คำถามติดแท็ก iterative-method

ตามที่ผมเข้าใจมันต่อเนื่องมากกว่าการผ่อนคลายการทำงานโดยการเลือกพารามิเตอร์0≤ω≤20≤ω≤20\leq\omega\leq2และการใช้การรวมกันของเส้นตรง (กึ่ง) ย้ำ Gauss-Seidel และความคุ้มค่าที่ timestep ก่อนหน้านี้ ... นั่นคือ uk+1=(ω)ugsk+1+(1−ω)ukยูk+1=(ω)ยูก.sk+1+(1-ω)ยูk{u}^{k+1} = (\omega){u_{gs}}^{k+1} + (1-\omega)u^{k} ฉันรัฐกึ่งเพราะugsk+1ยูก.sk+1{u_{gs}}^{k+1}มีข้อมูลล่าสุดปรับปรุงตามกฎนี้อย่าง timestep ใด ๆ (โปรดทราบว่าที่ω=1ω=1\omega=1นี่คือ gauss-seidel) ไม่ว่าในกรณีใดฉันได้อ่านว่าตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับωω\omega (เช่นการวนซ้ำมาบรรจบกันเร็วกว่าวิธีอื่น) 2 สำหรับปัญหาปัวซองเนื่องจากความละเอียดเชิงพื้นที่เข้าใกล้ศูนย์ มีแนวโน้มที่คล้ายกันสำหรับปัญหาอื่น ๆ ที่มีความสมมาตรและโดดเด่นในแนวทแยงมุมหรือไม่? นั่นคือมีวิธีเลือกโอเมก้าอย่างเหมาะสมที่สุดโดยไม่ต้องฝังลงในแผนการปรับให้เหมาะสมแบบปรับได้หรือไม่? มีการวิเคราะห์พฤติกรรมแบบอื่นสำหรับปัญหาประเภทอื่น ๆ หรือไม่ ปัญหาอะไรบ้างที่จะทำให้เกิดการผ่อนคลาย ( ω&lt;1ω&lt;1\omega<1 ) ดีที่สุด?

10 linear-algebra  optimization  iterative-method 

ฉันมีระบบเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์ซึ่งค่าลักษณะเฉพาะมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนวงกลมหน่วยดังนี้: เป็นไปได้หรือไม่ที่จะแก้ปัญหาระบบประเภทนี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยวิธีการวนซ้ำอาจมีเงื่อนไขบางอย่างหรือไม่?

10 linear-algebra  iterative-method  preconditioning 

วิธีการของนิวตันในการแก้สมการไม่เชิงเส้นเป็นที่ทราบกันว่ามาบรรจบกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อการเดาเริ่มต้นคือ "ปิดเพียงพอ" กับการแก้ปัญหา "ปิดเพียงพอ" คืออะไร มีวรรณกรรมเกี่ยวกับโครงสร้างของแหล่งท่องเที่ยวนี้หรือไม่?

9 iterative-method  convergence  nonlinear-equations 

ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าฉันเป็นคนแรกที่คิดเกี่ยวกับปัญหาต่อไปนี้ดังนั้นฉันจะพอใจกับการอ้างอิง สมมติว่าคุณมีผลบวกแน่นอนแบบสมมาตร Σ∈Rn×nΣ∈Rn×n\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}. nnn มีขนาดใหญ่มากดังนั้นการถือครอง ΣΣ\Sigmaในความทรงจำเป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตามคุณสามารถประเมินได้ΣxΣx\Sigma xสำหรับใด ๆ x∈Rnx∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}. ให้ไว้บ้างx∈Rnx∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}คุณต้องการที่จะหา xtΣ−1xxtΣ−1xx^t\Sigma^{-1}x. ทางออกแรกที่นึกถึงคือการหา Σ−1xΣ−1x\Sigma^{-1}xใช้ (พูด) การไล่ระดับสีผันคำกริยา อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะค่อนข้างสิ้นเปลือง - คุณต้องหาสเกลาร์และในกระบวนการที่คุณพบเวกเตอร์ขนาดมหึมาRnRn\mathbb{R}^{n}. มันดูเหมือนจะสมเหตุสมผลมากกว่าที่จะหาวิธีคำนวณสเกลาร์โดยตรง (เช่นโดยไม่ผ่านΣ−1xΣ−1x\Sigma^{-1}x) ฉันกำลังมองหาวิธีการประเภทนี้

