เป็นข้อบกพร่องในการมาของ DTFT ของลำดับขั้นตอนที่หน่วยนี้ที่ ?

11

คำถามนี้เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับการนี้คำถามอื่น ๆ ของฉันที่ฉันขอ derivations ของเวลาที่ไม่ต่อเนื่องฟูเรียร์ (DTFT) ของลำดับขั้นตอนหน่วย[N] ในระหว่างการค้นหา derivations ฉันพบหนึ่งที่เรียบง่ายน่าอัศจรรย์ ฉันเห็นเป็นครั้งแรกในหน้า 138 ของหนังสือเล่มนี้โดย BA Shenoi ฉันเจอสิ่งนี้ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคำตอบนี้ $u[n]$

เนื่องจากการโต้แย้งสั้นและเรียบง่ายฉันจะทำซ้ำที่นี่เพื่อความสะดวก

ลำดับขั้นตอนของหน่วยสามารถเขียนเป็น กับ เห็นได้ชัดว่า ใช้ DTFT ทั้งสองด้านให้ ที่เป็น DTFT ของ[n] จากเราจะได้ จากและเราได้รับ DTFT ของ
$\begin{matrix} (1) & u [n] = f [n] + \frac{1}{2} \end{matrix}$ $u[n]=f[n]+\frac12\tag{1}$ $\begin{matrix} (2) & f [n] = {\begin{cases} \frac{1}{2}, n \geq 0 \\ - \frac{1}{2}, n < 0 \end{cases} \end{matrix}$ $f[n]=\begin{cases}\frac12,\quad n\ge 0\\-\frac12,\quad n<0\end{cases}\tag{2}$ $\begin{matrix} (3) & f [n] - f [n - 1] = δ [n] \end{matrix}$ $f[n]-f[n-1]=\delta[n]\tag{3}$ $(3)$ $\begin{matrix} (4) & F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1 \end{matrix}$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{4}$ $F(\omega)$ $f[n]$ $(4)$ $\begin{matrix} (5) & F (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{5}$ $(5)$ $(1)$ $u[n]$ $\begin{matrix} (6) & U (ω) = F (ω) + π δ (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω), - π \leq ω < π \end{matrix}$ $U(\omega)=F(\omega)+\pi\delta(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega),\quad -\pi\le\omega <\pi\tag{6}$ ที่ฉันใช้ ,ปี่ $\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$ $-\pi\le\omega <\pi$

อีคิว สำหรับ DTFT ของนั้นไม่ต้องสงสัยเลยว่าถูกต้อง อย่างไรก็ตามการได้มานั้นมีข้อบกพร่อง $(6)$ $u[n]$

คำถามคือ:ค้นหาและอธิบายข้อบกพร่องในแหล่งที่มา

>!กรุณาย่อหน้าคำตอบของคุณที่มีแท็กสปอยเลอร์

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

1

สิ่งที่รบกวนฉันคือเป็นสัญญาณไฟไนต์ไม่ใช่สัญญาณพลังงาน จำกัดซึ่งเป็นสิ่งที่เราได้รับเมื่อเราเพิ่มสัญญาณพลังงานอนันต์ทั้งสองเข้าด้วยกัน

f [n]

$f[n]$

— robert bristow-johnson

เช่นกันไม่ใช่ ?

DTFT {x [n] = 1} = 2 π \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (ω - 2 k π)

$\text{DTFT}\{x[n]=1\} = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega-2k\pi)$

— robert bristow-johnson

ขอบคุณสำหรับการตอบสนองของคุณ! ฉัน upvoting ทั้งหมดของพวกเขาและแต่ละคนส่งผลให้มีการสนทนาที่ดีในด้านที่ไม่รู้จักกันดีของ DTFT ของสัญญาณแปลก ๆ (เช่นที่ไม่ได้อยู่ในหรือ ) ฉันยอมรับได้เพียงครั้งเดียวและฉันจะรออีกสักครู่เพื่อหาคำตอบใหม่หรือเปลี่ยนแปลงคำตอบที่มีอยู่ ฉันจะเพิ่มคำตอบของฉันเองในภายหลัง

ℓ^{1}

$\ell^1$

ℓ^{2}

$\ell^2$

— Matt L.

1

แมตต์,ย่อมไม่ได้ใช้พลังงานแน่นอน จำนวนอนันต์ของตัวอย่างที่กำลังสองเป็นไม่ได้เพิ่มเป็นจำนวน จำกัด

f [n]

$f[n]$

\frac{1}{4}

$\tfrac14$

— robert bristow-johnson

1

@ robertbristow-johnson: คุณคิดว่าอะไรเป็นสิ่งที่รบกวน? หากสัญญาณยกเลิกกันทุกที่ยกเว้นจำนวนคะแนนที่ จำกัด นั่นคือสิ่งที่เราได้รับ

