ความซับซ้อนของปัญหาเครือข่ายสวิตช์

สวิทช์เครือข่าย (ชื่อที่ถูกคิดค้น) ทำด้วยสามประเภทของโหนด:

• หนึ่งโหนดเริ่มต้น
• โหนดปลายทางหนึ่งโหนด
• โหนด Switch หนึ่งโหนดขึ้นไป

โหนดสวิตช์มีการออก 3 ครั้ง: ซ้าย, ขึ้น, ขวา; มีสองรัฐ L และ RและTL รัฐเป้าหมายหรือ TR สวิตช์แต่ละตัวสามารถเคลื่อนที่ด้วยกฎต่อไปนี้:

• เสมอจากซ้ายไปขึ้น; สถานะของสวิตช์เปลี่ยนเป็น L
• เสมอจากขวาไปขึ้น; สถานะของสวิตช์เปลี่ยนเป็น R
• จากขึ้นไปซ้ายเฉพาะเมื่อสวิตช์อยู่ในสถานะ L; รัฐจะไม่เปลี่ยนแปลง
• จากขึ้นไปขวาหากสวิตช์อยู่ในสถานะ R; รัฐจะไม่เปลี่ยนแปลง
• ไม่เคยจากซ้ายไปขวาหรือจากขวาไปซ้าย

รูปที่ 1. สลับโหนดในสถานะ L ด้วยสถานะเป้าหมาย TR

คุณสมบัติเหล่านี้ยังมี:

• สามารถแยก 0, 1 หรือ 2 ของสวิตช์ออกได้ (ไม่เชื่อมต่อกับสวิตช์อื่น)
• เส้นทางสามารถ"แตะ"สวิตช์เพื่อเปลี่ยนสถานะ: ป้อนจากซ้ายและออกจากซ้ายหรือป้อนจากขวาและออกจากขวา;
• ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนครั้งที่สวิทช์สามารถเคลื่อนที่ / สัมผัสได้

ปัญหาการตัดสินใจคือ: "มีเส้นทางจากโหนดเริ่มต้นไปยังโหนดปลายทางที่มีอยู่ว่าสถานะสุดท้ายของสวิตช์ทั้งหมดตรงกับสถานะเป้าหมายที่สอดคล้องกันหรือไม่"

เห็นได้ชัดว่าสวิทช์ทั้งหมดที่ไม่ได้อยู่ในสถานะเริ่มต้นจะต้องถูกสำรวจ (หรือสัมผัส) อย่างน้อยหนึ่งครั้ง

นี่คือการดึงเครือข่ายเล็กน้อย (ทำด้วย Excel ... ฉันจะทำให้ดีขึ้น):

โซลูชั่นเล็ก ๆ น้อย ๆ คือ:

S -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> E -> 1 -> E

แก้ไข 2:

1. ปัญหานี้เป็นที่รู้จักหรือไม่? ---> คุณให้การอ้างอิงที่ดีกับวิทยานิพนธ์ของ Hearn (กราฟข้อ จำกัด )

ปัญหาอยู่ใน ; ก่อนที่จะโพสต์ร่างภาพหลักฐานของฉันว่าเป็นปัญหาฉันพบข้อผิดพลาด ดังนั้นคำถามที่เปิดอยู่อีกครั้ง:$NPSPACE = PSPACE$

2. มันเป็นหรือไม่?$\mathsf{NP}$

3. มีปัญหาใด ๆ ที่จะเป็นหรือไม่?$\mathsf{NP\text{-}complete}$

ปัญหาอย่างน้อย NP-hard โดยลดจาก 3-SAT

ก่อนอื่นให้พิจารณาปัญหาในการค้นหาเส้นทางจากStart to the Exitของกราฟที่กำกับต่อไปนี้โดยมีข้อ จำกัด ที่ไม่มีเส้นทางใดสามารถเยี่ยมชมโหนดทั้งสาม (ตาราง) ทั้งสองของประโยค:

$(X1 \lor X2 \lor X3)\land(X1\lor\neg X2\lor X4)$

เราแปลงกราฟเหล่านี้เป็นเครือข่ายสวิตช์ สำหรับสิ่งนี้เราใช้อุปกรณ์สามอย่าง:

1. โหนดวงกลมและขอบสองทิศทางทุกอันจะกลายเป็นสายไฟซึ่งก่อให้เกิดการเชื่อมต่อระหว่างสวิตช์
2. ทุกขอบกำกับกลายเป็นแกดเจ็ตทางเดียวซึ่งประกอบด้วยสวิตช์เดียว (ดูด้านล่าง)
3. ทุกโหนดตารางหมายถึงหนึ่งในสามของสวิทช์ที่เป็นส่วนหนึ่งของข้อแกดเจ็ต (ดูด้านล่าง)

ในภาพประกอบต่อไปนี้สวิตช์จะถูกวาดเป็นลูกศรที่เข้ามาสองลูกซึ่งหนึ่งในนั้นจะถูกประ (ปิดใช้งาน) ทิศทางเป้าหมายจะถูกวาดด้วยวงกลมสีดำ (เช่นในที่สุดลูกศรทึบจะต้องอยู่ด้านข้างของวงกลม)

