คำถามติดแท็ก elliptic-pde

เมื่อไปจากรูปแบบที่แข็งแกร่งของ PDE ไปยังรูปแบบ FEM ดูเหมือนว่าเราควรทำสิ่งนี้เสมอโดยระบุรูปแบบความแปรปรวนเป็นครั้งแรก ในการทำเช่นนี้คุณจะคูณแบบฟอร์มที่แข็งแกร่งด้วยองค์ประกอบในพื้นที่ (Sobolev) และรวมเข้ากับภูมิภาคของคุณ ฉันยอมรับได้ สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจคือเหตุผลว่าทำไมจึงต้องใช้สูตรของกรีน (หนึ่งหรือหลายครั้ง) ฉันได้ทำงานกับสมการของปัวซงเป็นส่วนใหญ่ดังนั้นถ้าเราใช้มัน (กับเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกัน) เป็นตัวอย่างเช่น −∇2uu=f,u∈Ω=0,u∈∂Ω−∇2u=f,u∈Ωu=0,u∈∂Ω \begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align} มันก็อ้างว่าวิธีที่ถูกต้องในรูปแบบรูปแบบความแปรปรวนคือ ∫Ωfvdx⃗ =−∫Ω∇2uvdx⃗ =∫Ω∇u⋅∇vdx⃗ −∫∂Ωn⃗ ⋅∇uvds⃗ =∫Ω∇u⋅∇vdx⃗ .∫Ωfvdx→=−∫Ω∇2uvdx→=∫Ω∇u⋅∇vdx→−∫∂Ωn→⋅∇uvds→=∫Ω∇u⋅∇vdx→. \begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u …

24 pde  finite-element  elliptic-pde 

ฉันรู้ว่าวิธีการของ Nitsche เป็นวิธีที่น่าสนใจมากเนื่องจากช่วยให้คำนึงถึงเงื่อนไขขอบเขตประเภท Dirichlet หรือสัมผัสกับเงื่อนไขขอบเขตแรงเสียดทานในแบบที่อ่อนแอโดยไม่ต้องใช้ตัวคูณ Lagrange และข้อดีของมันคือการเปลี่ยนเงื่อนไขขอบเขตของดีริชเลต์ให้เป็นเงื่อนไขที่อ่อนแอเช่นเดียวกับเงื่อนไขขอบเขตของนอยมันน์ซึ่งจ่ายโดยความจริงที่ว่าการดำเนินการนั้นขึ้นอยู่กับแบบจำลอง อย่างไรก็ตามมันดูเหมือนว่าจะกว้างเกินไปสำหรับฉัน คุณช่วยให้ฉันมีความคิดที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นของวิธีการนี ตัวอย่างง่ายๆจะได้รับการชื่นชม

17 finite-element  boundary-conditions  elliptic-pde  nitsche-method 

ฉันรู้ว่าประมาณชิ้นองค์ประกอบ จำกัด เชิงเส้นของ พอใจ ให้Uเป็นพอราบรื่นและฉ \ in L ^ 2 (U)uhuhu_hΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) คำถาม:ถ้าf∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)เรามีการประมาณการแบบอะนาล็อกต่อไปนี้หรือไม่ซึ่งอนุพันธ์ตัวหนึ่งถูกนำออกไปทั้งสองด้าน: ∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1(U)? \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? คุณสามารถให้การอ้างอิง? ความคิด:เนื่องจากเรายังคงมีu∈H10(U)u∈H01(U)u\in H^1_0(U)ก็ควรจะเป็นไปได้ที่จะได้รับการบรรจบกันในL2(U)L2(U)L^2(U)(U) โดยสังหรณ์ใจสิ่งนี้ควรเป็นไปได้ด้วยฟังก์ชั่นค่าคงที่ทีละชิ้น

9 finite-element  pde  reference-request  convergence  elliptic-pde