9 linear-algebra  numerical-analysis  iterative-method 

มีกฎง่ายๆที่จะบอกว่ามันคุ้มค่าที่จะทำ SOR แทน Gauss-Seidel หรือไม่? (และวิธีที่เป็นไปได้วิธีการประเมินพารามิเตอร์ realxationωω\omega) ฉันหมายถึงแค่มองดูเมทริกซ์หรือความรู้เกี่ยวกับปัญหาเฉพาะเมทริกซ์แทน? ฉันกำลังอ่านคำตอบสำหรับคำถามนี้: มีฮิวริสติกใดบ้างสำหรับการปรับวิธีการผ่อนคลายแบบต่อเนื่อง (SOR) ให้เหมาะสมหรือไม่? แต่มันซับซ้อนเกินไป ฉันไม่เห็นฮิวริสติกแบบง่าย ๆ ว่าจะประมาณรัศมีสเปกตรัมแค่มองที่เมทริกซ์ (หรือปัญหาที่มันแทน) ฉันต้องการสิ่งที่ง่ายกว่ามาก - เพียงไม่กี่ตัวอย่างของเมทริกซ์ (ปัญหา) ที่ SOR มาบรรจบกันเร็วขึ้น ฉันกำลังทดลองกับ SOR สำหรับเมทริกซ์ของกษัตริย์องค์นี้: A = I+ C+ RA=ผม+ค+RA = I + C + R ที่ไหน ผมผมI เมทริกซ์เอกลักษณ์คือ คฉันเจ= cคผมJ=คC_{ij}=c ∀ i , j∀ผม,J \forall i,j และ …

9 linear-solver  iterative-method  heuristics 

ฉันต้องการที่จะแก้ Ku=bKu=bK u = b ที่ไหน KKKเป็นเมทริกซ์ความแข็งของฉัน อย่างไรก็ตามข้อ จำกัด บางอย่างอาจหายไปดังนั้นการเคลื่อนไหวของร่างกายที่เข้มงวดบางอย่างอาจยังคงปรากฏอยู่ในระบบ (เนื่องจากศูนย์ค่าเฉพาะ) เนื่องจากฉันใช้ CG เพื่อแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นนี่จึงไม่เป็นที่ยอมรับเนื่องจากบางครั้ง CG ไม่ได้มาบรรจบกับปัญหากึ่งบวก (แต่บางครั้งฉันอาจจะมาบรรจบกัน) ที่จริงฉันใช้วิธีการกำจัดที่ถูกลงโทษในแง่ที่ว่าฉันกำลังเพิ่มบทลงโทษ α||u||2α||u||2 \alpha ||u||^2เพื่อพลังงานที่ยืดหยุ่น ดังนั้นพลังงานจึงอ่าน W(u):=12uT(K+αI)u−btuW(u):=12uT(K+αI)u−btu\begin{equation} \mathcal W(u) := \frac{1}{2} u^T (K + \alpha I) u - b^t u \end{equation} ที่ไหน αα\alphaนำมาเป็นสัดส่วนกับการเข้าขวางของเมทริกซ์ความแข็ง แต่ที่จริงแล้วนี่มีผลกระทบกับโหมดการเสียรูปบางอย่างที่ฉันต้องการ บางคำถามของฉันคือ: ก) ฉันสามารถเปลี่ยนระบบดั้งเดิมได้หรือไม่ดังนั้นจึงต้องทำให้มันปราศจากความเป็นเอกเทศและแน่นอนในเชิงบวก (เช่นการแปลงพิกัดหรือการแปลงความสอดคล้องหรืออะไรก็ตาม) ความคิดของฉันคือการใช้การแปลงดังกล่าวเพื่อยังคงใช้ CG กับปัญหาการแปลง b) มีวิธีมาตรฐานในการจัดการกับความแปลกประหลาดเหล่านั้นหรือไม่? ขอบคุณมาก …