หมายเหตุ: เราจะใช้ตัวหนาเพื่อแยกความแตกต่างของออกจากกราฟออกจากแกดเจ็ต

$A$$B$$B$$A$$X1$$X2$$X3$$X1'$$X2'$$X3'$

โปรดจำไว้ว่าสำหรับกราฟต้นฉบับการค้นหาเส้นทางที่นำไปสู่Exitและไม่ได้เยี่ยมชมโหนดทั้งสามตารางของประโยคใด ๆ ก็คือ NP-complete ตอนนี้ให้พิจารณาปัญหาในการเข้าถึงExitของกราฟที่ถูกแปลงโดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับตำแหน่งเป้าหมายของสวิตช์

สังเกตว่าเส้นทางใด ๆ ที่เป็นทางออกสำหรับปัญหากราฟต้นฉบับก็เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับกราฟที่ถูกแปลงด้วยเช่นกัน ดังนั้นสมมติว่าเส้นทางสำหรับกราฟที่แปลงแล้วไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาสำหรับกราฟดั้งเดิม เหตุการณ์นี้อาจเกิดขึ้นในสองกรณี:

1. $B$$A$
2. เส้นทางลัดเลาะทั้งสามเส้นทางบางข้อแกดเจ็ต

ในกรณีแรกแกดเจ็ตทางเดียวจะต้องผ่านการสำรวจในทิศทางที่ตั้งใจไว้ก่อนซึ่งในกรณีนี้เส้นทางนั้นอาจหลีกเลี่ยงการข้ามผ่านในครั้งแรก

ดังนั้นให้พิจารณากรณีที่สองที่เส้นทางลัดสวิตช์ทั้งสามของแกดเจ็ตข้อบางส่วน จากนั้นแกดเจ็ตนั้นจะมีสวิตช์ทั้งสามตัวพลิก (ดูด้านล่าง) นี่คือที่ที่เราใช้ประโยชน์จากตำแหน่งเป้าหมาย โปรดสังเกตว่าไม่สามารถเข้าถึงแกนหลักสีเทาของGadget Clauseได้อีกต่อไปซึ่งหมายความว่าสวิตช์ไม่สามารถถูกนำไปยังตำแหน่งเป้าหมายได้อีกต่อไป ในกรณีนี้เราบอกว่าแกดเจ็ตข้อนี้ไม่สามารถกู้คืนได้

มันยังคงแสดงให้เห็นว่าสำหรับวิธีการแก้ปัญหาของกราฟต้นฉบับใด ๆ สวิทช์ของกราฟแปลงสามารถวางในตำแหน่งเป้าหมายของพวกเขา สำหรับเรื่องนี้เราจะใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าออกจากสายสามารถเข้าถึงได้เมื่อมีวิธีการแก้ปัญหาหรือบางแกดเจ็ตจะกลายเป็นข้อที่ไม่สามารถกู้

ไปยังสถานที่สวิทช์ในตำแหน่งเป้าหมายของพวกเขาตอนนี้เราสามารถเพิ่มเพิ่มเติมวิธีการหนึ่งที่แกดเจ็ตจากออกจากสายทางเข้าของที่มีอยู่ในทุกวิธีการหนึ่งที่แกดเจ็ตเช่นเดียวกับสามสายทางออกของทุกข้อแกดเจ็ต จากนั้นเมื่อถึงโทเค็นออกจากทั้งหมดเพิ่มเติมวิธีการหนึ่งที่แกดเจ็ตที่สามารถเดินทางข้าม (และจึงวางในตำแหน่งเป้าหมายของพวกเขา) และยังใส่สวิทช์ที่เหลืออยู่ในตำแหน่งเป้าหมายของพวกเขา (เว้นแต่จะมีข้อที่ไม่สามารถกู้) ในที่สุดโทเค็นสามารถกลับไปที่ทางออกและไขปริศนาได้รับการแก้ไข

เราควรสังเกตว่าข้อแกดเจ็ตเท่านั้นที่สามารถกู้คืนเมื่อเข้ามาจากทางออก untraversed; และเนื่องจากแกดเจ็ตทางเดียวที่วางอยู่ระหว่างแกดเจ็ตข้อและตัวแปรถัดไปจึงไม่สามารถเกิดขึ้นได้จนกว่าจะถึงสายออก

ดังนั้นปัญหาเครือข่ายสวิตช์จึงเป็นปัญหา

ยังไม่ชัดเจนหากปัญหาอยู่ใน NP หรือ PSPACE-hard การลดความแข็งของ NP ที่สร้างเครือข่ายระนาบระนาบจะมีผลกระทบที่ยอดเยี่ยมสำหรับสายพันธุ์ที่ จำกัด ของ Sokoban นั่นคือเนื่องจากสวิตช์ทั้งหมดเทียบเท่ากับอุปกรณ์ Sokoban ด้านล่าง