สมมติฐานเชิง log-to ในการกำหนดราคาสินทรัพย์ตามการบริโภค

พิจารณาปัญหาการเพิ่มตัวแทนของผู้บริโภคในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องขั้นพื้นฐานที่สุดด้วยยูทิลิตี้ CRRA มีสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงตามเวลา $t$ ราคา $p_t$ ที่จ่ายเวลา $t+1$ เงินปันผล $d_{t+1}$ และสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงพร้อมราคา $p_t^f$ ที่จ่ายผลตอบแทนคงที่ 1 เวลา $t+1$ . เราสมมติว่าเงินปันผลเป็นลำดับของตัวแปรสุ่มที่ตามกระบวนการมาร์คอฟ สมมติว่าผู้บริโภคไม่มีกระแสรายได้อื่น (เช่น $y_t = 0 \ \forall t$ ) ในเวลาที่ผู้บริโภคลงทุนจำนวนเงิน $\pi_t$ ในสินทรัพย์ที่มีความเสี่ยงและจำนวนเงิน $\pi_t^0$ ในสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยง ดังนั้นปัญหาการขยายใหญ่สุดจึงสามารถระบุได้ว่า

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

สมมติว่าเราต้องการหาอัตราความเสี่ยงที่ไม่มีความสมดุลและส่วนของผู้ถือหุ้นที่คาดหวัง เพื่อปิดตัวแบบมักสันนิษฐาน (ดูเช่นหนังสือของทฤษฎีการกำหนดราคาสินทรัพย์ทางการเงินของบทที่Munk บทที่ 8.3) ว่าการเติบโตของปริมาณการใช้บันทึกและผลตอบแทนขั้นต้นที่มีความเสี่ยงจากการเข้าสู่ระบบมีการกระจายกันตามปกติ กล่าวคือ

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

โดยที่ผลตอบแทนรวมถูกกำหนดเป็น

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจอย่างสมบูรณ์คือข้อสมมติฐานการกระจาย thelog-normal ที่ "มาจาก" ฉันรู้ว่าตั้งแต่นี้เป็นตัวแทนเศรษฐกิจการบริโภคของตัวแทนจะต้องเท่ากับเงินปันผลรวมในระบบเศรษฐกิจ แต่เนื่องจากเราสันนิษฐานว่าไม่มีรายได้ $y_t = 0 \ \forall t$ กระบวนการจ่ายเงินปันผลภายนอกเท่านั้นในระบบเศรษฐกิจคือ $d_t$ ดังนั้นจึงควรมีการกระจายตัวเช่นเดียวกับการเติบโตของการบริโภค อย่างไรก็ตามความประทับใจของฉันคือเมื่อเราบอกว่าอัตราความเสี่ยงมีการแจกแจงแบบล็อกปกติจริง ๆ แล้วหมายถึงกระบวนการจ่ายเงินปันผลเนื่องจากเป็น 'ส่วนที่สุ่ม' ในนิยามของผลตอบแทน (ราคา $p_{t+1}$ ไม่ได้ภายนอก แต่ถูกพิจารณาภายในโมเดล) สำหรับฉันดูเหมือนว่าตอนนี้เราได้ตั้งสมมติฐานสองแบบที่แตกต่างกันเกี่ยวกับกระบวนการเอ็นดาวเม้นท์เดียวกัน $d_t$ . สมมติฐานการบริโภคมาจากที่ใดหรือมาจากอะไร สถานการณ์จะเปลี่ยนไปอย่างไรหากผู้บริโภคมีรายได้บ้าง $y_t > 0$ ?

