ทอพอโลยีพื้นที่ว่างที่เกี่ยวข้องกับ SAT: มันกะทัดรัดหรือไม่?

Satisfiabilityปัญหาเป็นของหลักสูตรเป็นปัญหาพื้นฐานในทางทฤษฎี CS ฉันกำลังเล่นกับปัญหาหนึ่งเวอร์ชันที่มีตัวแปรมากมายอย่างไม่ จำกัด $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

การตั้งค่าพื้นฐาน ให้เป็นว่างและชุดอาจจะไม่มีที่สิ้นสุดของตัวแปร ตัวอักษรเป็นทั้งตัวแปรหรือปฏิเสธมันx ประโยคเป็นความร้าวฉานของจำกัดจำนวนตัวอักษร สุดท้ายเรากำหนดสูตรเป็นชุดของคำสั่ง$X$¬ x c$x \in X$$\neg x$$c$$F$

การโอนเป็นฟังก์ชั่น\} ฉันจะไม่กำหนดเงื่อนไขอย่างชัดเจนสำหรับเมื่อการมอบหมายเป็นไปตามข้อ; มันยุ่งยากเล็กน้อยและเหมือนกับใน SAT มาตรฐาน ในที่สุดการมอบหมายให้เป็นไปตามสูตรถ้าเป็นไปตามข้อที่เป็นส่วนประกอบทั้งหมด Letเป็นชุดของความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายสำหรับและให้เป็นส่วนประกอบของ(F)σ : X → { 0 , 1 } σ s a t ( F ) F u n s a t ( F ) s a t ( F $X$$\sigma : X \to \{0,1\}$$\sigma$$\sat(F)$$F$$\unsat(F)$$\sat(F)$

พื้นที่ทอพอโลยี

เป้าหมายของเราคือการยกพื้นที่ที่ได้รับมอบหมายทั้งหมดของโทรนี้กับโครงสร้างทอพอโลยี ชุดปิดของเรามีรูปแบบโดยที่เป็นสูตร เราสามารถตรวจสอบได้ว่านี่เป็นโทโพโลยีอย่างแน่นอน:$X$$\Sigma$$\sat(F)$$F$

• สูตรว่างเปล่าที่ไม่มีส่วนคำสั่งใดเป็นที่พอใจโดยการมอบหมายทั้งหมด; ดังนั้นถูกปิด$\emptyset$$\Sigma$
• สูตรสำหรับใด ๆนั้นขัดแย้งกัน ดังนั้นถูกปิดx ∈ X $\{ x, \neg x \}$$x \in X$$\emptyset$
• ปิดภายใต้ทางแยกโดยพลการ สมมติว่าเป็นสูตรสำหรับแต่ละตัว แล้ว(F_i)ฉัน∈ ฉันs T ( ⋃ ฉัน∈ ฉัน F ฉัน) = ⋂ ฉัน∈ ฉัน s T ( F ฉัน$F_{i}$$i \in I$$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$
• ปิดภายใต้สหภาพที่แน่นอน สมมติว่าและเป็นสองสูตรและกำหนด จากนั้นนี้ต้องการการโต้แย้ง แต่ฉันจะข้ามสิ่งนี้G F ∨ G : = { c ∨ $F$$G$s a t ( F ∨ G ) = s a t ( F ) ∪ s a t ( G $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$

เรียกสิ่งนี้ว่าโครงสร้างที่ "satisfiability โทโพโลยี" (!) บน\ Sigma ของหลักสูตรที่เปิดชุดของ topology นี้ในรูปแบบ\ unsat (F) นอกจากนี้ผมสังเกตเห็นว่าคอลเลกชันเปิดชุด \ {\ unsat (c) \: \ ค \ {ข้อความเป็นประโยค} \} รูปแบบพื้นฐานสำหรับ\ mathcal T (ออกกำลังกาย) Σ u n s a t ( F ) { u n s a t ( c $\mathcal T$$\Sigma$$\unsat(F)$

ขนาดกะทัดรัด? ฉันรู้สึกว่านี่เป็นวิธีที่น่าสนใจหากไม่ได้มีประโยชน์มากนักในการมองสิ่งต่างๆ ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าพื้นที่ทอพอโลยีนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจแบบดั้งเดิมเช่นความเป็นปึกแผ่น, การเชื่อมต่อ ฯลฯ ในโพสต์นี้เราจะ จำกัด ตัวเองให้แน่น:

ให้เป็นชุดของตัวแปรที่นับไม่ถ้วน ¹Σ $X$คือขนาดกะทัดรัดภายใต้ ?$\Sigma$$\mathcal T$

หนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

เรื่อง มีขนาดกะทัดรัดหากเฉพาะสำหรับสูตรที่ไม่น่าพอใจทั้งหมด$\mathcal T$$F$มีอยู่ subformula จำกัด unsatisfiableF$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(ออกกำลังกายไม่ยากเลย!) หลังจากคิดมาหลายวันแล้วฉันไม่มีความก้าวหน้าในการตอบคำถามนี้มากนัก ฉันยังไม่มีหลักฐานที่ชัดเจนสำหรับหรือต่อต้านความเป็นปึกแผ่น คุณช่วยแนะนำวิธีการได้ไหม?

