ในขณะนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมวิธีการทั่วไปสามารถนำมาใช้ที่จะทำงานสำหรับรูปร่างใด ๆ โดยใช้การรวม
พื้นที่จะเป็น:
$$ A = \ int ^ c_0 \ int ^ {x \: = \: \ frac {b} {c} y + a} _ {x \: = \: \ frac {b} {c} y} 1 \ : dx \: dy = ac $$
จากแหล่งกำเนิดเราประเมินช่วงเวลาแรกของพื้นที่:
$$ Q_x = \ int ^ c_0 \ int ^ {x \: = \: \ frac {b} {c} y + a} _ {x \: = \: \ frac {b} {c} y} x \ : dx \: dy = \ frac {ac (a + b)} {2} $$
$$ Q_y = \ int ^ c_0 \ int ^ {x \: = \: \ frac {b} {c} y + a} _ {x \: = \: \ frac {b} {c} y} y \ : dx \: dy = \ frac {ac ^ 2} {2} $$
จากที่นี่ centroid ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถประเมินได้เนื่องจาก $ \ overline {x} = \ frac {Q_x} {A} $ และ $ \ overline {y} = \ frac {Q_y} {A} $:
$$ \ overline {x} = \ frac {Q_x} {A} = \ frac {a + b} {2} $$
$$ \ overline {y} = \ frac {Q_y} {A} = \ frac {c} {2} $$
จากนั้นเราสามารถประเมินอินทิกรัล เราจำเป็นต้องเปลี่ยนต้นกำเนิดของเราและกำหนดขีด จำกัด ใหม่ของการรวม:
$$ c- \ overline {y} = \ frac {c} {2} $$
$$ 0- \ overline {y} = - \ frac {c} {2} $$
$$ \ frac {b} {c} y + a- \ overline {x} = \ frac {b} {c} y + \ frac {a-b} {2} $$
$$ \ frac {b} {c} y- \ overline {x} = \ frac {b} {c} y- \ frac {a + b} {2} $$
ด้วยเหตุนี้เราสามารถประเมิน $ I_ {xx} $, $ I_ {xy} $ และ $ I_ {yy} $:
$$ I_ {xx} = \ int ^ \ frac {c} {2} _ {- \ frac {c} {2}} \ int ^ {x \: = \: \ frac {b} {c} y + \ frac {ab} {2}} _ {x \: = \: \ frac {b} {c} y- \ frac {a + b} {2}} x ^ 2 \: dx \: dy = \ frac { AC (a ^ 2 + 4b ^ 2)} {12} $$
$$ I_ {xy} = \ int ^ \ frac {c} {2} _ {- \ frac {c} {2}} \ int ^ {x \: = \: \ frac {b} {c} y + \ frac {ab} {2}} _ {x \: = \: \ frac {b} {c} y- \ frac {a + b} {2}} xy \: dx \: dy = \ frac {abc ^ 2} {12} $$
$$ I_ {yy} = \ int ^ \ frac {c} {2} _ {- \ frac {c} {2}} \ int ^ {x \: = \: \ frac {b} {c} y + \ frac {ab} {2}} _ {x \: = \: \ frac {b} {c} y- \ frac {a + b} {2}} y ^ 2 \: dx \: dy = \ frac { AC ^ 3} {12} $$
การใช้ทฤษฎีบทแกนตั้งฉากจะให้โมเมนต์ขั้วโลก:
$$ I_ {zz} = I_ {xx} + I_ {yy} = \ frac {ac (a ^ 2 + 4b ^ 2 + c ^ 2)} {12} $$
เนื่องจากผลิตภัณฑ์ของความเฉื่อยไม่เป็นศูนย์วงกลมของ Mohr ของความเฉื่อยจะต้องมีการสร้าง Inertia-Matrix ช่วงเวลาสำคัญของความเฉื่อยคือ:
$$ I _ {\ overline {xx}} = \ frac {I_ {xx} + I_ {yy}} {2} \ pm \ sqrt {\ left (\ frac {I_ {xx} -I_ {yy}} {2 } \ right) ^ 2 + I_ {xy} ^ 2} $$
นี่เป็นช่วงเวลาสำคัญของ:
$$ I _ {\ overline {xx}} = \ frac {ac} {24} \ left [a ^ 2 + 4b ^ 2 + c ^ 2 \ pm \ sqrt {(ac) ^ 2 (a + c) ^ 2 + 4b ^ 2 (2a ^ 2 + 4b ^ 2-C ^ 2)} \ ขวา] $$
ช่วงเวลาที่หลักการนี้จะพบได้โดยการหมุนเฟรมอ้างอิงตามมุม $ \ theta $ ของ:
$$ \ theta = \ frac {1} {2} atan \ left (\ frac {-2I_ {xy}} {I_ {xx} -I_ {yy}} \ right) = \ frac {1} {2} atan \ left (\ frac {2bc} {C ^ 2-4b ^ 2-A ^ 2} \ ขวา) $$
โปรดทราบว่าสิ่งนี้สามารถนำมาเป็นรูปแบบเมตริกซ์:
$$ \ begin {bmatrix}
I_ {xx} & amp; I_ {xy} & amp; I_ {xz} \\
I_ {xy} & amp; I_ {yy} & amp; I_ {yz} \\
I_ {xz} & amp; I_ {yz} & amp; I_ {ZZ}
\ end {bmatrix} $$
ซึ่งมีประโยชน์ในบางแอปพลิเคชันที่ใช้เมตริกซ์
