ความซับซ้อนของ Tensor Rank เหนือสนามไม่มีที่สิ้นสุด

เมตริกซ์เป็นลักษณะทั่วไปของเวกเตอร์และเมทริกซ์ไปยังมิติที่สูงขึ้นและการจัดอันดับของเมตริกซ์ยัง generalizes อันดับของเมทริกซ์ กล่าวคืออันดับของเมตริกซ์เป็นจำนวนขั้นต่ำของอันดับหนึ่ง tensors ได้ว่าจำนวนเงินที่จะTเวกเตอร์และเมทริกซ์คือเทนเซอร์ระดับ 1 และ 2 ตามลำดับ $T$ $T$

องค์ประกอบในมาจากสนามเรนไฮน์ถ้ามีขอบเขต จำกัด ดังนั้นHåstadจึงพิสูจน์ได้ว่าการตัดสินใจว่าระดับของเมตริกซ์ 3 นั้นมากที่สุดคือ NP-complete แต่เมื่อเป็นสนามที่ไม่มีที่สิ้นสุดเหมือน Rationals เขาให้ (หรืออ้างอิง) ไม่มีขอบเขตบน $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

คำถาม:อะไรคือขอบเขตบนที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับความซับซ้อนของการตัดสินใจว่าอันดับของเทนเซอร์ 3 องศาต่อมากที่สุด ? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— ไทสันวิลเลียมส์
แหล่งที่มา

อันดับของเทนเซอร์สามองศาเหนือℚเหมือนกับอันดับของเทนเซอร์เดียวกันมากกว่าℝหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นปัญหาสามารถถูกกำหนดเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีการดำรงอยู่ของ Realsและดังนั้นจึงอยู่ใน PSPACE

— Tsuyoshi Ito

ความคิดในความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันจะไม่ทำงานเพราะอันดับของเทนเซอร์สามองศาเหนือℚบางครั้งแตกต่างจากอันดับของเทนเซอร์เดียวกันมากกว่า over ให้ {x, y} เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สองมิติและพิจารณาตัวคูณ2x⊗x⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x ไม่ยากเลยที่จะเห็นว่าอันดับของมันมากกว่าสอง แต่อันดับของมันนั้นมากกว่าสอง (ตัวอย่างนี้ได้จากการปรับเปลี่ยนตัวอย่างที่แสดงว่าอันดับเหนือℝอาจแตกต่างจากอันดับที่มากกว่าℂในKruskal 1989 )

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito ฉันเห็นด้วยอย่างยิ่ง ฉันยังไม่พบข้อ จำกัด ด้านบนใด ๆ

— Tyson Williams

ฉันคิดว่ามันเป็นการดีที่จะถามการคำนวณก่อนความซับซ้อน

— Tsuyoshi Ito

UpperBound เล็กน้อยก็คือว่ามันเป็นซีอีHåstadยังพิสูจน์ในกระดาษเดียวกันว่าปัญหาคือ

กว่าQ

ต่อไปนี้ปัญหาทั่วไปมากขึ้นเป็นซีอีสมบูรณ์: รับเมตริกซ์ที่เต็มไปด้วยบางส่วนจะมีความสำเร็จของมันที่มียศ

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— Kaveh

คำตอบ:

มี preprint ที่ผ่านมาเกี่ยวกับเรื่องนี้คือ: http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf มันแสดงให้เห็นว่าส่วนใหญ่ปัญหาตำแหน่งที่เกี่ยวข้องกับเทนเซอร์ที่มีปัญหาหนักกว่าและC(นอกจากนี้ยังกล่าวถึงการตัดสินใจจัดอันดับเหนือคือ NP hard) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— บาร์ต
แหล่งที่มา

บาร์ตสิ่งตีพิมพ์ (โดย Hillar and Lim) นั้นยอดเยี่ยมมาก ... ขอบคุณมาก

— John Sidles

ดี อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจประโยคนี้: "แม้ว่าผลลัพธ์ของHåstadจะนำไปใช้กับ

และ

ตัวเลือกของเขตข้อมูลเหล่านี้ไม่เหมาะสมสำหรับทุกคนยกเว้นปัญหาอย่างใดอย่างหนึ่งดังกล่าวข้างต้น (ยกเว้นระบบสมการ bilinear) ปัญหาการวิเคราะห์มีการกำหนดเฉพาะอย่างดีในฟิลด์ที่สมบูรณ์ของคุณลักษณะ 0 ด้วยค่าสัมบูรณ์ในฟิลด์ดังกล่าว

และ

เป็นแอพพลิเคชั่นที่พบได้บ่อยที่สุดดังนั้นเราจึง จำกัด การอภิปรายของเราในฟิลด์เหล่านี้ "

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Tyson Williams

หนึ่งในปัญหาที่อ้างถึงในใบเสนอราคาข้างต้นคืออันดับ ผู้เขียนเหล่านี้บอกว่าอันดับของเทนเซอร์ไม่ชัดเจนเหนือ

หรือไม่?