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ลากรองจ์สองช่วงโดยทั่วไปคือ

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกที่เกี่ยวกับ $c_t, \pi_t$ เป็น

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

ดังนั้นใช้นิยามของผลตอบแทนรวมด้วย

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

รวม $(1)$ และ $(3)$ เราได้รับ

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

ดังนั้นเราจะเห็นว่าในเส้นทางที่เหมาะสมการเติบโตของการบริโภคเป็นฟังก์ชั่นเลียนแบบโดยตรงของการส่งคืนความเสี่ยงของบันทึก เหนือสิ่งอื่นใดแสดงว่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของพวกเขานั้นมีค่าเท่ากับความสามัคคี

การกระจายแบบปกตินั้นปิดภายใต้การแปลงเลียนแบบ (หรือภายใต้การปรับขนาดและการเลื่อน) ดังนั้นหากเราสมมติว่าผลตอบแทนจากการบันทึกที่มีความเสี่ยงนั้นมีการกระจายตามปกติการเติบโตของการบริโภคก็จะกระจายตามปกติด้วย

โปรดทราบว่าแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับภาวะปกติของข้อต่อเป็นอีกหนึ่งสิ่งที่จะเกิดขึ้นเมื่อตัวแปรสุ่มสองตัวไม่ได้ขึ้นอยู่กับความจริง โดยเงื่อนไขของ Cramer สำหรับค่าปกติ bivariate จะต้องเป็นกรณีที่การรวมกันเชิงเส้นทั้งหมดของตัวแปรสุ่มสองตัวมีการแจกแจงปกติแบบ univariate ในกรณีของเราเรามี (สัญกรณ์ทั่วไป) สุ่ม vavriable $Y$ และตัวแปรสุ่ม $X = a+bY$ . พิจารณา

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

ดังนั้นสำหรับ ๆ $(\delta_1, \delta_2)$ (ยกเว้นเวกเตอร์ศูนย์ที่ไม่รวมค่าเบื้องต้น) $\delta_1X + \delta_2 Y$ ดังต่อไปนี้การกระจายปกติถ้า $Y$ ทำ. ดังนั้นจึงถือว่าเพียงพอที่จะสันนิษฐานว่าการส่งคืนความเสี่ยงจากการติดตามเป็นไปตามการแจกแจงปกติเพื่อให้ได้มาตรฐานร่วมกันเช่นกัน

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำตอบเก่า แต่ตามที่ระบุไว้คำตอบนี้เป็นเท็จ คุณต้องระวังเมื่อใช้ตัวคูณแบบลากรองจ์เมื่อมีองค์ประกอบแบบสุ่ม หากคุณทำการคำนวณอย่างถูกต้องคุณจะสิ้นสุดลงด้วยสมการการกำหนดราคาสินทรัพย์มาตรฐานเท่านั้น

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$ - ในการคำนวณของคุณคุณจะสูญเสียความคาดหวังเพราะคุณไม่ระมัดระวังในการเพิ่มประสิทธิภาพ (อีกวิธีหนึ่งในการพูดแบบนี้คือปัญหาการปรับให้เหมาะสมควรมี

s + 1

$s+1$ ข้อ จำกัด แทน

2

$2$ ที่ไหน

s

$s$ คือจำนวนของสภาวะธรรมชาติที่เป็นไปได้ในช่วงเวลา

t + 1

$t+1$ .)

— Starfall

@Starfall ขอบคุณสำหรับการป้อนข้อมูล เนื้อหาเก่าหรือไม่ถูกต้องจะต้องได้รับการแก้ไข ฉันจะตรวจสอบคำตอบอีกครั้งและดูสิ่งที่ฉันสามารถทำได้ ได้อย่างรวดเร็วก่อนฉันคิดว่าคุณหมายความว่าความแปรปรวนระหว่าง

t + 1

$t+1$ ตัวคูณและ

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$ ข้อตกลงถูกละเว้น

— Alecos Papadopoulos

มันไม่ใช่แค่ความแปรปรวนร่วมที่ถูกเพิกเฉย - หากนั่นเป็นปัญหาเดียวคุณจะต้องลงเอยด้วย

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$ ซึ่งเกี่ยวข้องกับมูลค่าที่คาดหวังของตัวคูณส่วนลดกับผลตอบแทนที่คาดหวังเท่านั้นในขณะที่คำตอบของคุณจะสิ้นสุดลง

m R = 1

$mR = 1$ อดีตความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยลดและผลตอบแทนที่ถืออยู่ในทุกสภาวะของธรรมชาติ ปัญหาคือว่าคุณไม่สามารถใช้ตัวคูณแบบลากรองจ์กับตัวแปรสโทแคสติกได้โดยไม่ต้องมีความชัดเจนเกี่ยวกับสถานะต่าง ๆ ของปัญหา

