ลดขอบเขตในช่วงเวลาในการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม
ในปี 1975 มิลเลอร์ได้แสดงวิธีลดการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มเพื่อหาระยะเวลาของฟังก์ชันเช่นนั้นf (x + r) = f (x)กับบางสุ่มได้รับการแต่งตั้งค่า <N เป็นที่ทราบกันดีว่าอัลกอริทึมของชอร์สามารถค้นหาr ได้อย่างมีประสิทธิภาพบนคอมพิวเตอร์ควอนตัมในขณะที่เชื่อกันว่าคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิกสามารถค้นพบrได้NNNrrrf(x)=axmodNf(x)=axmodNf(x)=a^x\;\bmod\;Nf(x+r)=f(x)f(x+r)=f(x)f(x+r)=f(x)a<Na<Na<Nrrrrrr คำถามของฉันตอนนี้คือจะมีผู้ใดที่รู้จักกันในขอบเขตที่ลดลงในrrrสำหรับสุ่มNNN ? มีขอบเขตใด ๆ ในrrrกำหนดN=pqN=pqN=pqถูกเลือกเหมือนใน RSA หรือไม่? เห็นได้ชัดว่าrrrต้องเป็นΩ(log(N))Ω(log(N))\Omega(\log(N))เป็นอย่างอื่นที่สามารถประเมินf(x)f(x)f(x)บนO(log(N))O(log(N))O(\log(N))คะแนนต่อเนื่องเพื่อหาrrrแบบคลาสสิก มันจะพอเพียงที่จะทำลาย RSA ถ้ามีอัลกอริธึมแฟคตอริ่งระหว่างคลาสสิกซึ่งทำงานภายใต้สมมติฐานบางอย่างเกี่ยวกับการกระจายของrrr , เช่นr∈Θ(N/log(N))r∈Θ(N/log(N))r \in \Theta(N/\log(N))หรือr∈Θ(N−−√)r∈Θ(N)r \in \Theta(\sqrt{N}) ? งานนำเสนอของ Carl Pomerance ใน " The multiplicative order mod nnnโดยเฉลี่ย " อ้างถึงหลักฐานที่rrrคือO(N/log(N))O(N/log(N))O(N/\log(N))โดยเฉลี่ยเหนือNทั้งหมดNNNแต่ฉันไม่แน่ใจว่าอัลกอริทึมแบบดั้งเดิมที่สามารถแยกปัจจัยNNNภายใต้สมมติฐานของr∈O(N/log(N))r∈O(N/log(N))r \in O(N/\log(N))จะทำลาย RSA ได้อย่างแน่นอน NสามารถNNNถูกเลือกให้มีr∈O(N))r∈O(N))r \in O(N))หรือr∈O(N−−√)r∈O(N)r \in …