การชนครั้งแรกของการยิงควอนตัม

ในกระดาษQuantum Random Walks Hit เร็วขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียล ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe ให้ความเห็นเกี่ยวกับเวลากดปุ่มสำหรับการเดินควอนตัม (ใน hypercube) ที่ไม่ได้รับความนิยมมากในวรรณกรรม มันถูกกำหนดไว้ดังนี้:

One-Shot Quantum Hitting Time:การเดินควอนตัมแบบไม่ต่อเนื่องครั้งหนึ่งมี$(T,p)$ one-shot $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$เวลากดถ้า$|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ที่ไหน$|\Psi_0\rangle$เป็นสถานะเริ่มต้น, $|\Psi^f\rangle$เป็นสถานะเป้าหมายและ$p>0$ น่าจะเป็นการกดปุ่ม

ปกติคุณอยากจะรู้ว่าขั้นต่ำ$T$ดังกล่าวว่า$p>0$ 0 เป็นไปไม่ได้ (แก้ไขฉันถ้าฉันผิด) เพื่อกำหนดความคิดเกี่ยวกับเวลากดปุ่มโดยเฉลี่ยเพราะคุณจะต้องทำการวัดในระหว่างการเดินและนั่นจะยุบลงเป็นการเดินแบบคลาสสิค นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมเราถึงมีความคิดแบบ one-shot ในงานชิ้นเดียวกันมีแอปพลิเคชันสำหรับการกำหนดเส้นทางควอนตัม (เปรียบเทียบส่วนที่ 5 )

เพื่อให้ทราบว่าการเดินมาถึงจุดสุดยอดเป้าหมายคุณต้องทำการวัดที่โหนดนั้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่นใน$n$ -dimensional hypercube ที่มี$2^n$ nodes หากคุณเริ่มที่ node $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$และมีโหนดเป้าหมาย$|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ , กระดาษแสดงให้เห็นว่า$T=O(n)$มีความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดแบบมีขอบเขตเช่น$p\to 1$เป็น$n$มีขนาดใหญ่มาก ดังนั้นเพื่อตรวจสอบว่าการเดินมาถึง$|11\dots11\rangle$คุณทำการวัดหลังจาก$\Omega(n)$ขั้นตอน นี่เป็นการเร่งความเร็วแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

คำถาม:

1. ในการใช้ความคิดของการกดปุ่มเวลาสำหรับการค้นหาคุณจำเป็นต้องรู้ระยะทางของจุดสุดยอดเป้าหมายจากแหล่งกำเนิดอย่างน้อยเพราะนั่นคือวิธีที่คุณรู้ว่าจะใช้การวัดเมื่อใด พูดเถอะว่าคุณมีกราฟ , และการตั้งค่าเริ่มต้นเป็นจุดสุดยอดวี0และต้องการที่จะเข้าถึงวีฉ สมมติว่าT = O ( d ฉันs T ( วี0 , V ฉ ) )และP ≥ 1 / 2 ดี$G$$v_0$$v^f$$T=O(dist(v_0,v^f))$$p\geq 1/2$$T$ชัดเจนเพราะคุณต้องการอย่างน้อยหลายขั้นตอนในการเข้าถึง มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่ใช้เวลากดปุ่มนี้เพื่อค้นหา? ถ้าคุณรู้ว่าโหนดอยู่ที่ไหนไม่มีความหมายในการค้นหา แต่มีข้อมูลบางอย่างเช่น "ระยะทางจากจุดเริ่มต้น" แต่ไม่รู้ว่าเป้าหมายอยู่ที่ไหนความคิดในการกดปุ่มเวลานี้ให้ความน่าสนใจ (คุ้มค่าต่อการศึกษา ) ขั้นตอนวิธีการค้นหา?

2. แอปพลิเคชันสำหรับการกำหนดเส้นทางควอนตัมเหมาะสมหรือไม่? ในกระดาษมันบอกว่ามันสามารถใช้สำหรับแพ็คเกจการกำหนดเส้นทางได้ แต่สำหรับฉันแล้วคุณสามารถส่งได้เพียง 1 บิตเท่านั้นเช่นมาถึงปลายทางหรือไม่ คุณสามารถส่งสถานะควอนตัมจริงในกรอบนี้ได้หรือไม่? ในเอกสารฉบับนี้ไม่ได้รับการแก้ไข

3. นี่อาจเป็นคำถามงี่เง่าที่จะถาม แต่ที่นี่มันจะไป คุณสามารถใช้ความคิดในการกดปุ่มเวลานี้เพื่อสร้าง "Generalized Mach-Zender Interferometer" ได้หรือไม่?