— แมตต์แอล

7

มีสัญญาณมากมายเหลือเกินที่ทำให้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: สิ่งเดียวที่สำคัญคือและจากนั้นค่าสัมประสิทธิ์ที่เหลือของสามารถกำหนดได้ภายใต้ข้อ จำกัด ที่ Eq สถานะ (เช่นการแทนที่ของตัวอย่างที่ต่อเนื่องกันต้องเป็นสำหรับ ) กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการ จะทำได้โดยสัญญาณใด ๆเช่นนั้น อีกวิธีหนึ่งในการดู นี่คือฟังก์ชั่นใด ๆ ที่เป็นพื้นด้วย offset (เพิ่มค่าคงที่) จะตอบสนอง
$y [n] - y [n - 1] = δ [n] (1)$ $y[n]-y[n-1]=\delta[n] \qquad (1)$ $y[0]-y[-1]=1$ $y$ $(1)$ $0$ $n\neq 0$ $(1)$ $y[n]$ $y [0] = y [- 1] + 1 \land y [n] = y [n - 1] \forall n \neq 0$ $y[0]=y[-1]+1 \land y[n]=y[n-1] \ \forall n\neq0$ $u[n]$ $(1)$ . สิ่งนี้อธิบายคำแถลงของโรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสันในคำตอบของเขา : นักสร้างความแตกต่างทำลายข้อมูลนี้ (เช่นการหาอนุพันธ์ในเวลาต่อเนื่องทำลายหลักฐานของค่าคงที่ใด ๆ ในฟังก์ชั่นดั้งเดิม)
สรุปแล้วฉันเชื่อว่าข้อพิสูจน์นั้นมีข้อบกพร่องเพราะกระบวนการที่ใช้สามารถใช้ฟังก์ชันใด ๆ ของแบบฟอร์มกับและสิ่งนี้จะนำไปสู่การทำงานหลายอย่างที่มีการแปลงฟูริเยร์แบบเดียวกัน ซึ่งผิดอย่างแน่นอนเมื่อการแปลงฟูริเยร์เป็นเรื่องไบ บางทีผู้เขียนจงใจตัดสินใจที่จะเพิกเฉยต่อสิ่งใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับค่า DC, สติว่าเพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็น DTFT ของเขาจะต้องมีคุณสมบัติการสะสม (ซึ่งพิสูจน์ได้รับความนิยมมากที่สุดจาก DTFT ของ ขั้นตอนของหน่วย - เออร์โกหลักฐานวงกลมสวย) การพิสูจน์ไม่ผิดอย่างเคร่งครัดเนื่องจากทุกสิ่งที่ระบุ (สูตรสำหรับและ $u[n]+C$ $C\in\mathbb{R}$ $F(\omega)$ $f[n]$ $F(\omega)$ $U(\omega)$ การสลายตัวของหน่วยขั้นตอนสมการความแตกต่างเป็นจริง แต่มันจะต้องมีคุณสมบัติการสะสมเพื่อแสดงว่าทำไมไม่มี Dirac deltas ใด ๆ $F(\omega)$

— Tendero
แหล่งที่มา

คุณมาถูกทางแล้ว! คุณมีความคิดว่าจะแก้ไขข้อบกพร่องนี้ได้อย่างไรเช่นจะทำอย่างไรให้ถูกต้อง?

— Matt L.

@MattL การตั้งค่าเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับจะทำการหลอกลวงและกำหนดสัญญาณโดยไม่ลังเล เงื่อนไขเริ่มต้นนั้นจะกำหนดค่า DC ของสัญญาณซึ่งปรากฏใน DTFT เป็นค่าคงที่คูณแรงกระตุ้น Dirac (ตามคุณสมบัติการสะสม) ฉันคิดว่าในการพิสูจน์ที่กำหนดนี่ใช้งานได้เพราะสัญญาณไม่มีค่า DC เนื่องจากมันสมมาตรประมาณและดังนั้น DTFT นั้นถูกต้องในกรณีนี้ แต่ความจริงที่ว่าสัญญาณนั้นไม่มี DC ควรระบุเนื่องจากเป็นพื้นฐานฉันเชื่อว่า

y [n]

$y[n]$

y [n]

$y[n]$

f [n]

$f[n]$

0

$0$

— Tendero

มีคำตอบที่ดีมากมายและเป็นเรื่องยากที่จะเลือกว่าจะยอมรับข้อใด แต่สิ่งนี้ได้รับการชื่นชมจากชุมชนมากที่สุดและฉันก็คิดว่ามันชัดเจนมากที่สุดที่ชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดในการได้รับมา ขอบคุณทุกคน!

— Matt L.

4

ฉันรู้สึกสับสนกับจำนวนคำตอบที่ฉันได้รับ (10 คำตอบจนถึงตอนนี้!) แน่นอนพวกเขาทั้งหมดได้รับการโหวตของฉัน มันสนุกดีขอบคุณสำหรับความคิดความเห็นและอื่น ๆ ฉันรู้ว่าตอนนี้พวกคุณส่วนใหญ่รู้ว่าข้อบกพร่องคืออะไรอย่างน้อยที่สุดที่ฉันหมายถึง ผู้คนแสดงสิ่งที่แตกต่างและมีที่ว่างสำหรับความเข้าใจผิดอยู่เสมอดังนั้นฉันจะพยายามกำหนดสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นข้อบกพร่องที่สำคัญที่สุดอย่างชัดเจนในที่มานั้น ฉันตระหนักถึงความจริงที่ว่าทุกคนไม่เห็นด้วยและไม่เป็นไร ฉันยินดีที่จะสามารถพูดคุยเกี่ยวกับหัวข้อ DSP ที่เป็นความลับนี้ด้วยความคิดที่เฉียบคมเช่นเดียวกับ y'all! ไปเลย.