— Starfall

ในกรณีที่คำศัพท์ไม่ชัดเจน

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$ ,

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$ ในปัญหานี้

— Starfall

@Starfall อืม ... ปัญหานี่คือการกระจายตามจริงไม่ใช่ทางออกก่อน ante ... ฉันจะคิดว่ามันผ่านและอธิบายในภายหลัง

— Alecos Papadopoulos

ฉันเพิ่งผลิตกระดาษที่ได้รับการกระจายของผลตอบแทนสำหรับทุกประเภทสินทรัพย์และหนี้สิน การส่งคืนปกติของล็อกจะปรากฏในสองกรณีเท่านั้น ครั้งแรกคือการออกพันธบัตรลดราคาแบบครั้งเดียวครั้งที่สองกับการควบรวมกิจการเงินสด มันมาจากการสันนิษฐานฉันเชื่อว่าเดิมที Boness จะกำจัดปัญหาใน Markowitz จากราคาที่ไม่สิ้นสุด ในขณะที่มันได้มาจากเหตุผลมันมีสมมติฐานที่สำคัญที่ทำให้มันไม่จริงโดยทั่วไป

แบบจำลองทางการเงินส่วนใหญ่สมมติว่าพารามิเตอร์เป็นที่รู้จักด้วยความน่าจะเป็นที่หนึ่ง คุณไม่จำเป็นต้องประเมิน $\mu$ กับ $\bar{x}$ เพราะมันเป็นที่รู้จักกัน บนพื้นผิวนี่ไม่ใช่ปัญหาเพราะนี่เป็นวิธีการทั่วไปของวิธีการตามสมมติฐานว่าง คุณยืนยันว่าโมฆะเป็นจริงดังนั้นพารามิเตอร์จึงเป็นที่รู้จักและทำการทดสอบกับโมฆะนี้

ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อไม่ทราบพารามิเตอร์ ปรากฎว่าการพิสูจน์ล้มลงโดยไม่มีข้อสันนิษฐานทั่วไป เช่นเดียวกับ Black-Scholes ฉันกำลังนำเสนอรายงานในการประชุม SWFA ฤดูใบไม้ผลินี้ที่ฉันยืนยันว่าหากสมมติฐานของสูตร Black-Scholes เป็นจริงอย่างแท้จริงแล้วไม่มีตัวประมาณที่สามารถรวมเข้ากับพารามิเตอร์ประชากรได้ ทุกคนแค่คิดว่าสูตรภายใต้ความรู้ที่สมบูรณ์แบบเท่ากับตัวประมาณค่าพารามิเตอร์ ไม่มีใครเคยตรวจสอบคุณสมบัติของมัน ในกระดาษเริ่มต้นของพวกเขา Black และ Scholes ทดสอบสูตรของพวกเขาสังเกตุและพวกเขารายงานว่ามันไม่ทำงาน เมื่อคุณวางสมมติฐานที่พารามิเตอร์รู้จักคณิตศาสตร์จะแตกต่างออกไป แตกต่างกันพอที่จะไม่สามารถคิดได้ในลักษณะเดียวกัน

ให้เราพิจารณากรณีของหลักทรัพย์ที่มีการซื้อขายในตลาดหุ้นนิวยอร์ก มีการซื้อขายในการประมูลสองครั้งดังนั้นคำสาปของผู้ชนะจะไม่ได้รับ ด้วยเหตุนี้พฤติกรรมที่มีเหตุผลคือการสร้างคำสั่ง จำกัด ที่ราคาเท่ากับ $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ . มีผู้ซื้อและผู้ขายจำนวนมากดังนั้นหนังสือ จำกัด ควรเป็นแบบคงที่ปกติหรืออย่างน้อยก็จะกลายเป็นเช่นนั้นเนื่องจากจำนวนผู้ซื้อและผู้ขายไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้น $p_t$ เป็นเรื่องปกติเกี่ยวกับ $p_t^*$ ราคาดุลยภาพ

