ทฤษฎีบทอัตโนมัติพิสูจน์ด้วยลอจิกเชิงเส้น

ทฤษฎีบทอัตโนมัติพิสูจน์และพิสูจน์ค้นหาได้ง่ายขึ้นในเชิงตรรกะและเชิงโครงสร้างย่อยแบบลอจิคัลแคลคูลัสเชิงประพจน์ซึ่งไม่มีการหดตัวหรือไม่?

ฉันจะอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทอัตโนมัติที่พิสูจน์ใน logics เหล่านี้และบทบาทของการหดตัวในการค้นหาหลักฐานได้อย่างไร

แหล่งข้อมูลอื่น ๆ สามารถอ้างอิงได้ในวิทยานิพนธ์ของ Kaustuv Chaudhuri " วิธีการผกผันเชิงโฟกัสสำหรับลอจิกเชิงเส้น " และคุณอาจสนใจใน "การคำนวณต่อเนื่องแบบไม่หดตัว " ของ Dyckhoff ซึ่งเกี่ยวกับการหดตัว

มีโอกาสสำหรับการค้นหาพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพในเชิงตรรกะเชิงเส้น แต่ฉันไม่คิดว่างานปัจจุบันบ่งชี้ว่ามันง่ายกว่าการค้นหาพิสูจน์ในตรรกะที่ไม่ใช่โครงสร้างย่อย ปัญหาคือว่าถ้าคุณต้องการพิสูจน์ในแบบลอจิกเชิงตรรกะคุณมีคำถามพิเศษที่คุณไม่มีในการค้นหาการพิสูจน์ตามปกติ: เป็นใช้ในการพิสูจน์หรือใช้ในการพิสูจน์ ? ในทางปฏิบัติ "การล่มสลายของทรัพยากร" นี้เป็นปัญหาใหญ่ในการค้นหาการพิสูจน์ในตรรกะเชิงเส้นC A C $C \vdash(A \otimes B)$$C$$A$$C$$B$

ตามความคิดเห็นลินคอล์นและคณะ 1990 " ปัญหาการตัดสินใจสำหรับตรรกะเชิงเส้นเชิงประพจน์ " เป็นการอ้างอิงที่ดีถ้าคุณต้องการได้รับเทคนิคเกี่ยวกับคำเช่น "ง่ายขึ้น"

ไม่มันยากกว่าที่เคย

เช่นเดียวกับปัญหาในการตัดสินใจสำหรับตรรกะเชิงประพจน์เชิงอนุมานนั้นยากกว่าตรรกะเชิงประพจน์แบบดั้งเดิม ด้วยเลขชี้กำลัง (ซึ่งไม่ขาดการหดตัว) หรือความหลากหลายของการเชื่อมต่อแบบไม่ต่อเนื่องตรรกะจะไม่สามารถตัดสินใจได้และแม้แต่ MALL แบบคลาสสิกที่อ่อนแอก็คือ PSPACE ที่สมบูรณ์ ในทางตรงกันข้ามปัญหาการตัดสินใจสำหรับตรรกะเชิงประพจน์แบบคลาสสิกคือ co-NP สมบูรณ์และสำหรับตรรกะเชิงประพจน์เชิงอนุมาน PSPACE เสร็จสมบูรณ์ (Offhand ฉันไม่รู้ความซับซ้อนของ MALL intuitionistic)

ฉันขอแนะนำการแสดงออกของ Pat Lincoln ในหมวดที่ 6 ของตรรกะเชิงเส้นของเขาSIGACT News 1992 เราได้เรียนรู้เพิ่มขึ้นเล็กน้อยตั้งแต่นั้นมานั่นคือเรามีผลลัพธ์สำหรับครอบครัวใหญ่ของการบันทึกเชิงเส้น แต่ภาพพื้นฐานอยู่ที่นั่น

ในบางวิธีนี่คือสิ่งที่ทำให้การค้นหาข้อพิสูจน์สำหรับตรรกะเชิงเส้นที่น่าสนใจเนื่องจากความแข็งของปัญหาการตัดสินใจทำให้พื้นที่สำหรับแนวคิดการคำนวณที่น่าสนใจมากขึ้นและตรรกะเชิงเส้นนั้นยากในหลาย ๆ วิธี Andrej ชี้ไปที่ Dale Miller's ภาพรวมของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นลอจิก ; นี่เป็นสถานที่ที่ดีในการมองดูเนื่องจากมิลเลอร์ได้ทำสิ่งต่างๆมากขึ้นเพื่อพัฒนาแนวคิดของการค้นหาเพื่อพิสูจน์ว่าเป็นการคำนวณเหมือนกับคนอื่น ๆ

