การแก้ระบบสมการโมดูโล

ฉันสนใจในความซับซ้อนของการแก้สมการเชิงเส้น modulo kสำหรับ arbitrary k (และด้วยความสนใจเป็นพิเศษในพลังพิเศษ) โดยเฉพาะ:

ปัญหา. สำหรับระบบที่กำหนดของสมการเชิงเส้น$m$ใน$n$ unknowns modulo $k$มีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่?

ในนามธรรมกับกระดาษโครงสร้างและความสำคัญของคลาส logspace-MODในคลาสMod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf และ Meinel อ้างว่าพวกเขา " แสดงความสำคัญโดยการพิสูจน์ว่าปัญหามาตรฐานทั้งหมดของพีชคณิตเชิงเส้นบนวงแหวน จำกัด$\mathbb Z/k\mathbb Z$เสร็จสมบูรณ์สำหรับคลาสเหล่านี้ " เมื่อตรวจสอบอย่างใกล้ชิดเนื้อเรื่องก็ซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น Buntrock และคณะ แสดง (โดยการพิสูจน์สเก็ตช์ในแบบร่างที่สามารถเข้าถึงได้อย่างอิสระก่อนหน้านี้และพบได้โดย Kaveh ขอบคุณ!) ว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแทนในชั้นเรียนเสริมcoMod _k Lสำหรับเคไพรม์ คลาสนี้ไม่เป็นที่รู้จักเท่ากับMod _k Lสำหรับคอมโพสิตkแต่ไม่เป็นไร - สิ่งที่ฉันกังวลคือข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาไม่ได้พูดอะไรเกี่ยวกับว่าระบบการแก้สมการเชิงเส้น mod kนั้นมีอยู่หรือไม่ในcoMod _k Lสำหรับคอมโพสิตk !

คำถาม:ระบบการแก้สมการเชิงเส้นโมดูโล k มีอยู่ใน coMod _k L สำหรับทุกค่าบวก k หรือไม่

หากคุณสามารถแก้ระบบสมการโมดูโลพลังงานที่สูงขึ้นคิวของนายกพีคุณสามารถแก้ปัญหาได้แบบโมดูโลพีเช่นกัน; ดังนั้นการแก้ระบบสมการโมดูโลqคือcoMod _p L -hard หากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าปัญหานี้เป็นปัญหาในMod _Q Lคุณจะจบลงด้วยการแสดงมด_k L  =  coMod _k Lสำหรับทุกk มีแนวโน้มว่าจะพิสูจน์ได้ยาก แต่มันอยู่ใน coMod _k Lหรือเปล่า?

ฉันยินดีที่จะบอกว่าฉันคิดว่าเราสามารถตอบคำถามนี้ได้ในการยืนยัน: นั่นคือการตัดสินใจว่าการสอดคล้องกันเชิงเส้นเป็นไปได้โมดูโลkเป็นcoMod _k L-สมบูรณ์

เราสามารถลดปัญหานี้ได้ในกรณีพิเศษของมหาอำนาจ หนึ่งอาจแสดงให้เห็นว่า:

แบบฟอร์มปกติ คลาสcoMod _k Lประกอบด้วย langauges LของรูปแบบL  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  โดยที่L _{p j}  ∈  coMod _{p j}  Lและที่p _jอยู่เหนือปัจจัยสำคัญของk .

โดยส่วนที่เหลือทฤษฎีบท, การแก้ปัญหาใด ๆ กับระบบการทำงานของสม modulo แต่ละอำนาจนายกหารkก่อให้เกิดการแก้ปัญหากับระบบเดียวกัน mod k ดังนั้นหากแก้ระบบสมการเชิงเส้นมากกว่ามีอยู่ในcoMod _{P J}  Lมันตามที่ระบบสมการแก้ mod kมีอยู่ในcoMod _k L$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

มีขั้นตอนวิธีการมาตรฐานการอธิบายโดยเป็นMcKenzie และปรุงอาหารสำหรับการลดการเชิงเส้น congruences modulo พลังสำคัญในการสร้างชุดทอดสำหรับ nullspace ของมัน (กล่าวคือสำหรับx  =  Yแหวนรับสร้างพื้นฐานสำหรับ nullspace [ที่   |  Y  ] และดูว่าการแก้ปัญหาใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์สุดท้ายของ −1); และต่อมาสำหรับการลดการสร้างโมฆะโมฆะโมดูลัสไพร์มไพร์มเพื่อสร้างโมฆะโมดูโลแบบโมดูโลและการคูณเมทริกซ์โมดูโลไพร์ม ทั้งสองภารกิจหลังเป็นปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับcoMod _k Lโดยที่คุณสามารถสร้างเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

ปรากฎว่าเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการลดของ McKenzie และ Cook สามารถคำนวณได้ด้วยการคูณเมทริกซ์และการหาร (สำคัญมาก) โดยปัจจัยคงที่ โชคดีสำหรับมหาอำนาจนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องสามารถคำนวณได้ในเทปงานโดยใช้ oracle สำหรับcoMod _p L -machines และการแบ่งโดยคงสามารถดำเนินการในอร์ทแคโรไลนา¹ซึ่งเป็นอีกครั้งที่เป็นไปได้ในcoMod _P L ดังนั้นจึงปรากฎว่าปัญหาทั้งหมดเป็นที่สุด doable ในcoMod _k L

สำหรับรายละเอียดที่สมบูรณ์โปรดดู [ arxiv: 1202.3949 ]