eta-equence สำหรับฟังก์ชั่นที่ใช้งานร่วมกันได้กับการทำงาน seq ของ Haskell หรือไม่?

แทรก: สมมติว่า (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> BETA-เท่าเทียมเรามี

พิสูจน์: ⊥ = (\x -> ⊥ x)โดยกทพ. เทียบเท่าและ(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)โดยการลดภายใต้แลมบ์ดา

รายงาน Haskell 2010 ส่วน 6.2 ระบุseqฟังก์ชันด้วยสองสมการ:

seq :: a -> b -> b
seq ⊥ b = ⊥
seq ab = b, ถ้า a ≠⊥

จากนั้นจะอ้างว่า "เป็นผลให้⊥ไม่เหมือนกับ \ x -> ⊥เนื่องจาก seq สามารถใช้แยกแยะพวกเขาได้"

คำถามของฉันคือนั่นเป็นผลมาจากคำจำกัดความของseq?

อาร์กิวเมนต์นัยน่าจะเป็นที่seqจะ uncomputable seq (\x -> ⊥) b = ⊥ถ้า อย่างไรก็ตามฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งseqนี้จะไม่สามารถคำนวณได้ ดูเหมือนว่าฉันseqจะเป็นคนเดียวและต่อเนื่องซึ่งทำให้มันอยู่ในขอบเขตของการคำนวณ

อัลกอริทึมที่ใช้งานเช่น seq อาจทำงานได้โดยพยายามค้นหาบางxตำแหน่งf x ≠ ⊥โดยการระบุโดเมนfเริ่มต้นด้วย⊥ แม้ว่าการดำเนินการดังกล่าวแม้ว่าจะเป็นไปได้ แต่จะมีขนดกสวยเมื่อเราต้องการทำseqpolymorphic

มีหลักฐานว่าไม่มีการคำนวณseqที่ระบุ(\x -> ⊥)ด้วย⊥ :: A -> Bหรือไม่? อีกวิธีหนึ่งมีการก่อสร้างseqที่ไม่ระบุ(\x -> ⊥)ด้วย⊥ :: A -> B?

แรกให้เรามีความชัดเจนเกี่ยวกับวิธีการseqที่แตกต่างจากλ x ⊥ :$\bot$$\lambda x . \bot$

bottom :: a
bottom = bottom

eta :: a -> b
eta x = bottom

-- This terminates
fortytwo = seq eta 42

-- This does not terminate
infinity = seq bottom 42

มันจึงเป็นความจริงที่ว่าในการทดลอง Haskell และλ x ⊥มีความแตกต่างในเชิงปฏิบัติ มันเป็นความจริงและเป็นสิ่งที่ชัดเจนมากซึ่งคำนวณได้เพราะ Haskell คำนวณ มากมายเกี่ยวกับ Haskell คุณกำลังถามเกี่ยวกับถ้อยคำเฉพาะของเอกสาร Haskell ฉันอ่านมันบอกว่าควรจะตอบสนองทั้งสองสมการได้รับ แต่ทั้งสองสมการไม่เพียงพอสำหรับความหมายของ นี่คือเหตุผลที่: ฉันจะให้คุณสองรุ่น (พิมพ์เพียง) λแคลคูลัสซึ่งเป็นคำนวณและสร้างความพึงพอใจให้สม แต่ในหนึ่งในรูปแบบ⊥และλ x $\bot$$\lambda x . \bot$seqseqseq$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$ เห็นด้วยในขณะที่พวกเขาไม่ทำ

ในรูปแบบโดเมนทฤษฎีง่ายๆที่ -expressions จะถูกตีความในโดเมนของฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง[ D → E ]เรามี⊥ = λ x ⊥ชัด ใช้โดเมน Scott ที่มีประสิทธิภาพหรือบางอย่างเพื่อทำให้ทุกอย่างสามารถคำนวณได้ มันง่ายที่จะกำหนดในรูปแบบดังกล่าว$\lambda$$[D \to E]$$\bot = \lambda x . \bot$seq

นอกจากนี้เรายังสามารถมีรูปแบบของแคลคูลัสที่แตกต่าง⊥และλ x ⊥แล้วแน่นอนη -rule ไม่สามารถถือ ตัวอย่างเช่นเราสามารถทำได้โดยการตีความฟังก์ชั่นในโดเมน[ D → E ] ⊥เช่นโดเมนพื้นที่ฟังก์ชั่นที่มีการแนบด้านล่างพิเศษ ตอนนี้⊥คือดีด้านล่างของ[ D → E ] ⊥ขณะที่λ x ⊥เป็นองค์ประกอบที่อยู่เหนือมัน แอปพลิเคชันไม่สามารถแยกแยะได้เนื่องจากทั้งคู่ประเมิน$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$$\eta$$[D \to E]_\bot$$\bot$$[D \to E]_\bot$$\lambda x . \bot$ไม่ว่าสิ่งที่คุณนำไปใช้กับ (พวกเขาจะextensionally เท่ากัน) แต่เรามีเป็นแผนที่ระหว่างโดเมนและมันก็แยกแยะด้านล่างจากองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมด$\bot$seq

โปรดทราบว่าข้อกำหนดseqที่คุณอ้างไม่ใช่ข้อกำหนดของมัน ในการอ้างอิงรายงาน Haskell "ฟังก์ชัน seq ถูกกำหนดโดยสมการ : [จากนั้นสมการที่คุณให้]"

อาร์กิวเมนต์ที่แนะนำนั้นดูเหมือนว่า seq จะไม่สามารถคำนวณได้ถ้า seq (\ x -> ⊥) b = ⊥

seqพฤติกรรมดังกล่าวจะเป็นการละเมิดข้อกำหนดของ

ที่สำคัญเนื่องจากseqpolymorphic seqไม่สามารถกำหนดในรูปของ deconstructors (การจับคู่แบบโปรเจคชั่น / รูปแบบ ฯลฯ ) ในพารามิเตอร์สองตัวใดตัวหนึ่ง

มีหลักฐานว่าไม่มี seq ที่คำนวณได้ที่ระบุ (\ x -> ⊥) กับ⊥ :: A -> B หรือไม่?

ถ้าseq' (\x -> ⊥) bมีใครคิดว่าเราสามารถใช้พารามิเตอร์ตัวแรก (ซึ่งเป็นฟังก์ชั่น) กับค่าบางส่วนจากนั้นรับออก แต่seqไม่สามารถระบุพารามิเตอร์แรกด้วยค่าฟังก์ชัน (แม้ว่าจะเป็นพารามิเตอร์สำหรับการใช้งานบางอย่างseq) เนื่องจากพารามิเตอร์ polymorphic ประเภทของพารามิเตอร์ พารามิเตอร์หมายความว่าเราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับพารามิเตอร์ นอกจากนี้seqไม่สามารถใช้นิพจน์และตัดสินใจว่า "นี่คือ⊥หรือไม่" (เทียบกับปัญหาการหยุดชะงัก) seqสามารถลองประเมินได้เท่านั้นและแยกตัวไปที่⊥

อะไรseqคือการประเมินค่าพารามิเตอร์แรก (ไม่ครบถ้วน แต่เป็น "รูปแบบปกติของส่วนหัวที่อ่อนแอ" [1], คือตัวสร้างที่อยู่ด้านบนสุด) จากนั้นส่งคืนพารามิเตอร์ตัวที่สอง ถ้าพารามิเตอร์แรกที่จะเกิดขึ้น⊥(เช่นยกเลิกการคำนวณที่ไม่ใช่) แล้วจะทำให้การประเมินที่ไม่ได้บอกเลิกและทำให้seqseq ⊥ a = ⊥

[1] ทฤษฎีบทอิสระในการปรากฏตัวของ seq - โยฮันน์, Voigtlander http://www.iai.uni-bonn.de/~jv/p76-voigtlaender.pdf

$\lambda x.\, \bot$$\lambda x.\, \bot$

Samson Abramsky พิจารณาปัญหานี้มานานแล้วและได้เขียนบทความที่ชื่อว่า " The Lazy Lambda แคลคูลัส " ดังนั้นหากคุณต้องการคำจำกัดความที่เป็นทางการนี่คือที่ที่คุณอาจมอง

