ความซับซ้อนของการสุ่มตัวอย่าง (โดยประมาณ) การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันบูลีน

สิ่งหนึ่งที่คอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถทำได้ (อาจเป็นได้แม้เพียงแค่ BPP + วงจรควอนตัมเชิงลึก) คือการประมาณตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันบูลีนค่าใน P $\pm 1$

ที่นี่และด้านล่างเมื่อฉันพูดถึงการสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ฉันหมายถึงการเลือก x ตาม . (ปรับให้เป็นมาตรฐานถ้าจำเป็นและโดยประมาณ) $|\hat f(x)|^2$

เราสามารถอธิบายระดับความซับซ้อนที่เราสามารถเรียก P-FOURIER SAMPLING จากการสุ่มตัวอย่างโดยประมาณฟังก์ชันบูลีนของ P ได้หรือไม่ มีปัญหาใดบ้างที่สมบูรณ์สำหรับชั้นนี้?

เมื่อกำหนดคลาส X ของฟังก์ชันบูลีนสิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับความซับซ้อนของการคำนวณเราสามารถอ้างถึง SAMPLING-X ของการประมาณการสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันใน X (ฉันคิดว่าถ้า X เป็น BQP แล้ว X-SAMPLING คือ ยังอยู่ในอำนาจของคอมพิวเตอร์ควอนตัม)

ตัวอย่างของ X ที่ SAMPLING-X อยู่ใน P คืออะไร มีตัวอย่างที่น่าสนใจที่ SAMPLING-X NP-hard หรือไม่

ปัญหานี้มีหลายรูปแบบที่น่าสนใจ ในด้านฟูเรียร์แทนที่จะเป็นตัวอย่างโดยประมาณเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจที่เปิดใช้งาน (ความน่าจะเป็น) โดยการสุ่มตัวอย่างโดยประมาณ ในด้านแรกเราสามารถเริ่มต้นด้วยคลาส X ของการแจกแจงความน่าจะเป็นและถามว่าอะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างความสามารถในการประมาณตัวอย่างการกระจายตัว D ใน X และประมาณตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ปกติ

ในระยะสั้นสิ่งที่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับคำถามนี้

Update: Martin Schwarz ชี้ให้เห็นว่าหากค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ทั้งหมดมีความเข้มข้นในจำนวนพหุนามเท่านั้นจึงเป็นไปได้ใน BPP ที่จะประมาณค่าสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่เหล่านี้ (และประมาณตัวอย่างด้วย) นี่กลับไปที่ Goldreich-Levin และ Kushilevitz-Mansour มีคลาสที่น่าสนใจของฟังก์ชันที่มีอัลกอริทึมพหุนามความน่าจะเป็นสำหรับการสุ่มตัวอย่างด้านฟูริเยร์โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์กระจายไปทั่วมากกว่าสัมประสิทธิ์พหุนามจำนวนมากหรือไม่?

เพิ่มในภายหลัง:ฉันขอพูดถึงปัญหาที่เป็นรูปธรรมไม่กี่

1) มันยากแค่ไหนที่จะประมาณตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันบูลีนใน P

a) คำถามหนึ่งข้อที่ Scott Aaronson พูดถึงในความคิดเห็นด้านล่างคือแสดงว่านี่ไม่ได้อยู่ใน BPP หรือบางสิ่งบางอย่างที่อ่อนแอลงตามแนวที่ว่าถ้างานนี้อยู่ใน BPP มีการล่มสลายเกิดขึ้น (ชาวสกอตคาดเดาว่าเป็นกรณีนี้)

b) คำถามอีกข้อคือแสดงให้เห็นว่างานนี้ทำได้ยากด้วยความเคารพต่อความซับซ้อนระดับควอนตัม เช่นเพื่อแสดงให้เห็นว่าหากคุณสามารถทำงานนี้ได้คุณสามารถแก้ปัญหาการตัดสินใจใน BPP ที่ช่วยเหลือด้วยคอมพิวเตอร์ควอนตัมเชิงลึกหรือสิ่งที่ต้องการ

