ฉันสามารถอธิบายคำถามบางอย่างได้ แต่ไม่แน่ใจว่าฉันสามารถตอบได้เพราะฉันไม่แน่ใจว่ามันถูกกำหนดไว้อย่างดี
(1) The Weak Axiom of Revealed Preference เป็นแนวคิดเชิงทฤษฎีการตัดสินใจเกี่ยวกับการเลือกตัวแทนเดียว ดังนั้นฉันไม่เข้าใจว่าการมีตัวแทน $ N $ เกี่ยวข้องกับปัญหาอย่างไร
(2) พูดโดยทั่วไปถ้า $ U: X \ to \ mathbb {R} $ เป็นฟังก์ชั่นยูทิลิตี้และ $ \ mathscr {C} $ เป็นตัวเลือกการติดต่อมากกว่า $ X $ เช่น $ \ mathscr {C} (A) = \ {x \ in A \ mid U (x) \ geq U (y), \ \ forall y \ in A \} $ จากนั้น $ \ mathscr {C} $ จะตอบสนอง WARP นี่เป็นแบบฝึกหัดที่ตรงไปตรงมาในการใช้คำจำกัดความและมิติของพื้นที่ไม่ควรมีบทบาทใด (ความจริงเหนือนามธรรม $ X $)
(3) หากพื้นที่การบริโภคเป็น $ \ mathbb {R} ^ l $ ดังนั้นการตั้งค่ามากกว่า $ \ mathbb {R} ^ l $ ที่กำหนดไว้ วิธีที่คุณคาดการณ์เกี่ยวกับ $ \ mathbb {R} ^ 2 $ เป็นเรื่องสำคัญ
(4) ถ้าฉันตีความคำถามของคุณเป็นแบบที่คุณถาม: แก้ไข $ 2 & lt; k \ leq l $ ขนาดของการบริโภคและให้มิติที่ 1 และ 2 แตกต่างกันเท่านั้น (แน่นอนสิ่งที่เราแก้ไขมิติอื่น ๆ ที่ยังคงสร้างความแตกต่าง) และสมมติว่าจดหมายโต้ตอบทางเลือกที่ จำกัด นี้พอใจ WARP จะตอบสนองต่อการเลือกโดยทั่วไป WARP
เพื่อตอบ (4): ถ้าตัวเลือกมาจากฟังก์ชันยูทิลิตี้ใช่แล้วเล็กน้อย (ดูจุด (2)) หากตัวเลือกนั้นกว้างกว่าปกติก็ไม่ใช่ สิ่งนี้ล้มเหลวอย่างรุนแรง ทำตามตัวอย่างการตั้งค่าที่เคาน์เตอร์มากกว่า $ \ mathbb {R} ^ 3 $ เพื่อแก้ไขมิติที่สามผู้บริโภคจะไม่สนใจองค์ประกอบทั้งหมด (เช่นมิติแรกและมิติที่สองเป็นโมฆะ) WARP ถือเป็น $ \ mathscr {C} ^ {x} (A) = A $ สำหรับ $ A \ ทั้งหมด \ mathbb {R} ^ 2 \ times \ {x \} $ ทำให้เหลือมิติที่สามอย่างไม่ จำกัด การให้ฟังก์ชั่นตัวเลือกในส่วนข้อมูลล่าสุดนี้เป็นวงจร (เช่นการล้มเหลวของ WARP) และเราเห็นว่าตัวเลือกเดิมก็เช่นกัน
(5) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราตีความคำถามของคุณแทน: เราจะเห็นการเลือกทุก ๆ สองมิติ (นั่นคือสำหรับทุก ๆ $ i, j \ leq l $, $ i \ neq j $, เราเห็นการฉายของตัวเลือกมากกว่ามิติ $ i $ และ $ j $ กำหนดมิติอื่น ๆ โดยพลการถ้าเราแก้ไข ส่วนข้อมูลอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลือกที่ถูก จำกัด (เช่น $ \ mathscr {C} ^ {x} $ มากกว่า $ \ mathbb {R} ^ 2 \ times \ {x \} $ ไม่เหมือนกับ $ \ mathscr {C} ^ {y} $ มากกว่า $ \ mathbb {R} ^ 2 \ times \ {y \} $) จากนั้นเรากลับไปที่ปัญหาประเภทเดียวกันกับ (5) --- $ \ mathscr {C} $ อาจเป็น เป็นวงกลมเมื่อขนาดได้รับการแก้ไขแตกต่างกัน
จะเป็นอย่างไรถ้าเราแก้ไขมิติไม่ได้ส่งผลกระทบต่อตัวเลือกที่ถูก จำกัด (ดังนั้นเราจึงมีการตั้งค่าแยกกันไม่ออก a la Koopmans) จากนั้น WARP จะถือมากกว่า $ \ mathscr {C} $ หากมีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองโดยความสัมพันธ์ที่ต้องการ แต่ผลลัพธ์ไม่น่าสนใจมากเนื่องจากตัวเลือกที่ จำกัด นั้นรู้ว่าตัวเลือกของ $ \ {x, y \} $ สำหรับ $ x, y \ in \ mathbb {R} ^ l $ ทั้งหมด เป็นที่ทราบกันดีว่ามีเพียงตัวเลือกไบนารีเท่านั้นที่จำเป็นในการตรวจสอบการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง โดยไม่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมนี้ฉันเชื่อว่าคุณยังคงสามารถปรุงตัวอย่างที่เคาน์เตอร์ในจิตวิญญาณของ (4) ที่เตะเป็นวงกลมเมื่อองค์ประกอบบางอย่าง (อย่างน้อย 3 คู่ที่แตกต่างกันมากกว่า 3 มิติ) มีอยู่