การอ้างสิทธิ์ครั้งแรกของฉันคือสมการทุกข้อในคำถามของฉันถูกต้อง อย่างไรก็ตามความเป็นมาและแรงจูงใจของบางคนนั้นผิดและทำให้เข้าใจผิดและ "การได้มา" นั้นมีอยู่เพียงเพราะผู้เขียนรู้ว่าผลลัพธ์ที่ควรจะเป็นอย่างไร

อีคิว (3) ในคำถาม ( ) ถูกต้องสำหรับลำดับที่กำหนด (Eq.ในคำถาม) แต่ชัดเจน นอกจากนี้ยังมีที่ถูกต้องสำหรับทุกลำดับของรูปแบบกับบางคงพลคจึงตามมาที่ส่งผลให้ DTFTควรจะเป็น DTFT ของลำดับทั้งหมดของแบบฟอร์มโดยไม่คำนึงถึงความคุ้มค่าของค่าคงที่คแน่นอนว่ามันไม่สมเหตุสมผลเพราะ DTFT นั้นมีเอกลักษณ์ โดยเฉพาะการใช้ "หลักฐาน" ที่ฉันสามารถ "แสดง" ว่าตามที่กำหนดใน Eq คำถามของฉัน (หรือ Eq $f[n]-f[n-1]=\delta[n]$ $f[n]$ $(2)$
$\begin{matrix} (1) & f [n] = u [n] + c \end{matrix}$ $f[n]=u[n]+c\tag{1}$ $c$ $F(\omega)$ $(1)$ $c$ $F(\omega)$ $(5)$ $(3)$ ด้านล่าง) เป็นจริง DTFT ของที่เรากำลังมองหา เหตุใดจึงต้องแยกตัวดังเช่นใน Eq คำถาม $u[n]$ $u[n]$ $(1)$
อย่างไรก็ตามมันเป็นความจริงที่ DTFT ของลำดับทั้งหมดตอบสนอง Eq ในคำถาม (ซ้ำที่นี่เพื่อความสะดวก):แต่ตอนนี้ข้อบกพร่องทางคณิตศาสตร์มาจริง:จาก อีคิว มันไม่ถูกต้องที่จะสรุป Eq เป็นเพียงหนึ่งในวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้หลายอย่างของและมันเกิดขึ้นได้อย่างสะดวกสบายกับสิ่งที่ผู้เขียนต้องการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง อีคิว คือ DTFT ของในกับ $(1)$ $(4)$
$\begin{matrix} (2) & F (ω) (1 - {อี}^{- J ω}) = 1 \end{matrix}$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1\tag{2}$ $(2)$ $\begin{matrix} (3) & F (ω) = \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{3}$ $(3)$ $(2)$ $(3)$ $f[n]$ $(1)$ $c=-\frac12$ แต่จากการที่ได้รับมาไม่มีทางรู้ได้
ดังนั้นวิธีที่เราสามารถหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์และการใช้งานจะได้รับ DTFTs ของลำดับมีค่าคงที่ใด ๆ ? ข้อสรุปที่ถูกต้องจากคือมีค่าคงตัวบางส่วน\เสียบทางด้านซ้ายของให้ดังนั้นฟังก์ชันทั้งหมดกำหนดโดยสนองตามที่ต้องการ $(2)$ $all$ $(1)$ $c$ $(2)$
$\begin{matrix} (4) & F (ω) = \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} + α δ (ω) \end{matrix}$ $F(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\alpha\delta(\omega)\tag{4}$ $\alpha$ $(4)$ $(2)$ $1 + α (1 - {อี}^{- J ω}) δ (ω) = 1 + α (1 - {อี}^{- J ω}) |_{ω = 0} \cdot δ (ω) = 1 + 0 \cdot δ (ω) = 1$ $1+\alpha (1-e^{-j\omega})\delta(\omega)=1+\alpha (1-e^{-j\omega})\Big{|}_{\omega=0}\cdot\delta(\omega)=1+0\cdot\delta(\omega)=1$ $F(\omega)$ $(4)$ $(2)$
ค่าคงที่ในสามารถกำหนดได้จากค่าของที่ :มันสามารถแสดงให้เห็นได้และWolframAlpha ตกลงว่า Cauchy เป็นตัวการสำคัญในคือจากและเราได้รับดังนั้นสำหรับเราจะได้ $\alpha$ $(4)$ $f[n]$ $n=0$
$\begin{matrix} (6) & ฉ [0] = 1 + ค = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} F (ω) d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \frac{d ω}{1 - {อี}^{- J ω}} + \frac{α}{2 π} \end{matrix}$ $f[0]=1+c=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(\omega)d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\omega}{1-e^{-j\omega}}+\frac{\alpha}{2\pi}\tag{6}$ $(6)$ $\begin{matrix} (7) & P V \int_{- π}^{π} \frac{d ω}{1 - {อี}^{- J ω}} = π \end{matrix}$ $PV\int_{-\pi}^{\pi}\frac{d\omega}{1-e^{-j\omega}}=\pi\tag{7}$ $(6)$ $(7)$ $\begin{matrix} (8) & α = π (1 + 2 ค) \end{matrix}$ $\alpha=\pi (1+2c)\tag{8}$ $c=-\frac12$ $\alpha=0$ (ซึ่งสอดคล้องกับลำดับดั้งเดิมตามที่ใช้โดยผู้เขียนหลักฐาน) และสำหรับ (เช่นสำหรับ ) เรามีซึ่งในที่สุด ให้ DTFT ที่ต้องการเป็น : $f[n]$ $c=0$ $f[n]=u[n]$ $\alpha=\pi$ $u[n]$ $\begin{matrix} (9) & ยู (ω) = \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} + π δ (ω) \end{matrix}$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega)\tag{9}$

