เมื่อใดที่ผ่อนคลายนับยาก?

สมมติว่าเราผ่อนคลายปัญหาการนับสีที่เหมาะสมโดยการนับสีที่มีน้ำหนักดังต่อไปนี้: ทุกสีที่เหมาะสมจะได้รับน้ำหนัก 1 และทุกสีที่ไม่เหมาะสมจะได้รับน้ำหนักโดยที่มีค่าคงที่บ้างและคือจำนวนขอบ ในขณะที่ไปที่ 0 จะช่วยลดการนับจำนวนสีที่เหมาะสมซึ่งยากสำหรับกราฟจำนวนมาก เมื่อ c คือ 1 ทุกสีจะมีน้ำหนักเท่ากันและปัญหานั้นเล็กน้อย เมื่อเมทริกซ์ adjacency ของกราฟคูณด้วยมีรัศมีสเปกตรัมต่ำกว่า$c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$ผลรวมนี้สามารถประมาณได้ด้วยการเผยแผ่ความเชื่อด้วยการรับรองการบรรจบกันดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายในทางปฏิบัติ นอกจากนี้ยังง่ายในทางทฤษฎีเนื่องจากต้นไม้การคำนวณแสดงการสลายตัวของสหสัมพันธ์และด้วยเหตุนี้จึงอนุญาตให้อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการประมาณที่รับประกัน - Tetali, (2007)

คำถามของฉันคือ - คุณสมบัติอื่นใดของกราฟทำให้ปัญหานี้ยากสำหรับอัลกอริทึมท้องถิ่น ยากในความรู้สึกว่ามีเพียงช่วงเล็ก ๆ ของ 's สามารถ addressed$c$

แก้ไข 09/23 : จนถึงตอนนี้ฉันได้พบกับอัลกอริทึมการประมาณค่าพหุนามสองแบบสำหรับปัญหาในระดับนี้ (อนุพันธ์ของกระดาษ STOC2006 ของ Weitz และวิธีการ "ขยายช่องว่าง" ของการ์นิกเพื่อการนับโดยประมาณ) และทั้งสองวิธีขึ้นอยู่กับ หลีกเลี่ยงการเดินบนกราฟ รัศมีสเปกตรัมเกิดขึ้นเพราะมันเป็นขอบเขตบนของปัจจัยการแยก คำถามคือ - มันเป็นประมาณการที่ดีหรือไม่? เราสามารถเรียงลำดับของกราฟที่มีปัจจัยการแยกสาขาของการเดินแบบหลีกเลี่ยงตัวเองได้หรือไม่

แก้ไข 10/06 : บทความนี้โดย Allan Sly (FOCS 2010) ดูเหมือนว่ามีความเกี่ยวข้อง ... ผลชี้ให้เห็นว่าปัจจัยการแตกกิ่งของต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดของการหลีกเลี่ยงการเดินด้วยตัวเองได้อย่างแม่นยำจับประเด็นที่นับยาก

แก้ไข 10/31 : Alan Sokal conjectures ( p.42 ของ "The multivariate Tutte polynomia" ) ว่า a มีขอบเขตบนรัศมีของพื้นที่ปลอดศูนย์ของพหุนาม chromatic ซึ่งเป็นเชิงเส้นในแง่ของ maxmaxflow สูงสุด ทุกคู่ s, t) สิ่งนี้ดูมีความเกี่ยวข้องเนื่องจากมีความสัมพันธ์ระยะยาวปรากฏขึ้นเมื่อจำนวนสีที่เหมาะสมเข้าใกล้ 0

นี่เป็นเรื่องยากสำหรับกราฟระนาบอย่างน้อยหกสีขึ้นไป ดู "ความไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ของพหุนาม Tutte ของกราฟระนาบ"โดย Goldberg และ Jerrum

ความคิดเห็นเพิ่มเติมบางส่วน:

อัลกอริทึมในท้องถิ่นสำหรับการนับจะคำนวณการนับจากชุดของสถิติต่อโหนดโดยที่แต่ละสถิติเป็นฟังก์ชันของกราฟกราฟบางส่วนของโหนด สำหรับการระบายสีนั้นสถิติเหล่านั้นเกี่ยวข้องกับ "ความน่าจะเป็นเล็กน้อยที่พบสี c" นี่คือตัวอย่างของการลดลงของกราฟอย่างง่าย

ตามมาจากบทความล่าสุดของ Alan Sly ว่าการนับชุดอิสระโดยใช้อัลกอริทึมในท้องถิ่นนั้นยากเท่ากับการนับชุดอิสระโดยใช้อัลกอริทึมใด ๆ ฉันสงสัยว่านี่เป็นความจริงสำหรับการนับทั่วไปบนกราฟ

สำหรับอัลกอริธึมในท้องถิ่นความแข็งจะขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่างโหนดกับพฤติกรรมเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างโหนด สำหรับระยะทางที่กว้างพอสมควรความสัมพันธ์นี้มีพฤติกรรมเพียงสองอย่างเท่านั้นไม่ว่าความสัมพันธ์จะสลายตัวลงในระยะทางกราฟแบบทวีคูณหรือไม่สลายตัวเลย

หากมีการสลายตัวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสถิติท้องถิ่นขึ้นอยู่กับพื้นที่ใกล้เคียงที่มีขนาดเป็นพหุนามในขนาดของกราฟดังนั้นปัญหาในการนับเป็นเรื่องง่าย

ในแบบจำลองทางสถิติเชิงฟิสิกส์มันถูกบันทึกไว้ (เช่น de Gennes, Emery) ว่ามีการเชื่อมต่อระหว่างการเดินด้วยตนเองที่หลีกเลี่ยงการสลายตัวของความสัมพันธ์ จุดที่การสร้างฟังก์ชั่นสำหรับการหลีกเลี่ยงการเดินด้วยตนเองบนตาข่ายกลายเป็นอนันต์สอดคล้องกับอุณหภูมิที่ความสัมพันธ์ระยะยาวปรากฏในโมเดล

คุณสามารถเห็นได้จากการสร้างต้นไม้เดินด้วยตนเองที่ Weitz หลีกเลี่ยงสาเหตุที่เดินหลีกเลี่ยงตนเองเกิดขึ้นจากความสัมพันธ์ที่แปรปรวน - ชายขอบสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าเป็นรากของต้นไม้เดินหลีกเลี่ยงตัวเองดังนั้นหากปัจจัยการแตกกิ่งก้านของต้นไม้นี้ มีขนาดเล็กพอใบไม้ของต้นไม้กลายเป็นสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องในที่สุด

หาก "ความกระด้างในท้องถิ่น" แสดงถึงความแข็งก็เพียงพอแล้วสำหรับการหาปริมาณคุณสมบัติที่กำหนดอัตราการเติบโตของการเดินหลีกเลี่ยงตัวเอง อัตราการเจริญเติบโตที่แน่นอนสามารถสกัดได้จากฟังก์ชั่นการสร้างสำหรับการเดินหลีกเลี่ยงตัวเอง แต่มันก็เป็นเรื่องยากที่จะคำนวณ รัศมีสเปกตรัมนั้นง่ายต่อการคำนวณและให้ขอบเขตที่ต่ำกว่า

ความคิดเห็นบางส่วน: ไม่ใช่คำตอบ

$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

$c$

คุณกำลังขอคุณสมบัติโครงสร้างของคลาสของกราฟซึ่งจะทำให้ปัญหายังคงอยู่ เท่าที่ฉันจะบอกได้ว่ามันจะยากอยู่เสมอ แต่นี่เป็นร่างที่สมบูรณ์และต้องการงานมากขึ้น