Marshallian Demand สำหรับ Cobb-Douglas

เมื่อพยายามเพิ่มประสิทธิภาพให้มากที่สุดโดยใช้ฟังก์ชันยูทิลิตี้ cobb-douglasด้วยฉันพบสูตรต่อไปนี้ ( Wikipedia: Marshallian Demand ): a + b = $u=x_1^ax_2^b$$a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

ในหนังสือเล่มหนึ่งของฉันฉันพบสูตรเหล่านี้เพื่อจุดประสงค์เดียวกัน:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

ด้วย : ราคาของสินค้า : งบประมาณ$p_i$$m$

ฉันทดสอบพวกเขาทั้งหมดและพวกเขาให้ผลลัพธ์เดียวกัน
มีความแตกต่างอะไรบ้าง?

เนื่องจากสมการจะเหมือนกันทุกประการ การแทนค่าในa + bด้วย1ในสมการที่สามและสี่จะให้สมการที่หนึ่งและที่สอง$a + b=1$$a+b$$1$

นี่คือวิธีที่คุณได้จากสมการแรกไปจนถึงวินาที ฟังก์ชั่นสาธารณูปโภคของคุณคือ ตั้งแต่+ B = 1ฉันจะเปลี่ยนเล็กน้อยเพื่อให้และ (1-A) เพื่อเพิ่มประสิทธิภาพทั้งสองทางเลือกที่คุณจะต้อง เพิ่มประโยชน์สูงสุดให้ WRT ตัวแปรตัวเลือกของคุณ$u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

ภายใต้ โดยใช้ Walras Law โดยทั่วไปเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพของยูทิลิตี้เงินทั้งหมดจะถูกใช้ไป$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

ฟังก์ชั่น Cobb-Douglas มักจะยากสำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสม การแปลงแบบโมโนโทนิกซึ่งรักษาคุณสมบัติลำดับของฟังก์ชันสามารถใช้ได้

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

จะใช้แทน จะใช้ข้อ จำกัด งบประมาณเดียวกัน

ลากรองจ์และเงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกอยู่ด้านล่าง

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

การจัดการผลการสั่งซื้อเงื่อนไขครั้งแรก

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

และ

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

$x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$