กราฟสีโดยประมาณพร้อมขอบเขตบนที่สัญญาไว้กับชุดอิสระสูงสุด

ในงานของฉันปัญหาต่อไปนี้เกิดขึ้น:

มีอัลกอริทึมที่รู้จักซึ่งประมาณจำนวนสีของกราฟที่ไม่มีชุดคำสั่งอิสระ 65 หรือไม่? (ดังนั้นอัลฟา (G) <= 64 เป็นที่รู้จักและ | V | / 64 ต่ำกว่าเล็กน้อย, | V | ขอบเขตเล็กน้อยบนเล็กน้อย แต่มีการประมาณที่ดีกว่าภายใต้เงื่อนไขพิเศษนี้หรือไม่?)

ถ้าเราผ่อนคลายเลขเศษส่วน? และเวลาที่ใช้ในการ "ดี" ในกรณีเฉลี่ยหรือไม่

— cyrix42
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านี่เป็นคำถามที่ยอดเยี่ยมสำหรับเว็บไซต์นี้ หวังว่าบางคนจะมีคำตอบที่ดี

— Jukka Suomela

@ ไทสันวิลเลียมส์: ฉันคิดว่าคำถามชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ลืมความคิดเห็นอ่านคำถามอีกครั้ง :)

— Jukka Suomela

สิ่งที่ตลกคือเงื่อนไขนี้รับประกันได้ว่าการประมาณเล็กน้อยเป็นการประมาณ 64 ถึงค่าที่เหมาะสมที่สุด ฉันสงสัยว่าเพียงสัญญาของหมายเลขเอกราชเล็ก ๆ สามารถให้อัลกอริทึมที่ดีกว่า

— Sasho Nikolov

ปัญหาเกิดจากแรงจูงใจในการใช้งานจริงหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นเราควรเน้นไปที่ฮิวริสติกที่น่าสนใจซึ่งจะทำได้ดี - การปรับปรุงการประมาณ 64 เล็กน้อยนั้นไม่น่าสนใจ

— Chandra Chekuri

อย่างไรก็ตามถ้าคุณต้องการหาค่าประมาณที่ดีของจำนวนสีอย่างรวดเร็วมันก็เพียงพอที่จะหาค่าประมาณที่ดีของชุดน้ำหนักอิสระสูงสุดอย่างรวดเร็ว ดังนั้นนี้ขอแนะนำคำถามใหม่: ถ้าเรารู้ว่าชุดอิสระรายใหญ่ที่สุดมีขนาด 64 จะมีขั้นตอนวิธีการที่พบที่ดีใกล้เคียงของแม็กซ์น้ำหนักชุดอิสระมากเร็วกว่าเล็กน้อยเรียลไทม์อัลกอริทึม?

O (n^{64})

$O(n^{64})$

— Jukka Suomela

คำตอบ:

คำนวณการจับคู่สูงสุดในส่วนเติมของกราฟอินพุต ทุกโหนดที่ไม่ตรงกันจะต้องอยู่ในระดับสีที่แตกต่างกันในการระบายสีใด ๆ ดังนั้น: ถ้าคุณได้อย่างน้อย cn จับคู่ขอบแล้วการจับคู่ตัวเองให้สีกับขอบเขตบนของ (1-c) n และอัตราส่วนการประมาณ 64 (1-c) หากคุณไม่ได้ขอบ cn อย่างน้อยคุณก็จะได้สีที่ต่ำกว่า (1 - 2c) n และอัตราส่วนประมาณ 1 / (1-2c) การแก้สมการ 64 (1-c) = 1 / (1-2c) ทำให้อัตราส่วนการประมาณมีขนาดใหญ่กว่า 32 เล็กน้อย ดูความคิดเห็นของ Sasho Nikolov สำหรับค่าที่แม่นยำ

— David Eppstein
แหล่งที่มา

correcion ขนาดเล็ก: ในกรณีแรกขอบเขตบนคือ (1-c) n และขอบเขตล่างคือ n / 64 ดังนั้นอัตราส่วนโดยประมาณคือ (1-c) 64 เมื่อคุณแก้ (1-C) 64 = 1 / (1-2c) คุณจะได้รับและอัตราส่วนประมาณ32 ดูเหมือนว่าจะมีขอบเขตบนของสำหรับวิธีนี้จะให้อัตราส่วนการประมาณที่เมื่อไปที่อนันต์

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

— Sasho Nikolov

คุณอาจจะสนใจในจำนวนสีซึ่งเป็น 1 บวกสูงสุดกว่าทุก subgraphsของการศึกษาระดับปริญญาต่ำสุดของHสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพและเป็นขอบเขตบนสำหรับหมายเลขสี $H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— Andrew D. King
แหล่งที่มา

การแก้ไขเล็กน้อย: ไม่เป็นความจริงที่จำนวนสีจะเท่ากับจำนวนสีน้อยที่สุดในการระบายสีแบบโลภ หากคุณสั่งซื้อจุดยอดตามสีของพวกเขาในการระบายสีที่ดีที่สุด (ด้วยคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ระดับสีแรกสูงสุดและที่สองคือสูงสุดในกราฟที่เหลือ ฯลฯ ) แล้วอัลกอริทึมโลภจะพบสีที่ดีที่สุดเหมือนกัน

— David Eppstein