แน่นอนเราไม่สนใจการกระจายตัวของ $(q_t,q_{t+1})$ . หากคุณไม่สนใจการแบ่งและการจ่ายหุ้นปันผลแล้วมันจะยังคงอยู่หรือไม่ ดังนั้นคุณต้องสร้างการกระจายการผสมสำหรับผลตอบแทนหุ้นสำหรับหุ้นผลตอบแทนเงินสดสำหรับหุ้นและการล้มละลาย เราจะไม่สนใจกรณีเหล่านี้เพื่อความเรียบง่าย แต่การทำเช่นนั้นจะเป็นการตัดความสามารถในการแก้ไขรูปแบบการกำหนดราคาตัวเลือก

ดังนั้นถ้าเรา จำกัด ตัวเอง $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$ และสมมติเงินปันผลทั้งหมดจากนั้นผลตอบแทนของเราจะเป็นอัตราส่วนของสองบรรทัดฐานเกี่ยวกับความสมดุล ฉันไม่รวมเงินปันผลเพราะพวกเขาสร้างความยุ่งเหยิงและฉันไม่รวมคดีเช่นวิกฤตการณ์ทางการเงินในปี 2008 เพราะคุณได้รับผลลัพธ์แปลก ๆ ที่จะกินหน้าต่อจากหน้าหลังข้อความ

ตอนนี้ลดความซับซ้อนของเรามาหากเราแปลข้อมูลของเราจาก $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ ถึง $(0,0)$ และกำหนด $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$ เราสามารถเห็นการกระจาย ในกรณีที่ไม่มีข้อ จำกัด ด้านหนี้สินหรือข้อ จำกัด ด้านงบประมาณโดยทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีความหนาแน่นของผลตอบแทนจะต้องเป็นการกระจาย Cauchy ซึ่งไม่มีความหมายหรือความแปรปรวน เมื่อคุณแปลทุกอย่างกลับสู่พื้นที่ราคาความหนาแน่นจะกลายเป็น

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

เนื่องจากไม่มีความหมายคุณจึงไม่สามารถคาดหวังดำเนินการหรือทดสอบ F ใช้รูปแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่น้อยที่สุด แน่นอนว่ามันจะแตกต่างกันถ้ามันเป็นของเก่าแทน

หากเป็นของโบราณในการประมูลคำสาปของผู้ชนะจะได้รับ ผู้ชนะการประมูลสูงชนะการประมูลและความหนาแน่นที่ จำกัด ของการเสนอราคาสูงคือการกระจาย Gumbel ดังนั้นคุณจะแก้ปัญหาเดียวกัน แต่เป็นอัตราส่วนของการแจกแจงกัมเบลสองตัวแทนการแจกแจงแบบปกติสองอัน

ปัญหาไม่ง่ายอย่างนี้จริง ๆ ข้อจำกัดความรับผิดจะตัดการแจกแจงพื้นฐานทั้งหมด ข้อ จำกัด งบประมาณระหว่างกาลจะบิดเบือนการแจกแจงทั้งหมด มีการแจกแจงที่แตกต่างกันสำหรับการควบรวมกิจการเป็นเงินสดการควบรวมกิจการสำหรับหุ้นหรือทรัพย์สินล้มละลายและการกระจาย Cauchy ที่ถูกตัดทอนสำหรับความกังวลไปดังกล่าวข้างต้น มีการแจกแจงหกประเภทสำหรับตราสารทุนในรูปแบบผสม

ตลาดต่าง ๆ ที่มีกฎแตกต่างกันและสถานะที่มีอยู่ต่างกันสร้างการกระจายที่แตกต่าง แจกันโบราณมีกรณีที่มันหล่นและแตก นอกจากนี้ยังมีกรณีของการสึกหรอหรือการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ ในคุณภาพที่แท้จริง ในที่สุดก็ยังมีกรณีที่ถ้าแจกันที่คล้ายกันมากพอจะถูกทำลายที่ศูนย์กลางของสถานที่ย้าย

