ความซับซ้อนของวงจรโมโนโทนในฟังก์ชั่นการคำนวณของอินพุต

น้ำหนักของสตริงไบนารีคือจำนวนของสตริงในสตริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีความสนใจในการคำนวณฟังก์ชั่นโมโนโทนในอินพุตที่มีบางอัน? $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

เรารู้ว่าการตัดสินใจว่ากราฟมี -clique นั้นยากสำหรับวงจรโมโนโทน (ดูในหมู่คนอื่น Alon Boppana, 1987) แต่ถ้ากราฟมีตัวอย่างที่ขอบมากที่สุดก็เป็นไปได้ที่จะหาวงจรความลึกแบบโมโนโทน ขนาด ซึ่งตัดสินใจ -clique $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

คำถามของฉัน: มีฟังก์ชั่นใดบ้างที่ยากต่อการคำนวณโดยวงจรโมโนโทนแม้ในน้ำหนักที่น้อยกว่า ? นี่ขนาดหนักหมายถึงวงจร (1)}} $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

ยิ่งไปกว่านั้น: มีฟังก์ชั่นโมโนโทนที่ชัดเจนซึ่งยากต่อการคำนวณแม้ว่าเราจะสนใจเฉพาะอินพุตน้ำหนักและหรือไม่? $k_1$ $k_2$

Emil Jeřábekได้สังเกตแล้วว่าขอบเขตล่างที่ทราบนั้นมีไว้สำหรับวงจรโมโนโทนที่แยกอินพุตสองคลาส ( -cliques vs maximalกราฟที่มีสีสัน) ดังนั้นจึงมีความเป็นอิสระในการโต้แย้งความน่าจะเป็น ทำงานสำหรับการป้อนข้อมูลสองน้ำหนักที่คงที่ นี่จะทำให้เป็นฟังก์ชันของซึ่งฉันต้องการหลีกเลี่ยง $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

สิ่งที่ต้องการคือฟังก์ชั่นฮาร์ดอย่างชัดเจนสำหรับและมีขนาดเล็กกว่า (เช่นในกรอบความซับซ้อนที่กำหนดพารามิเตอร์) ดียิ่งขึ้นหาก 1 $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

ขอให้สังเกตว่าคำตอบที่เป็นบวกสำหรับจะบ่งบอกถึงขอบเขตล่างแบบเลขชี้กำลังสำหรับวงจรโดยพลการ $k_1=k_2$

อัปเดต : คำถามนี้อาจเกี่ยวข้องเพียงบางส่วน

— MassimoLauria
แหล่งที่มา

คำถามแรก (ทั่วไป) ของคุณ (ไม่เกี่ยวกับ Clique) ฉันคิดว่าแม้กรณีของอินพุตที่มีอย่างน้อยนั้นยากมาก ใช้เวลาสองฝ่ายกราฟกับ(n) กำหนดให้แต่ละจุดสุดยอดตัวแปรบูลx_uให้เป็นฟังก์ชั่นบูลเดียวที่มี minterms มีสำหรับขอบของGให้เป็นขนาดที่เล็กที่สุดของวงจรโมโนโทนซึ่งคำนวณได้อย่างถูกต้องในอินพุตด้วยอัน จากนั้นขอบเขตล่างใด ๆสำหรับค่าคงที่

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$ บ่งบอกถึงขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับวงจรที่ไม่ได้โมนิโทน

— Stasys

ข้อโต้แย้งที่มีอยู่สำหรับวงจรเสียงเดียวว่าต้องการปัจจัยการผลิตจำนวนมากที่มีจำนวนมาก ( ) คนที่ต้องได้รับการปฏิเสธ ที่ดีที่สุดที่เราสามารถทำได้เพื่อให้ห่างไกลคือการพิสูจน์ลดผูกพันเมื่อวงจรต้องยอมรับทุก -cliques และปฏิเสธที่สมบูรณ์ทั้งหมดกราฟ -partite ( ) Btw สำคัญคือคุณจัดการกับเบาบางไม่ใช่กับอินพุตที่หนาแน่น พูด, -Clique ต้องใช้วงจรเดียวขนาดประมาณทุกคงที่แต่ -Clique มีวงจรเดียวขนาดสำหรับทุก