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

"ฟังก์ชั่นทั้งหมดมอบโดย (4) สนอง (2)" แต่เราต้องพิสูจน์ว่า "ทุกฟังก์ชั่นสนอง (2) มีรูปแบบ (4)"?

F (ω)

$F(\omega)$

F (ω)

$F(\omega)$

— AlexTP

@AlexTP: ดังนั้นคุณหมายถึงฟังก์ชั่นของแบบฟอร์มอาจเป็นเพียงส่วนหนึ่งของฟังก์ชั่นที่น่าพอใจ ? นั่นเป็นจุดที่ถูกต้อง แต่ฉันคิดว่ามันค่อนข้างชัดเจนว่าไม่มีฟังก์ชั่นอื่นเพราะมันอยู่ที่ที่เราได้รับปัญหาดังนั้นเราต้องการฟังก์ชั่นที่มีส่วนร่วมเพิ่มเติมที่ซึ่งหายไปเมื่อคูณด้วยomega}) ฟังก์ชันดังกล่าว (จริง ๆ การแจกแจง) คือแรงกระตุ้นเดลต้าเดลต้าและอนุพันธ์ของมัน อย่างไรก็ตามอนุพันธ์จะไม่หายไปเมื่อคูณด้วยดังนั้นมันจึงเป็นเพียงแรงกระตุ้นเดลต้าเดลต้าที่เหลืออยู่

(4)

$(4)$

(2)

$(2)$

ω = 0

$\omega=0$

ω = 0

$\omega=0$

(1 - e^{- j ω})

$(1-e^{-j\omega})$

(1 - e^{- j ω})

$(1-e^{-j\omega})$

— Matt L.

ฉันไม่แน่ใจจริงๆว่าจะไม่มีฟังก์ชั่นใด ๆ นอกเหนือจาก Dirac delta impulse (และอนุพันธ์) ที่มีคุณสมบัตินี้ แต่มันก็โอเคคำตอบของคุณเขียนได้ดี ฉันโหวตขึ้น ขอบคุณ

— AlexTP

2

ข้อบกพร่องดังต่อไปนี้คำว่า "เห็นได้ชัด" ถ้านั่นควรจะเป็นฟังก์ชั่น Dirac Delta
นี่คือร่างคำตอบสำหรับคำถามอื่นของคุณที่ฉันไม่เคยโพสต์:
-------------------------------------------------- -------------
ฉันไม่คิดว่าหลักฐานจะเป็นไปได้ นี่อาจเป็นกรณีของ "ข้อกำหนดการทำงาน" ที่มีคุณสมบัติที่ต้องการ

$X_{2 π} (ω) = Σ_{n = - \infty}^{+ \infty} x [n] {อี}^{- J ω n}$ $X_{2\pi} \left(\omega\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] e^{-j \omega n}$ $ยู = Σ_{n = 0}^{+ \infty} {อี}^{- J ω n}$ $U = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n}$ $ยู = \underset{ยังไม่มีข้อความ \to \infty}{Lim} Σ_{n = 0}^{ยังไม่มีข้อความ - 1} {อี}^{- J ω n}$ $U = \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}$ $ยู = \underset{ยังไม่มีข้อความ \to \infty}{Lim} [\frac{1 - {อี}^{- J ω ยังไม่มีข้อความ}}{1 - {อี}^{- J ω}}]$ $U = \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$ $ยู = \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} - \underset{ยังไม่มีข้อความ \to \infty}{Lim} [\frac{{อี}^{- J ω ยังไม่มีข้อความ}}{1 - {อี}^{- J ω}}]$ $U = \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$ ดูที่ค่าขีด จำกัด สุดท้าย สำหรับเป็นที่ชัดเจนว่ามันทำหน้าที่คล้ายกับ Dirac Delta ทำไมค่าสัมประสิทธิ์ควรเป็นฉันไม่รู้ มันอาจจะเกี่ยวข้องกับพื้นที่ของวงกลมหน่วย เมื่อ $\omega = 0$ $\pi$ $\omega \neq 0$ ตัวหารสามารถแยกออกจากขีด จำกัด และตัวเศษเพียงข้ามไปตามวงกลมหน่วยและไม่ถึงขีด จำกัด การตั้งค่าเป็นศูนย์เป็นการกระทำที่ชัดเจน
การพิสูจน์ความหมายทำงานในลักษณะที่ต้องการเป็นเรื่องที่แตกต่าง
การพิสูจน์หน้า 138 นั้นผิด (อย่างน้อย) เพราะ:

$δ (เสื้อ) = \underset{a \to 0}{Lim} \frac{1}{2 a} [ยู (เสื้อ + a) - ยู (เสื้อ - a)] = \frac{d ยู}{d เสื้อ}$ $\delta(t) = \lim_{ a \to 0 } \frac{1}{2a} \left[ u(t + a) - u(t - a) \right] = \frac{du}{dt}$ ซึ่งไม่คล้ายกันกับตามที่นิยามไว้ $\delta(n) = u_2(n) - u_2(n-1)$
สถานการณ์ที่น่าสนใจฉันหวังว่านี่จะช่วยได้ ฉันรอคอยสิ่งที่คุณพูด
CED

— Cedron Dawg
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! แต่โปรดทราบว่าเรากำลังพูดถึงลำดับที่ไม่ต่อเนื่องที่นี่ไม่ใช่เกี่ยวกับแรงกระตุ้น Dirac delta ในเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง,เท่ากับศูนย์ทุกที่ยกเว้นที่มันเป็น1ดังนั้นจึงไม่มีสิ่งที่น่าเกลียดเหมือนในเวลาต่อเนื่อง ดังนั้น (3) ในคำถามของฉันถูกต้องจริง (ในเวลาไม่ต่อเนื่อง!)

δ [n]

$\delta[n]$

n = 0

$n=0$

1

$1$

— แมตต์แอล

Cedron ฉันคิดว่าสมการนี้: อาจเป็นที่สนใจในคำถามอื่นของ @MattL .. บางทีคุณควรพิจารณาให้ความคิดเพิ่มเติมและโพสต์ไว้ที่นั่นหากคุณต้องการ

ยู = \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} - \underset{ยังไม่มีข้อความ \to \infty}{Lim} [\frac{{อี}^{- J ω ยังไม่มีข้อความ}}{1 - {อี}^{- J ω}}]

$U = \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right]$

— Tendero

2

ถ้าคุณให้ฉันไปหารด้วยศูนย์ฉันสามารถพิสูจน์ให้คุณเห็นว่า 2 เมื่อคุณพูดว่ามีปัญหาเกี่ยวกับการคูณบางอย่างด้วยศูนย์ (เมื่อ ) และคาดว่าผลิตภัณฑ์จะเท่ากัน $1=2$
$F (ω) (1 - e^{- j ω}) = 1$ $F(\omega)\left(1-e^{-j\omega}\right)=1$ $\omega=2k\pi \text{ for } k \in \mathbb{Z}$

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

3

คุณธรรมของเรื่องราว: ผู้สร้างความแตกต่างทำลายข้อมูล ความแตกต่างที่ไม่ทราบความแตกต่างระหว่างและ{2} อย่าพยายามหารด้วยศูนย์เพื่อให้ได้ข้อมูลที่สูญหาย

u [n]

$u[n]$

u [n] - \frac{1}{2}

$u[n]-\tfrac{1}{2}$

— robert bristow-johnson

ดังนั้นผู้เขียนควรระบุว่าเพื่อแก้ไขข้อบกพร่อง?

w \neq 2 π k

$w \neq 2\pi k$

— Fat32

ดีที่ DTFT ของมีค่าเท่ากับ 1 สำหรับใด ๆแม้เมื่อ\

δ [n]

$\delta[n]$

ω

$\omega$

ω = 2 k π

$\omega=2k\pi$

— robert bristow-johnson

ทำไม ? ... เป็นโดเมนของซึ่ง จำกัด ว่าหรือไม่

δ [n]

$\delta[n]$

1 - e^{- j w}

$1-e^{-j w}$

F (w)

$F(w)$

— Fat32

เพราะเมื่อ Matt บอกว่าและบอกให้รวมทั้งสองด้านเพื่อรับ (ซึ่งเป็นสิ่งที่ Matt พูดเป็นหลักใน Eq.5) จากนั้นเรามี sorta "คูณและหารด้วยเคล็ดลับที่ปริมาณเดียวกันที่จะได้รับ 1" แต่บางครั้งเขาก็คูณและหารด้วยศูนย์ คูณด้วยศูนย์ทำลายข้อมูล หารด้วยศูนย์จะไม่ได้ข้อมูลกลับมา

ฉ [n] - ฉ [n - 1] = δ [n]

$f[n]-f[n-1]=\delta[n]$

u [n]

$u[n]$

— robert bristow-johnson

2

ควรเขียนสมการ (4) เป็นสำหรับ ,ที่ไม่ใช่ (5) ฉันไม่รู้วิธีแก้ไขหลักฐานโดยไม่หลีกเลี่ยง (3)
$\underset{ยังไม่มีข้อความ \to \infty}{Lim} Σ_{n = - ยังไม่มีข้อความ}^{n = ยังไม่มีข้อความ} ฉ [n] {อี}^{- J ω n} (1 - {อี}^{- J ω n}) + ({อี}^{J ω ยังไม่มีข้อความ} ฉ [ยังไม่มีข้อความ] + {อี}^{- J ω ยังไม่มีข้อความ} ฉ [- ยังไม่มีข้อความ]) {อี}^{- J ω} = 1$ $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{n=N}f[n]e^{-j\omega n} (1-e^{-j\omega n})+(e^{j\omega N}f[N]+e^{-j\omega N}f[-N])e^{-j\omega}=1$ $f[n]=u[n]$ $\underset{ยังไม่มีข้อความ \to \infty}{Lim} Σ_{n = - ยังไม่มีข้อความ}^{n = ยังไม่มีข้อความ} ฉ [n] {อี}^{- J ω n} (1 - {อี}^{- J ω n}) + {อี}^{J ω ยังไม่มีข้อความ} {อี}^{- J ω} = 1$ $\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{n=N}f[n]e^{-j\omega n} (1-e^{-j\omega n})+e^{j\omega N}e^{-j\omega}=1$