สมมติว่าความซับซ้อนของปัญหาการพิสูจน์จะทำให้คุณพอใจภูมิทัศน์ของความซับซ้อนของ logics แบบ substructural ที่มีและไม่มีการหดตัวค่อนข้างซับซ้อน ฉันจะพยายามสำรวจที่นี่สิ่งที่เป็นที่รู้จักสำหรับเชิงตรรกะเชิงประพจน์และตรรกะเชิงประพจน์ คำตอบสั้น ๆ คือการหดตัวบางครั้งช่วย (เช่น LLC เป็น decidable ในขณะที่ LL ไม่ได้) และบางครั้งก็ไม่ได้ (เช่น MALL เป็น PSPACE สมบูรณ์, MALLC เป็น ACKERMANN- สมบูรณ์)

Logics เชิงประพจน์

• CL: ตรรกะคลาสสิก
• IL: ตรรกะปรีชา
• LL: ตรรกะเชิงเส้น, ชิ้นส่วน MLL (multiplicative), MELL (exponential exponential), MALL (สารเสริมการคูณ)
• LLW: เลียนแบบลอจิก, เช่น LL กับการลดลง, ชิ้นส่วนเช่นเดียวกับข้างต้น
• LLC: ตรรกะเชิงเส้นหด (contractive linear logic) เช่น LL ที่มีการหดตัวเศษเล็กเศษน้อยเหมือนด้านบน
• R: ตรรกะความเกี่ยวข้อง; แตกต่างจาก MALLC โดยกฎการกระจายสินค้าชิ้นส่วน implicational R , ชิ้นส่วน conjunctive implicational R→การ, $_\to$$_{\to,\wedge}$

ความซับซ้อนของความสุขุม

• NP-complete: MLL [Kan91]
• co-NP-complete: CL
• เสร็จสิ้น PSPACE: IL [Sta79], MALL [Lin92]
• สมบูรณ์ 2EXP: R , IMLLC, IMELLC [Sch14]$_\to$
• เสร็จสิ้นทาวเวอร์: MELLW, LLW [Laz14]
• ACKERMANN- สมบูรณ์: R [Urq99], MALLC, LLC [Laz14]$_{\to,\wedge}$
• $\Sigma_1^0$ - เสร็จสมบูรณ์: LL [Lin92], R [Urq84]

คำถามเปิดหลักบางข้อที่นี่คือว่า MELL สามารถถอดรหัสได้หรือไม่และความซับซ้อนของชิ้นส่วนที่มีความหมาย Tของตรรกะตั๋วคืออะไร (ตัวแปรของ R)$_\to$

อ้างอิง

• [Kan91] Max Kanovich ส่วนที่เป็นเชิงเส้นของลอจิกเชิงเส้นคือ NP-complete , รายงานการวิจัย X-91-13, สถาบันภาษา, ตรรกะและข้อมูล, 1991
• [Laz14] Ranko Lazićและ Sylvain Schmitz, ความซับซ้อนที่ไม่ใช่องค์ประกอบพื้นฐานสำหรับการแยกย่อย VASS, MELL และส่วนขยาย , ต้นฉบับ, 2014. arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
• [Lin92] Patrick Lincoln, John Mitchell, Andre Scedrov และ Natarajan Shankar ปัญหาการตัดสินใจสำหรับตรรกะเชิงเส้นเชิงประพจน์ , พงศาวดารของตรรกะที่บริสุทธิ์และประยุกต์ 56 (1–3): 239–311, 1992 10.1016 / 0168-0072 (92) 90075-B
• [Sch14] Sylvain Schmitz, ตรรกะความเกี่ยวข้องโดยนัยคือ 2-ExpTime-Complete , ต้นฉบับ, 2014. arXiv: 1402.0705 [cs.LO]
• [Sta79] ริชาร์ดสเตตแมน, เชิงตรรกะเชิงประพจน์เชิงอนุมานคือพหุนาม - พื้นที่สมบูรณ์ , วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 9 (1): 67–72, 1979. ดอย: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
• [Urq84] Alasdair Urquhart, Undecidability ของความไม่ลงรอยกันและความหมายที่เกี่ยวข้อง , วารสารสัญลักษณ์เชิงตรรกะ 49 (4): 1059–1073, 1984. ดอย: 10.2307 / 2274261
• [Urq99] Alasdair Urquhart ความซับซ้อนของกระบวนการตัดสินใจในตรรกะที่เกี่ยวข้อง II , วารสารสัญลักษณ์เชิงตรรกะ 64 (4): 1774–1802, 1999. 10.2307 / 2586811

บางทีภาพรวมการเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะเชิงเส้นของ Dale Miller เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีหรือไม่?