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ คงที่k

k

$k$

— Stasys

ฉันควรชี้แจงว่าฉันสนใจเกี่ยวกับอินพุตเบาบางในแง่ของกราฟหร็อมแหร็ม การมองหา -clique ในกราฟที่กระจัดกระจายมาก (ด้วยการพูดขอบ) สามารถทำได้ในขนาดวงจรเดียวของ FPT

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria

ตัวอย่างของคุณในความคิดเห็นแรกนั้นดีมาก ถ้าผมเข้าใจอย่างถูกต้องนี้เป็นปัญหาที่คล้ายกันด้วยฟังก์ชั่นเสียงเดียวที่มีความยากในน้ำหนักคงที่kการใช้ฟังก์ชั่นเสริมหลอกเพื่อจำลองอินพุตที่ถูกทำให้ยุ่งเหยิงความซับซ้อนของวงจรไม่ได้แตกต่างกันระหว่างกรณีโมโนโทนและไม่ใช่โมโนโทน สำหรับค่าคงที่ (หรือเล็ก)ส่วนเติมเทียมนี้สามารถใช้งานได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยวงจรโมโนโทน

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria

ความคิดเห็นแรกของฉันอาศัยความซับซ้อนของกราฟ สามารถพบปรากฏการณ์" " ในหน้า 13 ของร่างนี้ Btw ฉันไม่เข้าใจว่าคุณหมายถึงอะไรโดยการ "ยากสำหรับ k และ k + 1"? (ความผิดของฉันแน่นอน)

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

พิจารณาเฉพาะส่วนหนึ่งของคำถาม (เช่นสำหรับ = 1, = 2), Lokam ได้ศึกษาฟังก์ชั่น "2-slice" ในบทความนี้และพิสูจน์ว่าขอบเขตที่ต่ำกว่าที่แข็งแกร่งสำหรับพวกมันสามารถทำให้เป็นเรื่องปกติได้ เกี่ยวข้องกับการแยกชั้นความซับซ้อนขั้นพื้นฐานและการก่อสร้าง / ฟังก์ชั่นที่ชัดเจนดังกล่าวจะเป็นความก้าวหน้า จากนามธรรม: $k_1$ $k_2$

ฟังก์ชั่นบูลีน f เรียกว่าฟังก์ชั่น 2 สไลซ์ถ้ามันประเมินค่าเป็นศูนย์ในอินพุตที่มีค่าน้อยกว่าสอง 1 และประเมินเป็นหนึ่งในอินพุตที่มีมากกว่าสอง 1 ในอินพุตที่มี f 1 ของสองทั้งหมดอาจถูกกำหนดอย่างไม่น่าสนใจ มีการโต้ตอบที่เป็นธรรมชาติระหว่างฟังก์ชัน 2 ชิ้นและกราฟ จากการใช้เฟรมเวิร์กของความซับซ้อนของกราฟเราแสดงให้เห็นว่าขอบเขตที่ต่ำสุดของโมโนลินที่มีความแข็งแรงเพียงพอสำหรับฟังก์ชั่น 2-slice ในระดับพิเศษมากนั้นจะหมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าพหุนาม

ความซับซ้อนของกราฟและฟังก์ชัน Slice / Satyanarayana V. Lokam, ทฤษฎีการคำนวณ ระบบ 36, 71–88 (2003)

เช่นเดียวกับในความคิดเห็นของเขา SJ ครอบคลุมกรณีที่คล้ายกันนี้ในหนังสือของเขาในส่วนการสำรวจความซับซ้อนของดาวของกราฟ sec1.7.2

ความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีน: ความก้าวหน้าและขอบเขต Stasys Jukna

— vzn
แหล่งที่มา