ความแข็งของการประมาณจำนวนรงค์ในกราฟที่มีขอบเขต จำกัด

12

ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ความแข็งในการระบายสีจุดสุดยอดของกราฟที่มีขอบเขต จำกัด

ด้วยกราฟเรารู้ว่าสำหรับมันยากที่จะประมาณภายในปัจจัยของยกเว้น [ 1 ] แต่ถ้าระดับสูงสุดของถูกล้อมรอบด้วย ? มีอัตราส่วนความแข็งของแบบฟอร์ม (สำหรับบาง ) ในกรณีนี้หรือไม่? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

เป็นคำถามที่ง่ายคือความแข็งใกล้เคียงกับขอบ-รงค์หมายเลขของ hypergraphs เมื่อขนาดของขอบของพวกเขาเป็นที่สิ้นสุดโดยdเราสามารถหวังอัตราส่วน hardness ในกรณีนี้ได้หรือไม่? (พูดอะไรก็ได้ ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

ขอบคุณสำหรับความสนใจ!

— afshi7n
แหล่งที่มา

3

คุณสามารถยกตัวอย่างยาก ๆ ด้วย vertices ที่แยกได้

— Sasho Nikolov

2

ใช่ แต่ถ้าคุณใส่ขอบเขตที่ จำกัด บนขนาดของอินสแตนซ์ฮาร์ที่คุณเริ่มจากมันจะหยุดยาก

— David Eppstein

1

@Sasho จุดยอดที่แยกได้จะช่วยได้อย่างไรเมื่อเพิ่มจำนวนสีหรือระดับสูงสุดไม่ได้?

— afshi7n

2

@DavidEppstein แน่ใจว่าการขยายนี้จะพิสูจน์บางสิ่งถ้า

และ

ยังคงมีความเกี่ยวข้องกับพหุนาม OP นั่นคือจุดที่แม่นยำจริงๆ คุณเริ่มต้นด้วยอินสแตนซ์ที่มี

จุด (ระดับสูงสุดเพื่อที่มากที่สุด

) ซึ่งมันยากที่จะประมาณ

ภายใน

ε

เพิ่มจุดยอดที่แยกได้

การเข้าพักที่เหมือนกันและการเข้าพักสูงสุดปริญญาวันที่

นี้เป็น polytime ถ้า

)

ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม

ใด ๆ

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$ มีอินสแตนซ์ที่มีองศาสูงสุด

ซึ่งยากที่จะประมาณ

ถึงภายใน

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sasho Nikolov

อัปเดต: เป็นเรื่องยากที่จะประมาณ

ภายในปัจจัยของ

โดยไม่มีสมมติฐานพิเศษใด ๆ

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— Cyriac Antony

9

ขณะที่เดวิดชี้ให้เห็นกระดาษคตของ "ผล Inapproximability ปรับปรุงการ MaxClique, จำนวนสีและระบายสีกราฟโดยประมาณ" ทฤษฎีบท 1.6 บอกว่ามันเป็น NP-ยากที่จะสีกราฟ -colorable กับสีสำหรับ กราฟที่มีระดับที่มากที่สุดสำหรับการคงขนาดใหญ่พอKกล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับกราฟของระดับมันยากที่จะระบายสี $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ กราฟสีที่มีสี $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

เพื่อให้ได้ขอบเขตที่ดียิ่งขึ้นคุณสามารถใช้แนวคิดจากรายงานของ Trevisan ว่า "ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถคาดคะเนได้สำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมกับอินสแตนซ์องศาที่มีขอบเขต" การสังเกตที่สำคัญคือกราฟที่เกิดจากการลด FGLSS นั้นเป็นการรวมกันของกราฟย่อยแบบ bipartite ที่สมบูรณ์และหนึ่งสามารถแทนที่แต่ละอันด้วยการแยกแบบไบปาร์ตีซึ่งเป็นตัวแยกคำ แนวคิดที่คล้ายกันที่ใช้ในผลลัพธ์หลายรายการเช่น Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , Theorem 1.4 / Appendix D.

ฉันคิดว่าสิ่งนี้ควรให้อะไรกับคุณแบบ $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

ระดับที่ถูกผูกไว้ในกระดาษที่ Michael พูดถึงนั้นคล้ายกับ Khot's นั่นคือเลขชี้กำลังของกรณีความสมบูรณ์ แน่นอนว่าวิธีการกระจายข้อมูลข้างต้นช่วยปรับปรุงสิ่งนี้ด้วย แต่ก็อาจจะไม่ทำให้ค่าคงที่ที่ดีขึ้นสำหรับวัตถุประสงค์ของคุณ

— sangxia
แหล่งที่มา

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

1

d^{c}

$d^c$

8

$3$

$\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
แหล่งที่มา

8

มีผลที่ไม่สามารถตรวจสอบได้สำหรับกราฟสีที่มีขอบเขตล้อมรอบในกระดาษ FOCS'01 ของ Khot, "ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถต้านทานการปรับปรุงได้สำหรับ MaxClique, หมายเลขสีและสีกราฟโดยประมาณ" - มันอาจจะอ่อนแอกว่าที่คุณต้องการ แต่อย่างน้อยก็เป็นทิศทางที่ถูกต้อง

$k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

\log d

$\log d$

ทำไมไม่ถาม Khot

— จันทรา Chekuri

1

@chandra เพิ่งส่งอีเมลและถามเขาขอบคุณสำหรับคำแนะนำ! ฉันจะอัปเดตที่นี่หากฉันได้ยินกลับมา

— afshi7n

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

4

ผลลัพธ์นี้อาจเป็นประโยชน์:

$\Delta$ $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, กราฟสีที่ไม่ซ้ำกันและความแข็งของกราฟสีของเส้นรอบวงขนาดใหญ่, Combin Probab คอมพิวเต 7 (4) (1998) 375–386

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา