การตอบสนองของระบบไปยังฟังก์ชั่นขั้นตอน (ฟังก์ชั่น Heaviside)

ฉันต้องการคำนวณการตอบสนองต่อฟังก์ชันขั้นตอนของระบบไฟฟ้า / ความร้อน โดยทั่วไปฉันสามารถ "คำนวณ" ฟังก์ชั่นการถ่ายโอนได้อย่างง่ายดาย : $H$

H (ω) = \frac{V_{o u t} (ω)}{V_{i n} (ω)}

$H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$

ตั้งแต่การแปลงฟูริเยร์ ( ) ของฟังก์ชัน Heaviside คือ (คำนวณด้วย WA): $\mathcal{F}$

F (θ (t)) = V_{i n} (ω) = \sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}

$\mathcal{F}(\theta(t)) = V_{in}(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega}$

ดังนั้นการสังเกตการแปลงฟูริเยร์อินเวอร์ส: $\mathcal{IF}$

V_{o u t} (t) = I F {(\sqrt{\frac{π}{2}} δ (ω) + \frac{i}{\sqrt{2 π} ω}) H (ω)}

$V_{out}(t) = \mathcal{IF} \left\{ \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(\omega)+\frac{i}{\sqrt{2\pi}\omega} \right) H(\omega) \right\}$

เพื่อตรวจสอบคณิตศาสตร์ของฉันฉันพยายามคำนวณการตอบสนองสำหรับระบบ RC อย่างง่าย:

ฉันควรจะได้รับค่าใช้จ่ายที่รู้จักกันดีของตัวเก็บประจุ ฟังก์ชั่นการถ่ายโอน:

H (ω) = \frac{1}{1 + i ω R C}

$H(\omega) = \frac{1}{1+i\omega R C}$

การคำนวณการแปลง Inverse Fourier ( $\mathcal{IF}$ ) ด้วย WA ( $R=C=1$ ) ฉันได้รับ:

สิ่งนี้จะถูกต้องถ้าเราย้อนกลับไปในเวลา: / ดังนั้นคำถามคือ ... ฉันกำลังทำอะไรผิด

ฉันทำแบบเดียวกันโดยใช้ Laplace Transforms และทุกอย่างทำงานได้ดี ... แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไม

ป.ล. ฉันไม่ต้องการวิธีอื่นฉันแค่อยากจะเข้าใจว่ามีอะไรผิดปกติในแนวทางของฉัน

ป.ล. เหตุผลที่ฉันใช้ WA คือสำหรับระบบที่ซับซ้อนของฉันฉันต้องคำนวณการแปลงฟูริเยร์โดยใช้ WA

— Worldsheep
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่คำตอบที่คุณกำลังมองหา แต่บทความเกี่ยวกับวิธีการทำLaplace Inverse Lapreteสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนใด ๆ ที่คุณอาจสนใจ

— user5108_Dan

ขอบคุณสำหรับลิงค์ที่น่าสนใจ! ฉันยังคงพยายามที่จะเข้าใจว่าทำไมการแปลง Laplace จึงมีความจำเป็น หรือดีกว่าว่าทำไมการแปลงฟูริเยร์จะไม่ได้ทำงาน ...

— Worldsheep

คุณคุ้นเคยกับ Laplace Transforms หรือไม่? Laplace และ Fourier Transforms ค่อนข้างคล้ายกัน แต่ฉันไม่ได้เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ดีพอที่จะอธิบายความแตกต่างที่แน่นอน โดยทั่วไปแล้ว EE จะทำงานในโดเมน s (การแปลง Laplace) ซึ่งจะเหมือนกับสมการ H (w) ของคุณหากคุณแทนที่ replace jw ด้วย s นอกจากนี้คุณอาจได้รับคำตอบที่ดีกว่าหากคุณโพสต์คำถามนี้บนไซต์ dsp.stackexchange.com พวกเหล่านี้สอดคล้องกับสิ่งนี้

— user5108_

ใช่ฉันสังเกตเห็นว่า EE ใช้งานได้กับ Laplace ในกรณีเหล่านี้เสมอและเมื่อฉันลองแล้วมันใช้ได้ดี! แต่ฉันจะใช้ฟูริเยร์อย่างสังหรณ์ใจ ฉันจะทำตามคำแนะนำของคุณและฉันจะไปที่เว็บไซต์อื่น!

— Worldsheep

คุณสามารถหาคำตอบสำหรับคำถามนี้ได้ที่นี่: dsp.stackexchange.com/questions/27896/…

— Worldsheep

เหตุผลหลักน่าจะเป็นเพราะ Wolfram Alpha ใช้การแปลงฟูริเยร์แบบผกผันเป็นการแปลงฟูริเยร์ครั้งที่สอง ในความเป็นจริงการทำเช่นนี้ "พลิกเวลา" - ตามที่แสดงทางคณิตศาสตร์ :

การกำหนดโอเปอเรเตอร์ '' 'flip-time' ''ที่ทำให้เวลา, $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}[f(t)] ↦ f(−t)$

\begin{aligned} F^{0} & = I d, F^{1} = F, \\ F^{2} & = P, F^{4} = I d, \\ F^{3} & = F^{- 1} = P \circ F = F \circ P \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{F}^0 &= \mathrm{Id}, \quad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \\ \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P}, \quad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}, \\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P} \end{align}$

การใช้การแปลงฟูริเยร์ 3 ครั้งกับระบบจะทำให้คุณได้รับเวอร์ชันในเวลาปกติ เนื่องจากคลื่นมีความสอดคล้องกันกับเวลามันจึงไม่สำคัญ

— เครื่องหมาย
แหล่งที่มา