สุดท้ายเป็นคำถามโบนัส:

เคยมีการศึกษาโครงสร้างเช่นนี้มาก่อนหรือไม่?

¹ข้อ จำกัด ในการนับเป็นเพียงความเรียบง่าย นอกจากนี้ยังให้ความรู้สึกเหมือนเป็นก้าวต่อไปตามธรรมชาติจากตัวแปรจำนวน จำกัด$X$

สิ่งที่คุณกำลังทำคือการได้รับการเป็นตัวแทน topology ของพีชคณิตแบบบูล การศึกษาการเป็นตัวแทนของจีบราส์บูลีนก็กลับไปอย่างน้อยก็ถึงลินเด็นบัมและทาร์สกี้ซึ่งพิสูจน์แล้วว่า (ในปี 1925 ฉันคิดว่า) ว่าพีชคณิตบูลีนแบบอะตอมสมบูรณ์นั้น

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

ทฤษฎีบทการเป็นตัวแทนของหินสำหรับพีชคณิตแบบบูลพีชคณิตแบบบูลทุกรูปแบบคือมอร์ฟแบบมอดูอิกกับโครงข่ายย่อยของ clopen ของพื้นที่ทอพอโลยี

$\mathit{true}$

พื้นที่หินของพีชคณิตแบบบูลเป็นพื้นที่ของ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัด

มีผลลัพธ์หลายอย่างที่ขยายและวางแนวการเป็นตัวแทนของหินในทิศทางต่างๆ คำถามธรรมชาติคือการถามว่าครอบครัวของขัดแตะอื่นมีการเป็นตัวแทนดังกล่าว ผลลัพธ์ของหินยังนำไปใช้กับโปรยกระจาย การเป็นตัวแทนของทอพอโลยีสำหรับการขัดแตะโดยพลการได้รับโดย Alasdair Urquhart ในปี 1978 lattices แบบกระจายมีความหลากหลายมากขึ้นในโครงสร้างเมื่อเทียบกับจีบราส์บูลีนและมีความสนใจอย่างมาก การเป็นตัวแทนที่แตกต่างกันสำหรับกรณีจำหน่ายได้รับโดย Hilary Priestley ในปี 1970 โดยใช้ความคิดของพื้นที่ทอพอโลยีสั่งพื้นที่ทอพอโลยีสั่งซื้อแทนการเป็นตัวแทนชุดตามเราสามารถหาการเป็นตัวแทนโพสต์และโครงสร้าง

สิ่งปลูกสร้างในเอกสารเหล่านี้มีคุณสมบัติหนึ่งที่น่าทึ่ง แผนที่การก่อสร้างของหินไม่ใช่เพียงแค่จีบราส์บูลีนไปยังพื้นที่เชิงทอพอโลยี: ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างที่เกี่ยวข้องกับจีบราส์บูลีนแปลเป็นคุณสมบัติโครงสร้างระหว่างทอพอโลยีที่เกิดขึ้น มันเป็นความเป็นคู่ระหว่างหมวดหมู่ ขอบเขตทั้งหมดของผลดังกล่าวเรียกว่าหินคู่ อย่างไม่เป็นทางการ, dualities ให้การแปลที่แม่นยำระหว่างจักรวาลทางคณิตศาสตร์: โลกของเซต combinatorial, โลกเกี่ยวกับพีชคณิตของ lattices, โลกอวกาศของทอพอโลยีและโลกของตรรกะ นี่คือจุดเริ่มต้นบางอย่างที่อาจช่วยได้

1. บทที่ 11 ของการแนะนำโปรยและสั่งซื้อโดย Davey และ Priestley ครอบคลุมทฤษฎีบทของ Stone
2. สไลด์ของ Matthew Gwynne ครอบคลุมทฤษฎีบทและให้การพิสูจน์ความเป็นปึกแผ่น แมทธิว (ในความคิดเห็น) ยังแนะนำให้รู้จักกับ Algebras บูลีนโดย Paul Halmos
3. ในการย้ายจากแคลคูลัสเชิงประพจน์เป็นโมดัลลอจิกพีชคณิตแบบบูลจะขยายออกไปพร้อมกับโอเปอเรเตอร์การเข้าร่วมและโครงสร้างภายในที่มีการตกแต่งภายใน Jónsson and Tarski's 1952 ในกระดาษบูลีน Algebras กับโอเปอเรเตอร์นั้นสามารถอ่านได้และสอดคล้องกับสัญกรณ์สมัยใหม่
4. บทที่ 5 ของModal Logicโดย Blackburn, de Rijke และ Venema ครอบคลุมทฤษฎีบทของ Stone และการขยายไปยัง algebras แบบบูลกับผู้ประกอบการ
5. Stone Spaces โดย Peter Johnstone จะตรวจสอบผลลัพธ์ดังกล่าวสำหรับ algebras ชนิดอื่น ๆ