9 finite-element  iterative-method  conjugate-gradient 

สมมติว่าฉันมีระบบ linear ขนาดใหญ่แบบดั้งเดิม: Ax0=ข0Ax0=b0A\textbf{x}_0=\textbf{b}_0. ตอนนี้ฉันไม่มีA- 1A−1A^{-1} เนื่องจาก A ใหญ่เกินไปที่จะแยกตัวประกอบหรือแยกย่อยใด ๆ ของ AAAแต่สมมติว่าฉันมีทางออก x0x0\textbf{x}_0 พบกับการแก้ซ้ำ ๆ ตอนนี้ฉันต้องการใช้การอัปเดตอันดับเล็กน้อยกับเส้นทแยงมุมของ A (เปลี่ยนรายการเส้นทแยงมุมเล็กน้อย): ( A + D )x1=ข0(A+D)x1=b0(A+D)\textbf{x}_1=\textbf{b}_0 ที่ไหน DDDเป็นเมทริกซ์แนวทแยงที่มีค่า 0 ส่วนใหญ่เป็นเส้นทแยงมุมและค่าที่ไม่เป็นศูนย์ ถ้าฉันมีA- 1A−1A^{-1}ฉันจะสามารถใช้ประโยชน์จากสูตร Woodbury เพื่อใช้การอัปเดตกับสิ่งที่ตรงกันข้าม อย่างไรก็ตามฉันไม่มีสิ่งนี้ มีอะไรบ้างที่ฉันทำได้เพียงแค่แก้ไขปัญหาระบบทั้งหมดซ้ำแล้วซ้ำอีก? มีวิธีใดบ้างที่ฉันจะได้รับสิ่งที่จำเป็นก่อนMMM ซึ่งง่ายต่อการกลับด้าน \ ง่ายเช่นนั้น MA1≈A0MA1≈A0MA_1 \approx A_0ดังนั้นฉันจะต้องทำทั้งหมดถ้ามี x0x0\textbf{x}_0 ถูกนำไปใช้ M- 1M−1M^{-1} และวิธีการวนซ้ำจะมาบรรจบกันในการทำซ้ำสองสามครั้ง?

9 linear-algebra  iterative-method  sparse-matrix 

ฉันกำลังดำดิ่งสู่โลกอันน่าทึ่งของการวิเคราะห์องค์ประกอบ จำกัด และต้องการที่จะแก้ปัญหาเครื่องจักรกลเทอร์โมขนาดใหญ่ (เฉพาะกลไกทางความร้อน , ไม่มีข้อเสนอแนะ)→→\rightarrow สำหรับปัญหาทางกลฉันได้เข้าใจจากคำตอบของเจฟฟ์แล้วว่าฉันจะต้องใช้ตัวแก้ซ้ำเนื่องจากขนาดตาข่ายของฉัน ฉันอ่านเพิ่มเติมในคำตอบของ Mattว่าการเลือกอัลกอริทึมการวนซ้ำที่ถูกต้องเป็นงานที่น่ากังวล ฉันถามที่นี่หากมีประสบการณ์เกี่ยวกับปัญหาการยืดตัวเชิงเส้นแบบสามมิติขนาดใหญ่ที่จะช่วยให้ฉัน จำกัด การค้นหาเพื่อประสิทธิภาพที่ดีที่สุดหรือไม่ ในกรณีของฉันมันเป็นโครงสร้างที่มีฟิล์มบาง ๆ มีลวดลายและวัสดุที่วางผิดปกติ (ทั้ง high-CTE และ low-CTE) ไม่มีการเสียรูปขนาดใหญ่ในการวิเคราะห์เชิงกลทางความร้อน ฉันสามารถใช้ HPC ในมหาวิทยาลัยของฉัน [1.314 โหนดพร้อมโปรเซสเซอร์ AMD Opteron 2 ตัว (แต่ละ 2.2 GHz / 8 คอร์)] ฉันคิดว่าPETScอาจมีบางสิ่งที่น่าสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมที่ใช้ในการแยกโดเมน (FETI, multigrid) แต่ฉันรู้สึกสับสนกับตัวเลือกและไม่มีประสบการณ์ ฉันชอบวลีที่ว่า"สิ่งมีชีวิตที่มีความรู้ทางเรขาคณิต"แต่ไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้จะช่วยฉันได้หรือไม่ ฉันยังไม่ได้พบสิ่งที่เพ่งความสนใจไปที่กลศาสตร์ต่อเนื่องเชิงเส้น Strong Scaling (Amdahl) มีความสำคัญมากในใบสมัครของฉันเพราะพันธมิตรอุตสาหกรรมของฉันไม่สามารถรอผลการจำลองเป็นเวลานาน ฉันไม่เพียง แต่ชื่นชมคำตอบเท่านั้น แต่ยังมีคำแนะนำสำหรับการอ่านเพิ่มเติมในความคิดเห็น