— AlexTP
แหล่งที่มา

บางคนอาจจะเถียงว่าเกิดขึ้นเมื่อสำหรับจำนวนเต็มk

F (ω)

$F(\omega)$

ω \neq 2 k π

$\omega \ne 2 k \pi$

k

$k$

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson ขอบคุณสำหรับการแก้ไข ฉันหมายความว่าไม่อยู่ไม่ได้เพราะแต่เพราะไม่ได้มาบรรจบทุก\สำหรับจะต้องตีความเป็นค่าตัวหลัก Cauchy แม้สำหรับสูตรที่ถูกต้องของ

F (ω)

$F(\omega)$

ω = 2 k π

$\omega = 2k\pi$

\sum_{n = 1}^{\infty} \sin (ω n)

$\sum_{n=1}^\infty \sin(\omega n)$

ω

$\omega$

ω = 2 k π

$\omega = 2k\pi$

U (ω)

$U(\omega)$

— AlexTP

@AlexTP ทำไมความแตกต่างของเหตุผลการรวมที่กล่าวว่าไม่มีอยู่? สัญญาณหลายอย่างนั้นแตกต่างจาก "การรวม DTFT" ของพวกเขา แต่พวกเขามีการกำหนด DTFT อย่างไรก็ตาม (ในแง่ของ Dirac deltas) ฉันไม่ได้พูดถึงเหตุผลที่ผิดฉันแค่พยายามเข้าใจ (ฉันไม่คุ้นเคยกับทฤษฎีการกระจายและนั่น)

F (ω)

$F(\omega)$

— Tendero

คุณพูดถูกว่าเงินจำนวนนั้นไม่ได้มาบรรจบกันในความหมายทั่วไป แต่อย่างไรก็ตาม DTFT นั้นมีอยู่ในแง่ของการกระจาย ท้ายที่สุดแล้วอาร์กิวเมนต์เดียวกันจะถือเป็น DTFT ของซึ่งมีอยู่ในแง่นั้นด้วย มีข้อบกพร่องอีกอย่างที่ซับซ้อนทางคณิตศาสตร์น้อยกว่าปัญหาความแตกต่างซึ่งเราคุ้นเคยกันดี

u [n]

$u[n]$

— แมตต์แอล

1

@MattL ฉันไม่รู้ว่ามันชัดเจนหรือไม่ แต่ฉันไม่เห็นความแตกต่างระหว่างและเพราะเรามี !

u [n]

$u[n]$

f [n]

$f[n]$

u [n] - u [n - 1] = δ [n]

$u[n] - u[n-1] = \delta[n]$

— AlexTP

2

ฉันคิดว่าฉันได้หาวิธีที่ดีที่สุดในการแสดงข้อบกพร่องในหลักฐานนี้แล้ว ดังนั้นฉันจะให้แทงอีกอัน
ตัวเลือกของใน (1) เป็นสิ่งที่ไม่มีเหตุผล Let 's แทนที่ด้วยxทำตามการพิสูจน์ผ่านและท้ายด้วย: $\frac{1}{2}$ $x$

$U (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + 2 π x δ (ω)$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+2\pi x \delta(\omega)$
ไม่มีสิ่งใดในการพิสูจน์ว่าข้อ จำกัดเป็นมันสามารถรับค่า จำกัด ใด ๆ และการพิสูจน์ได้ผลเหมือนกัน $x$ $\frac{1}{2}$
นอกจากนี้หากคุณทำตามขั้นตอนที่ฉันทำในคำตอบสุดท้ายและค้นหา (4) จะแสดงเป็น

$F (ω) (1 - {อี}^{- J ω}) = 1 + 2 π x (1 - {อี}^{- J ω}) δ (ω)$ $F( \omega )(1 - e^{-j\omega} ) = 1 + 2\pi x (1 - e^{-j\omega} ) \delta(\omega)$
ตามด้วยการรวมไว้ใน (5) และ (6) คุณจะได้รับ:

$ยู (ω) = \frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} + 4 π x δ (ω)$ $U(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}+ 4\pi x \delta(\omega)$
ซึ่งอย่างที่ฉันชี้ไปก่อนหน้านี้ไม่สอดคล้องกับคำจำกัดความเพื่อไปที่นั่น
หลักฐานนี้ล้มเหลวในการแสดงว่าและดูเหมือนว่าจะระบุว่าสำหรับ x ที่กำหนดใด ๆ ผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกันจะเป็นไปตาม ดังนั้นฉันกลับไปที่คำแถลงในคำตอบแรกของฉันว่าค่าของสำหรับสัมประสิทธิ์ของเป็นการกระทำที่ชัดเจนไม่ใช่เป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ $x = \frac{1}{2}$ $\pi$ $\delta(\omega)$
อาจมีบางสถานการณ์ที่ทำให้เป็นค่าที่ถูกต้อง แต่ข้อพิสูจน์นี้ไม่ได้ให้มา $x=\frac{1}{2}$
CED

