นกเมาเหล้าเทียบกับมดขี้เมา: เดินสุ่มระหว่างสองถึงสามมิติ

เป็นที่รู้จักกันดีว่าสุ่มเดินในตารางสองมิติจะกลับไปที่จุดเริ่มต้นที่มีความน่าจะเป็นที่ 1 นอกจากนี้ยังเป็นที่รู้จักกันว่าเดินสุ่มเดียวกันในสามมิติมีความน่าจะเป็นอย่างเคร่งครัดน้อยกว่า 1 กลับไปจุดเริ่มต้น

คำถามของฉันคือ:

มีบางอย่างในระหว่าง? ตัวอย่างเช่นสมมติว่าสเปซของฉันเป็นพื้นที่ที่มีขอบเขตของระนาบที่แผ่ออกไปเป็นอินฟินิตี้ในทิศทาง z (สิ่งที่มักเรียกว่า 2.5 มิติ) ผลลัพธ์สองมิติมีผลหรือใช้สามมิติหรือไม่

สิ่งนี้เกิดขึ้นในการสนทนาและการโต้เถียงแบบฮิวริสติกหนึ่งคำที่บอกว่ามันทำงานสองมิติคือเนื่องจากขอบเขตอัน จำกัด ของระนาบจะถูกปกคลุมในที่สุดในที่สุดส่วนที่ไม่ต้องเดินคนเดียวคือ 1 มิติเรย์ตามทิศทาง z และกลับ เพื่อกำเนิดจะเกิดขึ้น

มีรูปร่างอื่นที่สอดแทรกระหว่างเคสสองมิติกับเคสสามมิติหรือไม่?

Update (ดึงมาจากความคิดเห็น): คำถามที่เกี่ยวข้องถูกถามใน MO - สรุปสั้น ๆ ก็คือถ้าการเดินเป็นมิติ (2 + ϵ) แล้วผลตอบแทนที่ไม่แน่นอนนั้นกลับมาอย่างไม่ราบรื่นตามลำดับที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตามคำถามข้างต้นแตกต่างกันเล็กน้อย IMO เนื่องจากฉันถามเกี่ยวกับรูปแบบอื่น ๆ ที่อาจยอมรับผลตอบแทนบางอย่าง

ความน่าจะเป็นบนต้นไม้และเครือข่ายโดย Peres และ Lyons กล่าวถึงสิ่งนี้ในบทที่ 2 (หน้า 50):

วิธีการหนึ่งที่จะทำให้ความรู้สึกของเรื่องนี้ก็คือการถามเกี่ยวกับประเภทของพื้นที่กลางระหว่างและ 3 ตัวอย่างเช่นพิจารณาลิ่มZ$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

โดยที่เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น จำนวนขอบที่เหลือนั้นเป็นคำสั่งดังนั้นตามหลักเกณฑ์ของ Nash-Williams$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

เพียงพอสำหรับการเกิดซ้ำ

การเดินแบบสุ่ม 3-D ในพื้นที่ 3x3x3 (เช่นลูกบาศก์ของรูบิค) มีความน่าจะเป็นน้อยกว่าหนึ่งในการกลับไปยังแหล่งกำเนิดถ้าการเดินเริ่มต้นที่ด้านนอก; แต่พื้นที่ของ 2x2x2 คือหนึ่งเช่นเดียวกับพื้นที่ 3x3x3 ที่มีจุดกำเนิดอยู่ตรงกลาง ดังนั้นดูเหมือนว่าจะมีรูปร่างตรงกลาง แต่อาจไม่มากนัก