9 pde  parallel-computing  petsc  hpc  iterative-method 

สมมติว่าระบบเชิงเส้นต่อไปนี้ได้รับ Lx=c,(1)(1)Lx=c,Lx=c,\tag1 ที่ไหน LLL Laplacian เป็นน้ำหนักที่รู้จักกันว่าเป็นบวก semi−semi−semi-แน่นอนด้วยช่องว่างว่างหนึ่งมิติซึ่งถูกขยายโดย 1n=(1,…,1)∈Rn1n=(1,…,1)∈Rn1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^nและความแปรปรวนการแปลของ x∈Rnx∈Rnx\in\mathbb{R}^{n}คือ x+a1nx+a1nx+a1_n ไม่เปลี่ยนค่าฟังก์ชัน (ซึ่งอนุพันธ์คือ (1)(1)(1)) รายการเชิงบวกเท่านั้นของLLL อยู่ในแนวทแยงมุมซึ่งเป็นผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลลบนอกแนวทแยงมุม ฉันพบในงานวิชาการที่อ้างถึงอย่างหนึ่งในสาขานั้นแม้ว่า LLL คือ not strictlynot strictlynot~strictly วิธีการเช่น Conjugate Gradient, Gauss-Seidl, Jacobi ยังคงสามารถนำมาใช้แก้ปัญหาได้อย่างปลอดภัย (1)(1)(1). เหตุผลก็คือเนื่องจากค่าคงที่ของการแปลมีความปลอดภัยในการแก้ไขหนึ่งจุด (เช่นลบแถวและคอลัมน์แรกของLLL และรายการแรกจาก ccc ) ดังนั้นการแปลง LLL เพื่อ strictlystrictlystrictlyเมทริกซ์ที่โดดเด่นในแนวทแยงมุม อย่างไรก็ตามระบบดั้งเดิมได้รับการแก้ไขในรูปแบบเต็มของ(1)(1)(1)กับ L∈Rn×nL∈Rn×nL\in\mathbb{R}^{n\times n}. สมมติฐานนี้ถูกต้องและถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุผลอื่นคืออะไร ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่าการบรรจบกันของวิธีการยังคงอยู่ หากวิธี Jacobi เป็นคอนเวอร์เจนซ์ด้วย (1)(1)(1)สิ่งหนึ่งที่สามารถระบุได้เกี่ยวกับรัศมีสเปกตรัม ρρ\rho ของเมทริกซ์การวนซ้ำ D−1(D−L)D−1(D−L)D^{-1}(D-L)ที่ไหน DDD …

9 linear-algebra  optimization  iterative-method  matrix  linear-solver 

ระบบที่ไม่แน่นอนของเมทริกซ์จะปรากฏขึ้นเช่นในการแยกแยะปัญหาของจุดอานโดยองค์ประกอบ จำกัด เมทริกซ์ระบบสามารถใส่ในแบบฟอร์มได้ (ABBเสื้อค)(ABเสื้อBค)\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix} โดยที่คือลบ (กึ่ง) - ไม่มีขีด จำกัด ,เป็นบวก (กึ่ง -) แน่นอนและเป็นกฎเกณฑ์ แน่นอนขึ้นอยู่กับการประชุมคุณอาจใช้เงื่อนไขที่แน่นอน แต่นี่เป็นโครงสร้างของเมทริกซ์เหล่านั้นAAAคคCBBB สำหรับวิธีการเหล่านี้สามารถใช้วิธีของอุซาวะได้ซึ่งเป็นเพียง "กลอุบาย" เพื่อแปลงระบบให้เป็นระบบกึ่งแน่นอนที่เทียบเท่าซึ่งสามารถแก้ไขได้โดย Conjugate Gradient, Gradient Descent และอื่น ๆ ฉันเผชิญกับระบบไม่ จำกัด ซึ่งไม่มีโครงสร้างบล็อกดังกล่าว วิธีการประเภทอุซวะวะไม่ได้ใช้ในกรณีนั้น ฉันรับรู้ถึงวิธีการตกค้างขั้นต่ำ (MINRES) ที่ได้รับการแนะนำโดย Paige &amp; Saunders ซึ่งเป็นเพียงการสอบถามซ้ำสามครั้งและดูเหมือนว่าจะใช้งานได้ง่าย คำถาม:โดยทั่วไปแล้ว MINRES เป็นตัวเลือกที่ดีพูดทำต้นแบบหรือไม่ มันเกี่ยวข้องกับภาคปฏิบัติหรือไม่? การปรับสภาพล่วงหน้าไม่ใช่ประเด็นสำคัญในขณะนี้

9 linear-algebra  iterative-method