2) อะไรคือคลาสของฟังก์ชันบูลีนที่ประมาณการสุ่มตัวอย่างการแปลง Fourler ของพวกมันอยู่ในพีสิ่งที่เรารู้ก็คือกรณีนี้เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์จดจ่อกับสัมประสิทธิ์พหุนามจำนวนมาก แต่นี่ดูเหมือน จำกัด มาก

3) มีความซับซ้อนระดับ X สูงขึ้นใน PH ที่เครื่อง X สามารถประมาณการแปลงฟูริเยร์ของทุกฟังก์ชั่นที่ X-machine สามารถคำนวณได้

4) ฉันมีความสนใจเป็นพิเศษในปัญหาของการสุ่มตัวอย่างการแปลงฟูริเยร์ของเหตุการณ์ข้ามสำหรับการซึมผ่านบนตาราง n ด้วย n หกเหลี่ยม

— Gil Kalai
แหล่งที่มา

กิลในกรณีนี้เป็นที่สนใจของคุณ: ก่อนที่อเล็กซ์ Arkhipov และฉันเริ่มทำงานใน BosonSampling สิ่งที่ "ต้นฉบับ" ผมอยากที่จะพิสูจน์ได้ว่าประมาณฟูริเยร์สุ่มตัวอย่างปัญหา - คือว่าปัญหาที่คุณอธิบาย - ไม่ได้เป็น ใน BPP เว้นแต่ว่าลำดับชั้นพหุนามยุบ น่าเสียดายที่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือแม้แต่ได้รับหลักฐานที่ดีซึ่งทำให้เราเปลี่ยนความสนใจไปที่ bosons และ "ถาวร # P-complete" อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามตอนนี้ฉันอยากจะย้ำการคาดเดาของฉันว่าการสุ่มตัวอย่างแบบฟูเรียร์โดยประมาณนั้นทำได้ยากโดยสมมติว่า PH นั้นไม่มีที่สิ้นสุด :-)

— Scott Aaronson

ขอบคุณสกอตต์เขาน่าสนใจมาก ฉันจะพูดถึงการคาดเดาของคุณพร้อมกับคนอื่น ๆ ในการแก้ไขคำถามต่อไป

— Gil Kalai

BTW สกอตต์ไม่ใช่ข้อโต้แย้งผ่านทางสารถาวรที่แสดงให้เห็นว่า BOSONSAMPLING ใน BPP แสดงถึงการล่มสลายของ PH ที่ใช้สำหรับการสุ่มตัวอย่างฟูริเยร์ด้วย

— Gil Kalai

กิล: ใช่สำหรับอัลกอริทึมการสุ่มตัวอย่างที่แน่นอนอาร์กิวเมนต์เดียวกันจะต้องผ่าน แต่สำหรับอัลกอริธึมการสุ่มตัวอย่างโดยประมาณฉันไม่แน่ใจ: ใครจะต้องเชื่อว่าการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์ควรเป็น # P-complete โดยเฉลี่ยเช่นเดียวกับ Arkhipov และฉันคาดคะเนว่าการประมาณค่าถาวรของเมทริกซ์ iid Gaussian ควรเป็น # P-complete โดยเฉลี่ย

— Scott Aaronson

Kushilevitz-Mansourอัลกอริทึมในการเรียนรู้ก่อตั้งทฤษฎีว่าเมื่อใดก็ตามจะอยู่ที่ประมาณเบาบางคือมีเพียง $\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ $\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$

— มาร์ตินชวาตซ์
แหล่งที่มา

ขอบคุณมาร์ติน! ฉันคิดว่ามันไม่รู้ว่ามันยากแค่ไหนที่จะได้ตัวอย่างจากการแปลงของ Fouriet แม้แต่ของ AC ^ 0 ฟังก์ชั่นใช่มั้ย? (ในกรณีที่มีความลึก-2 ด้วยการคาดเดาของ Mansour อ้างว่ามันเป็นพหุนาม (ที่มีการสุ่ม).

— กิลคาไล