ในที่สุดเนื่องจากการตัดทอนและการขาดสถิติที่เพียงพอสำหรับพารามิเตอร์จึงไม่มีการประมาณค่าที่คำนวณได้และยอมรับได้ที่ไม่ใช่แบบเบย์

คุณสามารถค้นหาอัตราส่วนของตัวแปรสองตัวที่ต่างกันและคำอธิบายได้ที่http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

คุณสามารถค้นหาสิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นกระดาษแผ่นแรกในหัวข้อที่

Curtiss, JH (1941) เกี่ยวกับการกระจายของความฉลาดทางของตัวแปรสองโอกาส พงศาวดารของสถิติคณิตศาสตร์, 12, 409-421

นอกจากนี้ยังมีกระดาษติดตามที่

Gurland, J. (1948) สูตรผกผันสำหรับการกระจายตัวของอัตราส่วน พงศาวดารของสถิติคณิตศาสตร์, 19, 228-237

สำหรับแบบฟอร์มการตอบโต้อัตโนมัติสำหรับ Likelihoodist และวิธี Frequentist ที่

ขาว, JS (1958) การ จำกัด การกระจายของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ในกรณีระเบิด พงศาวดารของสถิติคณิตศาสตร์, 29, 1188-1197,

และลักษณะทั่วไปโดย Rao at

Rao, MM (1961) ความสม่ำเสมอและการแจกแจงแบบ จำกัด ของตัวประมาณค่าพารามิเตอร์ในสมการผลต่างเชิงสุ่มสโตแคสติก พงศาวดารของสถิติคณิตศาสตร์, 32, 195-218

กระดาษของฉันใช้กระดาษสี่ชิ้นและเอกสารอื่น ๆ เช่นกระดาษโดย Koopman และอีกฉบับหนึ่งโดย Jaynes เพื่อสร้างการแจกแจงหากไม่ทราบพารามิเตอร์ที่แท้จริง มันตั้งข้อสังเกตว่ากระดาษสีขาวข้างต้นมีการตีความแบบเบย์และอนุญาตให้ใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบเบย์แม้ว่าจะไม่มีวิธีการแบบไม่เบย์อยู่ก็ตาม

โปรดสังเกตว่า $\log(R)$ มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน จำกัด แต่ไม่มีโครงสร้างความแปรปรวนร่วม การแจกแจงคือการแจกแจงไฮเพอร์โบลิก secant สิ่งนี้เป็นผลที่เกิดจากสถิติที่รู้จักกันดี มันไม่สามารถเป็นการแจกแจงเซคท์ไฮเพอร์โบลิกได้จริง ๆ เพราะในกรณีข้างเคียงเช่นการล้มละลายการควบรวมกิจการและการจ่ายเงินปันผล กรณีที่มีอยู่เป็นสารเติมแต่ง แต่บันทึกหมายถึงข้อผิดพลาดหลายหลาก

คุณสามารถค้นหาบทความเกี่ยวกับการแจกแจงส่วนโค้งไฮเพอร์โบลิกได้ที่

Ding, P. (2014) การกระจายของ Hyperbolic-Secant สามครั้ง นักสถิติชาวอเมริกัน, 68, 32-35

บทความของฉันอยู่ที่

Harris, D. (2017) การกระจายผลตอบแทน วารสารการเงินคณิตศาสตร์, 7, 769-804

ก่อนที่คุณจะอ่านของคุณควรอ่านสี่ข้อข้างต้นก่อน นอกจากนี้ยังไม่เจ็บที่จะอ่าน ET Jaynes tome เช่นกัน น่าเสียดายที่มันเป็นงานถกเถียง แต่ก็ยังเข้มงวดอยู่ หนังสือของเขาคือ:

Jaynes, ET (2003) ทฤษฎีความน่าจะเป็น: ภาษาของวิทยาศาสตร์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์, 205-207

— เดฟแฮร์ริส
แหล่งที่มา