อัลกอริทึมการประมาณสำหรับ Metric TSP

เป็นที่ทราบกันว่าเมตริก TSP สามารถประมาณได้ภายในและไม่สามารถประมาณได้ดีกว่า$1.5$ในเวลาพหุนาม มีสิ่งใดที่ทราบเกี่ยวกับการหาวิธีการประมาณค่าในเวลาแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล (ตัวอย่างเช่นน้อยกว่า2nก้าวด้วยพื้นที่พหุนามเท่านั้น) เช่นในเวลาและสถานที่ใดที่เราสามารถค้นหาทัวร์ที่มีระยะทางมากที่สุด1.1×OPT?$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

ฉันได้ศึกษาปัญหาและพบว่าอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับ TSP

$n$คือจำนวนของจุดยอด$M$คือน้ำหนักขอบสูงสุด ขอบเขตทั้งหมดจะได้รับปัจจัยพหุนามของขนาดอินพุต ($poly(n, \log M)$ ) เราแสดงว่า Asymmetric TSP โดย ATSP

1. อัลกอริทึมที่แน่นอนสำหรับ TSP

1.1 ATSP ทั่วไป

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$และ$exp$-space (Björklund)

$2^n$ time และ$2^n$ space (Bellman;Held, Karp)

$4^n n^{\log n}$ time และ$poly$ -space (Gurevich, Shelah;Björklund, Husfeldt)

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$เวลาและ$2^t$พื้นที่สำหรับ$t=n,n/2,n/4,\ldots$ (โคอิ, Parviainen)

$O^*(T^n)$และพื้นที่$O^*(S^n)$สำหรับ$\sqrt2<S<2$กับ$TS<4$(Koivisto, Parviainen)

$2^n\times M$เวลาและโพลี - อวกาศ (Lokshtanov, Nederlof)

$2^n\times M$เวลาและสถานที่$M$ (Kohn, Gottlieb, Kohn;Karp;Bax, Franklin)

แม้แต่ Metric TSP ก็ยังไม่เป็นที่รู้จักกันดีกว่าอัลกอริทึมด้านบน มันเป็นความท้าทายที่ยิ่งใหญ่ในการพัฒนาอัลกอริธึม$2^n$ time สำหรับ TSP ด้วยพหุนามพื้นที่ (ดู Open Problem 2.2.b, Woeginger )

1.2 กรณีพิเศษของ TSP

$1.657^n\times M$และความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดเล็กน้อย (Björklund) สำหรับ TSP ที่ไม่ได้บอกทิศทาง

$(2-\epsilon)^n$และพื้นที่ชี้แจงสำหรับ TSP ในกราฟที่มีขอบเขตการศึกษาระดับปริญญาเฉลี่ย$\epsilon$ขึ้นอยู่กับระดับของกราฟ (Cygan, Pilipczuk;Björklund, Kaski, Koutis)

$(2-\epsilon)^n$$poly$$\epsilon$

$1.251^n$$poly$

$1.890^n$$poly$$4$

$1.733^n$$4$

$1.657^n$$poly$

$(2-\epsilon)^n$$d^n$$d$

2. ขั้นตอนวิธีการประมาณสำหรับ TSP

2.1 TSP ทั่วไป

ไม่สามารถประมาณได้ภายในฟังก์ชันที่คำนวณเวลาพหุนามใด ๆ ยกเว้น P = NP ( Sahni, Gonzalez )

2.2 เมตริก TSP

$3 \over 2$

$123\over 122$

2.3 กราฟิค TSP

$7\over5$

2.4 (1,2) -TSP

MAX-SNP hard ( Papadimitriou, Yannakakis )

$8 \over 7$

2.5 TSP ในตัวชี้วัดที่มีมิติข้อมูล จำกัด

PTAS สำหรับ TSP ในปริภูมิแบบยุคลิดแบบมิติ ( Arora ; Mitchell )

$\log{n}$

PTAS สำหรับ TSP ในเมตริกที่มีมิติสองเท่าที่ถูกล้อมรอบ ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer )

2.6 ATSP ที่มีความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมกำกับ

$O(1)$

$75\over 74$

2.7 TSP ในกราฟที่มีผู้เยาว์ต้องห้าม

PTAS เชิงเส้นเวลา ( Klein ) สำหรับ TSP ในกราฟระนาบ

PTAS สำหรับกราฟเล็ก ๆ น้อย ๆ ฟรี ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi )

$22\frac{1}{2}$

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$$g$

2.8 MAX-TSP

$7\over9$

$7\over8$

$3\over4$

$35\over44$

2.9 การประมาณแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล - เวลา

$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

ฉันจะขอบคุณสำหรับการเพิ่มเติมและข้อเสนอแนะใด ๆ

$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th Paschos: สกีมาการประมาณค่าแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับปัญหากราฟบางอย่าง พร้อมให้บริการออนไลน์

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(อย่างน้อยในช่วงปัจจัยคงที่) เห็นการปรับปรุงในอัตราส่วนการประมาณแม้เมื่อได้รับการชี้แจงเวลา มีปัญหาหลายอย่างที่ทราบค่าความแข็งที่ดีที่สุดคือการลดความไม่มีประสิทธิภาพจาก SAT นั่นคือผลของความแข็งอยู่ภายใต้สมมติฐานที่อ่อนแอกว่าเช่น NP ที่ไม่มีอยู่ในเวลากึ่งโพลิโนเมียล ในกรณีเช่นนี้อาจได้รับการประมาณที่ดีกว่าในช่วงเวลาเลขชี้กำลัง สิ่งเดียวที่ฉันรู้คือปัญหาต้นไม้กลุ่มสทิเนอร์ ผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงล่าสุดคือ Arora-Barak-Steurer ในอัลกอริธึมย่อยแบบเอกซ์โปเนนเชียลสำหรับเกมที่ไม่ซ้ำกัน: ข้อสรุปที่เราได้จากผลลัพธ์นี้คือถ้า UGC เป็นจริงการลดจาก SAT เป็น UGC ต้องเป็นอะไรบ้าง ไม่มีประสิทธิภาพนั่นคือขนาดของอินสแตนซ์ของ UGC ที่ได้รับจากสูตร SAT ต้องเติบโตไปพร้อมกับพารามิเตอร์ในแบบที่แน่นอน

ช้อนชาดีที่สุดสำหรับการถ่วงน้ำหนักกราฟสกุล จำกัด เป็น http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/