— Cedron Dawg
แหล่งที่มา

1

นี่คือการตอบสนองต่อความคิดเห็นในคำตอบแรกของฉัน เนื่องจากสปอยเลอร์ปิดบังฉันกำลังโพสต์เป็นคำตอบแยกต่างหาก
ฉันกำลังจะโพสต์คำตอบอื่น ๆ ของฉันไปที่คำถามอื่น แต่ฉันไม่ได้เกิดจากการขาดประสบการณ์ในพื้นที่นี้ ฉันโพสต์ไว้เมื่อวานนี้ลบแล้วลบออกจากนั้นก็หาวิธีใช้แท็กสปอยเลอร์
เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นกำหนดไว้ในปัญหาไม่ใช่ฟังก์ชัน Dirac Delta ฉันค้นหา DTFT ใน Wikipedia และ DTFT สำหรับฟังก์ชัน Dirac Delta คือหนึ่ง ผมจะเรียกของปัญหา\ $\delta$ $\delta$ $\delta_p$

$δ_{พี} [n] = ฉ [n] - ฉ [n - 1] = ยู [n] - ยู [n - 1]$ $\delta_p[n] = f[n] - f[n-1] = u[n] - u[n-1]$
การใช้ DTFT ของชิ้นส่วนด้านซ้ายและขวา ฉันไม่แน่ใจว่าฉันมีสัญลักษณ์ถูกต้อง แต่คณิตศาสตร์ควรมีความชัดเจน การใช้คำจำกัดความที่กำลังได้รับการพิสูจน์

$F_{พี} (ω) = F_{ยู} (ω) - F_{ยู} (ω) {อี}^{- J ω}$ $F_p( \omega ) = F_u( \omega ) - F_u( \omega ) e^{-j\omega}$

$F_{พี} (ω) = [\frac{1}{1 - {อี}^{- J ω}} + π δ (ω)] - [\frac{{อี}^{- J ω}}{1 - {อี}^{- J ω}} + (π {อี}^{- J ω}) δ (ω)]$ $F_p( \omega ) = \left[ \frac{1}{1-e^{-j\omega}}+\pi\delta(\omega) \right] - \left[ \frac{e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+ ( \pi e^{-j\omega} ) \delta(\omega) \right]$

$F_{พี} (ω) = \frac{1 - {อี}^{- J ω}}{1 - {อี}^{- J ω}} + π (1 - {อี}^{- J ω}) δ (ω)$ $F_p( \omega ) = \frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}} + \pi (1 - e^{-j\omega} )\delta(\omega)$

$F_{พี} (ω) = 1 + π (1 - {อี}^{- J ω}) δ (ω) \neq 1$ $F_p( \omega ) = 1 + \pi (1 - e^{-j\omega} ) \delta(\omega) \neq 1$
ดังนั้น RHS ของ (4) ไม่ถูกต้องยกเว้นเมื่อ2k [แก้ไข: Doh มันเป็นเดลต้า Dirac ดังนั้นคำสั่งนี้ไม่ถูกต้อง ผมคิดว่ามันควรจะถูกต้องยกเว้น "ไม่ได้กำหนด" ที่2k การวิเคราะห์ที่แท้จริงคือคณิตศาสตร์ที่ฉันโปรดปราน ฉันจะทิ้งสิ่งนี้ไว้คนเดียว] $\omega = 2k\pi$ $\omega = 2k\pi$
CED
==============================
ติดตาม:
เป็นที่ชัดเจนว่า DTFT ของควรเป็น 1 เมื่อเสียบเข้ากับคำจำกัดความของ DTFT ดังนั้นเนื่องจากฉันได้คำตอบที่แตกต่างกันเมื่อใช้คำจำกัดความที่จะพิสูจน์หมายความว่าคำจำกัดความที่จะพิสูจน์ไม่ถูกต้อง (ในความหมายทางคณิตศาสตร์) นอกจากนี้หากคุณดำเนินการแก้ไขจนถึงจุดสิ้นสุดของการพิสูจน์คุณจะได้รับความหมายที่แตกต่างกัน สมมติว่าการยืนยันความเป็นจริงถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ว่ามันเป็นเรื่องจริง $\delta_p$

— Cedron Dawg
แหล่งที่มา

คุณได้แสดงให้เห็นแล้วว่าเพราะคำศัพท์เท่ากับศูนย์ เป็นเช่นนั้นเพราะสำหรับฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่องที่คุณมีและถ้า (ซึ่งเป็นกรณีนี้) คำทั้งหมดหายไป

F_{p} (ω) = 1

$F_p(\omega)=1$

(1 - e^{- j ω}) δ (ω)

$(1-e^{-j\omega})\delta(\omega)$

f (ω)

$f(\omega)$

ω = 0

$\omega=0$

f (ω) δ (ω) = f (0) δ (ω)

$f(\omega)\delta(\omega)=f(0)\delta(\omega)$

f (0) = 0

$f(0)=0$

— Matt L.

