ปัญหา "ที่ใกล้ที่สุด" ของการคาดคะเน Collatz ที่ได้รับการแก้ไขเรียบร้อยแล้วคืออะไร

ฉันสนใจในปัญหา "ที่ใกล้ที่สุด" (และ "ซับซ้อนที่สุด") สำหรับการคาดคะเน Collatzที่ได้รับการแก้ไขเรียบร้อยแล้ว (ซึ่ง Erdos ได้กล่าวไว้อย่างดีว่า "คณิตศาสตร์ยังไม่สุกสำหรับปัญหาดังกล่าว") มันได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาที่คล้ายกับ "โคลลาทซ์" อย่างไรก็ตามปัญหาที่มีความคล้ายคลึงกันอย่างคลุมเครือเช่นเกม MIU ของ Hofstadter (แก้ไขแล้ว แต่ปัญหาของเล่นเป็นที่ยอมรับมากขึ้น) นั้นสามารถตัดสินใจได้จริงหรือได้รับการแก้ไขแล้ว

คำถามที่เกี่ยวข้อง

Collatz Conjecture & Grammars / Automata

— vzn
แหล่งที่มา

เนื่องจากนี่คือ HTML และไม่ใช่ LaTeX มันจะง่ายกว่าถ้าคุณทำการอ้างอิงแบบอินไลน์ที่ตรงประเด็น

— Suresh Venkat

TCS / มุมเชิงประจักษ์บน collatz / refs

— vzn

มีอย่างน้อยหนึ่งคนที่อ้างว่า "การคาดคะเน Collatz" เป็นคำตอบเฉพาะสำหรับคำถามของคุณ ฉันสงสัยในความสมบูรณ์ของหลักฐานที่เชื่อมโยง แต่ฉันยังไม่ได้ใช้เวลาในการวิเคราะห์มากพอ

— Boyd Stephen Smith Jr.

fyi ที่นี่เป็นกระดาษใหม่โดย Michel ที่สำรวจพื้นที่เชื่อมโยง undecidability กับกรอบทฤษฎีจำนวนทั่วไปทั่วไป, ปัญหาในทฤษฎี number จากการแข่งขันบีเวอร์ที่ยุ่ง

— vzn

คำตอบ:

ความคิดเห็นเพิ่มเติม:

ลำดับเหมือน Collatz สามารถคำนวณได้โดยเครื่องจักรทัวริงขนาดเล็กที่มีสัญลักษณ์และสถานะไม่กี่ ใน " เครื่องจักรทัวริงขนาดเล็กและการแข่งขันบีเวอร์ที่ไม่ว่างทั่วไป " โดย P. Michel (2004) มีตารางที่ดีที่วางตำแหน่งปัญหาที่เหมือน Collatz ระหว่าง TM ที่สามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

$TM(5,2)$ $TM(3,3)$ $TM(2,4)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

จากการสรุปของกระดาษ:

$TM(4,2)$

ดูเพิ่มเติม " ความซับซ้อนของเครื่องจักรทัวริงขนาดเล็กทั่วไป: การสำรวจ " โดย D. Woods และ T. Neary (2007)

$\mu = 2, v=3,0\rightarrow 00, 1 \rightarrow 1101$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

เพื่อเติมเต็มคำตอบ: คอนเวย์แสดงให้เห็นว่ามี Collatz เหมือนลำดับซึ่งเป็น undecidable ams.org/mathscinet-getitem?mr=392904 นั่นคือลำดับโคลลาตซ์เหมือนตัวเองสามารถจำลองเครื่องทัวริงสากล

— Sasho Nikolov

ขอบคุณ! การสำรวจ / ผลลัพธ์ของ mitchell นั้นยอดเยี่ยมมาก! การชี้แจงอย่างชัดเจนในตาราง "T" ในเซลล์ระบุว่า TM (k, l) แสดงให้เห็นว่ามีอยู่ซึ่งเทียบเท่ากับการคาดคะเนโคลลาเทซ มุมมองยังแสดงให้เห็นว่าการคาดเดา collatz ไม่ได้เป็นเพียงความอยากรู้ทางทฤษฎีที่แยกได้ แต่อาจเป็นปรากฏการณ์พื้นผิวของบางสิ่งที่ลึกลงไปในทฤษฎีการคำนวณ ป.ล. สนใจมากถ้าหาก "โคลลาตซ์เหมือนปัญหา" ที่เคยเปิดตัวได้รับการแก้ไขแล้ว ... ?

— vzn

$T: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $T(n)=n/2$ $n$ $T(n)=n+1$ $n$ $n \in \mathbb N$ $k \in \mathbb N$ $T^{(k)}(n)=1$

$T(n)=n+1$ $n$ $T(n)=3n+1$ $n$

— Craig Feinstein
แหล่งที่มา

ฉันไม่คิดว่าสิ่งนี้ตอบสนอง "ส่วนที่ซับซ้อนที่สุด" ของคำถามเนื่องจากนักเรียนชั้นประถมศึกษาที่มีแรงบันดาลใจสามารถระบุความคิดหลักที่อยู่เบื้องหลังการพิสูจน์คำพูดของคุณด้วยความคิดเล็กน้อย

— Yonatan N

แต่ถ้ามันซับซ้อนและยังแก้ไขได้มันจะไม่คล้ายกับ Collatz Conjecture อีกต่อไป นอกจากนี้ชื่อคำถามของเขาระบุว่าเขาให้ความสำคัญกับ "ใกล้ที่สุด" เหนือ "ซับซ้อนที่สุด"

— Craig Feinstein