ฉันตระหนักถึงความคิดอื่น ๆ ของการกดปุ่มครั้งสำหรับการเดินควอนตัม (เช่นSzegedy's หรือAmbainis's ) ฉันสนใจเวลากดปุ่มนี้โดยเฉพาะ

Update (9/24/2010):ขอบคุณ Joe Fitzsimons คำถามที่ 2 และ 3 ได้รับคำตอบอย่างสมบูรณ์ แม้ว่าคำถามหมายเลข 1 ยังคงอยู่ ก่อนอื่นฉันจะทบทวนคำถามที่ 2 ด้วยคำเฉพาะเจาะจงมากขึ้นเมื่อฉันอ่านบทความที่โจแนะนำให้ฉันและอีกสองสามคน (เช่นดูarXiv: 0802.1224 ) จากนั้นฉันจะยกตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของสิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจ สำหรับคำถามที่ 1

2' หากคุณกำลังส่งข้อความที่เป็นรูปธรรม (เช่นลำดับของบิตคลาสสิก) คุณสามารถใช้การรวมที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งจะคัดลอกข้อมูลนี้ในระหว่างขั้นตอนการเดิน ในการส่งสถานะควอนตัมคุณต้องการอะไรมากกว่านี้ แชนเนลสปินโซ่ใช้อาร์เรย์เชิงเส้นของ qubits พร้อมคัปปลิ้งคงที่ คุณสามารถใส่สถานะ (สถานะที่บริสุทธิ์ฉันไม่ทราบว่ามันทำงานสำหรับรัฐผสม) ที่คุณต้องการส่งในปลายด้านหนึ่งและมันจะไปที่ปลายอีกด้านหนึ่งที่มีความเที่ยงตรงสูงตามผลตัวเลข ฉันยังต้องคิดให้มากขึ้น แต่ฉันมีสองแนวคิด: i) ใส่ chain ในแต่ละลิงค์ของกราฟหรือ ii) ทำการเดินค้นหาสถานะเป้าหมายจากนั้นสร้างช่องทางระหว่างสถานะเริ่มต้นและเป้าหมายแล้วส่ง รัฐ. มีวิธีใดที่จะทำให้เกิดความเสียหายได้? มันทำงานร่วมกับรัฐต่าง ๆ ได้หรือไม่?

$n$$\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

$dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$$\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n\log n})$$\sqrt{n\log n}$

ฉันไม่คุ้นเคยกับบทความนี้ แต่ฉันจะพยายามให้คำตอบอย่างคร่าวๆสำหรับคำถามแต่ละข้อของคุณหลังจากสกิมคร่าวๆ

1. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$$O(\sqrt{n})$$T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
2. ฉันคิดว่าผู้เขียนกำลังทำแพ็กเก็ตทั้งหมดเพื่อทำการเดินสุ่ม เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ต้องการการรวมที่ค่อนข้างซับซ้อน แต่ฉันไม่เห็นปัญหาจริงๆ อีกทางหนึ่ง Burgarth และ Bose มีรูปแบบที่ดีมากสำหรับการเข้ารหัสข้อมูลในกราฟที่เหมือนกันซึ่งจะทำงานได้เช่นกันถ้าคุณเพียงแค่แทนที่ 1d chain ของพวกเขาด้วยเครือข่ายที่เลือก ( quant-ph / 0406112 )
3. คุณไม่ต้องการเวลาในการกดปุ่มนี้ Hypercubes มีการถ่ายโอนสถานะที่สมบูรณ์แบบ (ดูตัวอย่างquant-ph / 0309131และquant-ph / 0411020 ) ดังนั้นคุณสามารถดูการขนส่งบนไฮเปอร์คิวบ์เป็น interferometer กับ Mach-Zender interferometer ที่ตรงกับเคส 2d

UPDATE: (เพื่อตอบคำถามที่อัปเดตเกี่ยวกับการเดินสุ่มบนตะแกรงหรือขัดแตะอื่น ๆ )

$v_t$$v^f$

สำหรับคำถามที่ 1 การรู้จักระยะห่างระหว่างจุดสุดยอดเป้าหมายที่ไม่รู้จักกับจุดเริ่มต้นกำเนิดบางจุดบนไฮเปอร์คิวบ์สามารถช่วยกระบวนการค้นหาได้ อย่างไรก็ตามค่าของระยะทางนั้นเป็นตัวกำหนดว่าข้อมูลนี้มีประโยชน์มากเพียงใด

อัลกอริธึมการเดินทั่วไปแบบควอนตัมมักจะเป็นรูปแบบ / การประมาณค่าของการค้นหา Grover: พวกมันเกี่ยวข้องกับการหมุนของเวกเตอร์สถานะโดยประมาณในพื้นที่ 2 มิติของพื้นที่ฮิลแบร์ต

คุณสามารถใช้อัลกอริธึมเหล่านี้เพื่อเตรียมการซ้อนทับของจุดยอดทั้งหมดอย่างมีประสิทธิภาพในระยะห่างที่กำหนดจากจุดกำเนิด จากนั้นคุณสามารถค้นหาจุดสุดยอดเป้าหมายของคุณในการซ้อนทับนี้โดยใช้การค้นหาควอนตัมหรือคลาสสิก (Monte Carlo): สำหรับการค้นหาแบบคลาสสิกเพียงแค่เตรียมการซ้อนทับและวัดในแนวตั้งและทำซ้ำจนกว่าคุณจะพบเป้าหมาย สำหรับการค้นหาควอนตัมขั้นตอนการเตรียมการซ้อน (และผกผัน) กลายเป็นรูทีนย่อยที่แทนที่การแปลง Hadamard ในการวนซ้ำ Grover

$n$$d$$\binom{n}{d}$$\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$$\approx n/2$