ความแข็งของการประมาณจำนวนเศษส่วนของสีบนกราฟองศาที่มีขอบเขต

มันยากที่จะประมาณค่าเศษส่วนของสีบนกราฟระดับขอบเขตหรือไม่?

ใช่.

ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องหลักฐานการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.6 ในKhot (2001)พิสูจน์ได้ว่ามันยากที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างสองกรณีต่อไปนี้แม้ว่าเราจะมุ่งเน้นกราฟขอบเขตที่มีระดับสูงเพียงพอ:

1. มี -colouring$k$
2. อัตราส่วนของจำนวนของจุดที่จะขนาดสูงสุดของชุดอิสระอย่างน้อย 25$k^{\log(k)/25}$

จากมุมมองของจำนวนสีที่เป็นเศษส่วนทั้งสองกรณีนี้คือ:

1. จำนวนสีที่เป็นเศษส่วนที่มากที่สุดk$k$
2. จำนวนสีที่เป็นเศษส่วนอย่างน้อย 25$k^{\log(k)/25}$

ตอนนี้เราต้องจำไว้ว่าเราต้องการองศาที่สูงพอ (เป็นฟังก์ชัน ) แต่เท่าที่ฉันเห็นหลักฐานมีเช่นข้อพิสูจน์ความสะดวกดังต่อไปนี้ที่อาจเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ:$k$

• ใดก็ตามคงมีค่าคงที่Δและคดังกล่าวว่าปัญหาที่เกิดขึ้นต่อไปนี้ในรุ่น NP-ยากให้กราฟGของระดับสูงสุดΔตัดสินใจไม่ว่าจะเป็นสีจำนวนเศษส่วนของGที่มากที่สุดคหรืออย่างน้อยαค$\alpha$$\Delta$$c$$G$$\Delta$$G$$c$$\alpha c$

แน่นอนว่าสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่มี PTAS นอกจาก P = NP