1

สำหรับฉันข้อบกพร่องแรกปรากฏขึ้นระหว่าง (3) และ (4): นี่เป็นตัวอย่างของการแยกปริพันธ์ / ผลรวมอนันต์แบบเลินเล่อแบบคลาสสิก เงื่อนไขจะต้องอนุญาตให้สมการ: มาตรฐานหรือ อาจไม่คมชัดเพียงพอ สิ่งนี้อาจเกี่ยวข้องกันที่นี่เนื่องจากรูปแบบ , กับทฤษฎีบทของ Fubini , หรือ: เมื่อใดที่เราจะแลกเปลี่ยนผลรวมอนันต์และอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่อง? หนทางรอบ ๆ สามารถหมุนรอบผลรวมที่น่าเบื่อหรือเหมือน Cesaro ได้ แต่ฉันจะคิดอีกต่อไป
$Σ (a [n] - ข [n]) ค_{ω} [n] = Σ a [n] ค_{ω} [n] - Σ ข [n] ค_{ω} [n]$ $\sum (a[n] - b[n])c_\omega[n] = \sum a[n]c_\omega[n]- \sum b[n]c_\omega[n]$ $\ell_1$ $\ell_2$ $f[n]-f[n-1]$

— Laurent Duval
แหล่งที่มา

1

ดังนั้นแมตต์

ฉันไม่รู้ว่าทำไมคุณไม่คิดว่ามันเป็นปัญหาในการเปรียบเทียบสัญญาณพลังงานกับสัญญาณพลังงาน แต่สมมติว่าเราแก้ไขนิยามของเล็กน้อย: $f[n]$

ฉ [n] ≜ {\begin{cases} \frac{1}{2} {อี}^{- α n} & n \geq 0 \\ - \frac{1}{2} {อี}^{α n} & n < 0 \end{cases}

$f[n] \triangleq \begin{cases} \ \tfrac12 e^{-\alpha n} \qquad & n \ge 0 \\ -\tfrac12 e^{ \alpha n} \qquad & n < 0 \\ \end{cases}$

สำหรับบาง0 $\alpha > 0$

ตอนนี้เรามีสัญญาณพลังงาน จำกัด และ DTFTs ควรเปรียบเทียบกันทั้งหมด

\begin{aligned} ฉ [n] - ฉ [n - 1] & = {\begin{cases} \frac{1}{2} ({อี}^{- α n} - {อี}^{- α (n - 1)}) & n > 0 \\ \frac{1}{2} (1 + {อี}^{- α}) & n = 0 \\ - \frac{1}{2} ({อี}^{α n} - {อี}^{α (n - 1)}) & n < 0 \end{cases} \\ = {\begin{cases} \frac{1}{2} (1 - {อี}^{α}) {อี}^{- α n} & n > 0 \\ \frac{1}{2} (1 + {อี}^{- α}) & n = 0 \\ \frac{1}{2} ({อี}^{- α} - 1) {อี}^{α n} & n < 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f[n]-f[n-1] &= \begin{cases} \tfrac12 (e^{-\alpha n} - e^{-\alpha (n-1)}) \qquad & n > 0 \\ \tfrac12 (1 + e^{ -\alpha })\qquad & n = 0 \\ -\tfrac12 (e^{\alpha n} - e^{\alpha(n-1)})\qquad & n < 0 \\ \end{cases} \\ \\ \\ &= \begin{cases} \tfrac12 (1 - e^{\alpha}) e^{-\alpha n} \qquad & n > 0 \\ \tfrac12 (1 + e^{ -\alpha }) \qquad & n = 0 \\ \tfrac12 (e^{-\alpha} - 1)e^{\alpha n} \qquad & n < 0 \\ \end{cases} \\ \end{align}$

ฉันสงสัยว่า DTFT คืออะไร แล้วจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเราปล่อย ? ฉันคิดว่ายังมีปัญหาเกี่ยวกับตัวทำลายความแตกต่างในการทำลายข้อมูล (และการทำลายข้อมูลที่สอดคล้องกันโดยการคูณด้วย 0 ในโดเมนความถี่) ที่เป็นปัญหา แต่บางทีเราอาจแพ้ปัญหาในการเปรียบเทียบคลาสสัญญาณที่ไม่ได้ใช้พื้นที่ฮิลแบร์ตร่วมกัน $\alpha \to 0$

แต่อนิจจามันเกือบ 2 โมงเช้าและฉันจะไม่จัดการกับมันตอนนี้

— โรเบิร์ตบริสโต - จอห์นสัน
แหล่งที่มา

ที่สิ่งที่เป็นสิ่งที่ดีและก็เป็นหนึ่งในตัวเลือกในการคำนวณ DTFT ของบรรดาสัญญาณที่ไม่เน่าเปื่อยโดยการ จำกัด0 ลองใช้และฉันแน่ใจว่าคุณจะประสบความสำเร็จ แต่มันเจ็บปวด มีวิธีที่ง่ายกว่าในการรับผลลัพธ์เดียวกัน หลักฐานที่ได้รับสามารถแก้ไขได้จริงเพื่อให้สามารถใช้งานได้กับ IMHO (ดูคำตอบของฉัน)

α

$\alpha$

α \to 0

$\alpha\rightarrow 0$

— Matt L.