Q

$\mathbb{Q}$

— Tyson Williams

@Tyson: ผมคิดว่าผู้เขียนอยากจะบอกว่าสำหรับการใช้งานหลายตัวเลข (สมการเชิงอนุพันธ์, การประมวลผลสัญญาณ), คุณต้องการที่จะทำคำนวณใน

หรือC

เป็นนักวิเคราะห์เชิงตัวเลขตัวเองผมไม่เห็นการใช้งานหลายกำหนดไว้ในคิว

พวกเขาไม่ได้บ่งบอกถึงตำแหน่งที่ไม่ดีที่กำหนดในQ

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— บาร์ต

แม้ว่านี่จะเป็นคำตอบเดียว (ตั้งแต่จอห์นหมายถึงเขาเป็นความคิดเห็น) แต่ฉันก็ยังเชื่อว่าคำตอบนี้สมควรได้รับความโปรดปรานเพราะให้การอ้างอิงที่แสดงความแข็งกระด้างในฟิลด์อนันต์ที่สำคัญอื่น ๆ (reals และคอมเพล็กซ์) ตามชื่อคำถามของฉันแนะนำฉันอยากรู้เกี่ยวกับฟิลด์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยทั่วไป แต่ตัดสินใจที่จะถามเกี่ยวกับเหตุผลเพื่อให้มีคำถามพร้อมคำตอบเฉพาะ ฉันจะยังคงเลือกคำถามอื่นเป็นคำตอบที่ยอมรับถ้ามีคนสามารถให้ขอบเขตบน (หรือแสดงว่ามันไม่สามารถคำนวณได้)

— Tyson Williams

มุมมองของหนังสือในความซับซ้อนในการคำนวณ: ปริมาณ Somenath Biswas Anniversaryตีพิมพ์ในช่วงฤดูร้อนนี้ (กรกฎาคม 2014) ส่วนใหญ่เห็นด้วยกับฉันทามติที่เรามาถึงที่นี่ บนหน้า 199มันพูดว่า:

$\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— ไทสันวิลเลียมส์
แหล่งที่มา

preprint ล่าสุดยังยืนยัน: arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf (ดูตารางในหน้า 3)

— Huck Bennett

หมายเหตุ:ข้อความด้านล่างนี้มีจุดประสงค์เพื่อแสดงความคิดเห็น…แน่นอนว่าไม่ใช่คำตอบ แต่เป็นการสังเกตอย่างจริงจังที่เกิดขึ้นจากการปรับปรุงหลักการของ Magnetic Slonter ของ Charlie Slichterในภาษาของเรขาคณิตสมมาตรและทฤษฎีข้อมูลควอนตัม (ซึ่งดึงกลับมา ตามธรรมชาติบนพหุนาม - อันดับเมตริกซ์ - ช่องว่างของผลิตภัณฑ์รัฐ) ในปัจจุบันเรามีความเข้าใจทางเรขาคณิตบางส่วนของวิธีการแบบเมตริกซ์อันดับเหล่านี้การทำความเข้าใจอย่างไม่เป็นทางการเชิงปริมาณควอนตัมโดยพื้นฐานแล้วไม่มีความเข้าใจเชิงทฤษฎีหรือความซับซ้อนเชิงคอมบิเนเตอเรเตอร์

เรามีความสนใจอย่างมากที่จะขยายลึกและรวมความเข้าใจนี้เข้าด้วยกันดังนั้นเราจึงหวังว่าคนอื่น ๆ จะโพสต์คำตอบ / ความคิดเห็นเพิ่มเติมในหัวข้อนี้

C

$\mathbb{C}$

— John Sidles
แหล่งที่มา

ทฤษฎีบทนี้บอกง่ายไหม ถ้าไม่คุณสามารถให้ลิงค์ไปยังข้อความและคำอธิบายที่ดีได้หรือไม่?

— Tyson Williams

@ ไทสัน: ฉันคิดว่าจอห์นกำลังพูดถึงประสบการณ์ของเขาในการแก้ปัญหากรณีไม่ใช่ทฤษฎีบท

— Joe Fitzsimons

คุณถามเขาเกี่ยวกับทฤษฎีบทและดูเหมือนว่าเขาจะไม่พูดถึงเรื่องนี้ ฉันแค่คิดว่าคุณเข้าใจผิดเขา

— Joe Fitzsimons

จริงๆแล้วฉันคิดว่าฉันได้โพสต์ความคิดเห็น & รู้สึกประหลาดใจที่เห็นว่ามันปรากฏเป็นคำตอบ Doh! ตอนนี้ฉันเพิ่งแก้ไขเพื่อเพิ่มการอ้างอิง แต่ก็ยังห่างไกลจากคำตอบที่น่าพอใจ คำถามที่ดีโดย Tyson Williams! :)

— John Sidles

@Joe เขาพูดถึงทฤษฎีโค้งโค้งแบบโฮโมมอร์ฟิคของโกลด์เบิร์กและโคบายาชิดังนั้นฉันจึงถามเขาเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันไม่แน่ใจว่านั่นหมายความว่าฉันเข้าใจผิดเขาหรือไม่

— Tyson Williams