหยัดเวลาเช่นมันเป็นเวลาที่โพลีเข้าสู่ระบบในกรณีที่

ฉันคิดว่าเวลากึ่งโพลิโนเมียลจะสอดคล้องกับเวลาโพลี - ล็อก

\log n

$\log n$

N C

$NC$

— Kaveh

คำตอบ:

ผมเชื่อว่าระดับที่คุณกำลังมองหาคือ Eสมมติว่าคุณมีโปรเซสเซอร์โปรเซสเซอร์ที่เหมาะสมกับข้อกำหนด: $PSPACE$ $exp(n^k) = 2^{O(n^k)}$

คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องจะอ่านจำนวนพหุนามของข้อความขนาดพหุนามที่ได้รับในขั้นตอนเวลาก่อนหน้า

คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องใช้การคำนวณแบบหลายช่วงเวลาที่สามารถขึ้นอยู่กับข้อความเหล่านี้

คอมพิวเตอร์ทุกเครื่องส่งข้อความ (ความยาว) ไปยังแต่ละเพื่อนบ้าน

$poly(n)$ $exp(n^k)$

$O(\log n)$ $poly(n)$ $exp(n^k)$ $PSPACE$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

ไรอันฉันไม่อยากรู้ว่าคุณใส่จำนวนเลขชี้กำลังของคอมพิวเตอร์ในหลายชั้นแบบพหุนามดูเหมือนว่าสำหรับฉันแล้วความลึกสามารถอธิบายได้คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยได้ไหมว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการสร้างวงจรเล็ก ๆ ของ CNF ของฟังก์ชั่นที่กำหนดขึ้นเองในฐานะที่เป็นวงจรอินแฟน 2 จะตอบสนองความต้องการได้หรือไม่

— Kaveh

@Kaveh: ฉันไม่เข้าใจคำถามแรกของคุณ ประมาณวินาทีแม้ว่าจะมีวงจรความลึก 2 ขนาดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ ก็ตาม NC (โพลี) ต้องการให้คุณสามารถสร้างวงจรอย่างสม่ำเสมอดังนั้นคุณจึงไม่สามารถสร้างวงจรโดยพลการสำหรับขนาดอินพุตแต่ละขนาดได้

— Robin Kothari

@ Robin ขอบคุณ อาจเป็นสิ่งที่ฉันสับสน (ฉันรู้สึกว่าความลึกของวงจรที่สอดคล้องกับ PSpace ควรเป็นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลและฉันคิดว่า PSpace เป็น EXP เนื่องจาก L คือ P ดังนั้นจึงระบุในสิ่งเดียวกันเมื่อ L ถูกแทนที่ด้วย NC นั้นแปลกสำหรับฉันฉันรู้สึกว่าชั้นที่เราเป็น การดูแลควรอยู่ระหว่าง PSpace และ EXP) ฉันต้องคิดอีกเล็กน้อยเพื่อที่จะเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่

— Kaveh

@Kaveh ฉันได้กำหนดจำนวนเลเยอร์ (เช่นความลึก) ให้เป็นเลขชี้กำลังดังนั้นความลึกจึงไม่สามารถอธิบายได้ตามนิยาม มีโปรเซสเซอร์จำนวนมากชี้แจงดังนั้น CNF ของคุณจะต้องมีพัดลมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล, ละเมิดเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง ความลึกของวงจรขนาดเอ็กซ์โปเนนเชียลที่สอดคล้องกับ PSPACE คือพหุนาม เหตุผลนี้เป็นจริงและเหตุผลที่การเปรียบเทียบทั้งสองเป็น "ถูกต้อง" ในแง่หนึ่ง ("PSPACE คือการ EXP ตาม L คือ P" และ "PSPACE คือ EXP เป็น NC เป็น P") เป็นเพราะ PSPACE = สลับพหุนาม เวลา. เราไม่ทราบว่า L = การสลับเวลาลอการิทึม (นี่คือ NC1)

— Ryan Williams

ฉันคิดว่าฉันเข้าใจสถานการณ์ดีขึ้นหลังจากอ่านความคิดเห็นของคุณและของ Robin ขอบคุณ

— Kaveh

อย่างที่ Ryan พูดคลาสนี้คือ PSPACE ชั้นนี้มักจะเรียกว่า NC (โพลี) ในวรรณคดี นี่คือคำพูดโดยตรงจากกระดาษQIP = PSPACE :

เราพิจารณาตัวแปรที่ปรับขนาดของ NC ซึ่งเป็นระดับความซับซ้อน NC (โพลี) ที่ประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดที่คำนวณได้โดยตระกูลเครื่องแบบพหุนาม - อวกาศของวงจรบูลีนที่มีพหุนามความลึก (สัญกรณ์ NC (2 ^โพลี ) ยังเคยถูกใช้สำหรับคลาสนี้ [11].) สำหรับปัญหาการตัดสินใจเป็นที่รู้กันว่า NC (โพลี) = PSPACE [10]

[10] A. Borodin ตามเวลาและพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับขนาดและความลึก วารสารคอมพิวเตอร์สยาม, 6: 733–744, 1977

[11] A. Borodin, S. Cook, และ N. Pippenger การคำนวณแบบขนานสำหรับวงแหวนที่ได้รับการยอมรับอย่างดีและเครื่องจักรที่น่าจะเป็นพื้นที่ จำกัด สารสนเทศและการควบคุม, 58: 113–136, 1983

วิธีหนึ่งในการดูสิ่งนี้คือการพิสูจน์การรวมทั้งสองโดยตรง หากต้องการดู NC (โพลี) เป็น PSPACE โปรดทราบว่าเราสามารถคำนวณผลลัพธ์ของเกตสุดท้ายได้ซ้ำและเราจะต้องใช้สแต็กขนาดเท่าความลึกของวงจรซึ่งเป็นพหุนาม เพื่อแสดงให้เห็นว่า PSPACE อยู่ใน NC (โพลี) โปรดทราบว่า QBF ซึ่งเป็น PSPACE ที่สมบูรณ์สามารถเขียนเป็นวงจรเชิงลึกพหุนามที่มีหลาย ๆ ประตูตามปกติ - ปริมาณที่มีอยู่คือประตูเกต เป็นประตู AND เนื่องจากมีจำนวนมากหลายพหุนามนี่คือวงจรเชิงลึกพหุนาม

— Robin Kothari
แหล่งที่มา