พิสูจน์ว่าλ x Ω ‌ ≠Ω in เป็นหนึ่งในเป้าหมายที่อับรามสกี้วางไว้สำหรับทฤษฎีแคลคูลัสแลมบ์ดาสันหลังยาวของเขา (หน้า 2 จากกระดาษของเขาซึ่งถูกอ้างถึงโดยอูเดย์เรดดี้) เพราะพวกเขาทั้งคู่อยู่ในรูปแบบปกติที่อ่อนแอ ตามนิยาม 2.7 เขากล่าวอย่างชัดเจนว่ากทพ. ลดλ x M x → M โดยทั่วไปไม่ถูกต้อง แต่เป็นไปได้ถ้า M ยุติในทุกสภาพแวดล้อม นี่ไม่ได้หมายความว่า M จะต้องเป็นฟังก์ชันทั้งหมด - เฉพาะที่การประเมิน M ต้องยุติ (โดยการลดแลมบ์ดาเป็นต้น)

คำถามของคุณดูเหมือนจะมีแรงจูงใจจากความกังวลในทางปฏิบัติ (การปฏิบัติงาน) อย่างไรก็ตามถึงแม้ว่ารายงาน Haskell อาจจะชัดเจนน้อยกว่า แต่ฉันสงสัยว่ามันเท่ากับλ x ith ‌ ด้วย⊥จะสร้างการใช้งานที่มีประโยชน์ของ Haskell; ไม่ว่าจะเป็นการดำเนินการของ Haskell '98 หรือไม่เป็นที่ถกเถียงกัน แต่ได้รับคำพูดเป็นที่ชัดเจนว่าผู้เขียนตั้งใจให้เป็นจริง

ในที่สุด seq ของวิธีการสร้างองค์ประกอบสำหรับประเภทการป้อนข้อมูลโดยพลการ? (ฉันรู้ว่า QuickCheck กำหนดประเภทของ Arbitrary สำหรับสิ่งนั้น แต่คุณไม่ได้รับอนุญาตให้เพิ่มข้อ จำกัด ดังกล่าวที่นี่) สิ่งนี้ละเมิดพาราเมตริก

อัปเดต : ฉันไม่สามารถจัดการรหัสนี้ได้ถูกต้อง (เพราะฉันไม่ค่อยคล่องแคล่วใน Haskel) และการแก้ไขนี้ดูเหมือนว่าจะต้องใช้runSTพื้นที่ซ้อนกัน ฉันพยายามใช้เซลล์อ้างอิงเดียว (ใน ST monad) เพื่อบันทึกองค์ประกอบตามอำเภอใจดังกล่าวอ่านในภายหลังและทำให้ใช้ได้อย่างเป็นสากล Parametricity พิสูจน์ว่าbreak_parametricityไม่สามารถกำหนดด้านล่างได้ (ยกเว้นกลับด้านล่างเช่นข้อผิดพลาด) ในขณะที่มันสามารถกู้คืนองค์ประกอบที่ seq เสนอของคุณจะสร้าง

import Control.Monad.ST
import Data.STRef
import Data.Maybe

produce_maybe_a :: Maybe a
produce_maybe_a = runST $ do { cell <- newSTRef Nothing; (\x -> writeSTRef cell (Just x) >> return x) `seq` (readSTRef cell) }

break_parametricity :: a
break_parametricity = fromJust produce_maybe_a

ฉันต้องยอมรับว่าฉันคลุมเครือเล็กน้อยเกี่ยวกับการพิสูจน์แบบพาราเมทริกที่จำเป็นที่นี่ แต่การใช้พาราเมตริกแบบไม่เป็นทางการเป็นมาตรฐานใน Haskell; แต่ฉันได้เรียนรู้จากงานเขียนของ Derek Dreyer ว่าทฤษฎีที่ต้องการนั้นได้ผลอย่างรวดเร็วในช่วงหลายปีที่ผ่านมา

การแก้ไข:

• ฉันไม่แน่ใจด้วยซ้ำว่าคุณต้องการส่วนขยายเหล่านั้นซึ่งได้รับการศึกษาสำหรับภาษาที่มีลักษณะคล้าย ML, ที่จำเป็นและไม่พิมพ์หรือว่าทฤษฎีคลาสสิกของพาราเมทริกตี้ครอบคลุม Haskell
• นอกจากนี้ฉันยังพูดถึง Derek Dreyer เพียงเพราะฉันเพิ่งเจองานของ Uday Reddy - ฉันได้เรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องนี้เมื่อไม่นานมานี้จาก "แก่นแท้ของ Reynolds" (ฉันเพิ่งเริ่มอ่านวรรณคดีเรื่องพาราเมตริกเมื่อเดือนที่แล้ว)