เราสนใจที่จะประมาณค่าเพิ่มเติมสำหรับ # 3SAT เช่นรับ 3CNFในตัวแปรนับจำนวนของความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมาย (การเรียกนี้) ถึงข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งkϕnak
นี่คือผลลัพธ์พื้นฐานบางประการสำหรับสิ่งนี้:
กรณีที่ 1: k=2n−1−poly(n)
ที่นี่มีขั้นตอนวิธีการโพลีเวลาที่กำหนด: Let(n) ตอนนี้ประเมินบนอินพุตโดยพลการ (เช่นอินพุตพจนานุกรมแรกของ lexicographically ) สมมติว่าของปัจจัยการผลิตเหล่านี้ตอบสนอง\จากนั้นเรารู้ว่าเนื่องจากมีอย่างน้อยได้รับมอบหมายที่พอใจและเนื่องจากมีอย่างน้อยได้รับมอบหมายไม่พอใจ ความยาวของช่วงเวลานี้คือ2k ดังนั้นถ้าเราเอาจุดกึ่งกลางนี่อยู่ภายในm=2n−2k=poly(n)ϕmmℓϕa≥ℓℓa≤2n−(m−ℓ)m−ℓ2n−(m−ℓ)−ℓ=2k2n−1−m/2+ℓk ของคำตอบที่ถูกต้องตามที่ต้องการ
กรณีที่ 2: k=2n/poly(n)
ที่นี่เรามีขั้นตอนวิธีการโพลีเวลาสุ่ม: ประเมินที่จุดสุ่ม n Letและ n เราส่งออก\ เพื่อให้มีข้อผิดพลาดมากที่สุดเราต้องการซึ่งเทียบเท่ากับโดยขอบเขตเชอร์นอฟ ,ในขณะที่ϕmX1,⋯,Xm∈{0,1}nα=1m∑mi=1ϕ(Xi)ε=k/2n2n⋅αk
k≥|2nα−a|=2n|α−a/2n|,
|α−a/2n|≤ε.P[|α−a/2n|>ε]≤2−Ω(mε2),
E[ϕ(Xi)]=E[α]=a/2n. นี่ก็หมายความว่าถ้าเราเลือก (และให้แน่ใจว่าคือพลังของ ) แล้วด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อยข้อผิดพลาดคือที่สุด .
m=O(1/ε2)=poly(n)m20.99k
กรณีที่ 3: สำหรับk=2cn+o(n)c<1
ในกรณีนี้ปัญหาคือ # P-hard: เราจะทำการลดจาก # 3SAT รับ 3CNFกับตัวแปรPickเช่นที่ - นี้ต้อง(1-c)) Letยกเว้นขณะนี้อยู่ในตัวแปรมากกว่าเมตรถ้ามีความพึงพอใจในการมอบหมายแล้วมีมอบหมายที่น่าพอใจเนื่องจากตัวแปร "ฟรี" ของสามารถรับค่าใด ๆ ในการมอบหมายที่น่าพอใจ ตอนนี้สมมติว่าเรามีเช่นนั้นψmn≥mk<2n−m−1n=O(m/(1−c))ϕ=ψϕnmψbϕb⋅2n−mn−ma^|a^−a|≤k - นั่นคือเป็นประมาณจำนวนของการมอบหมายงานที่น่าพอใจของด้วยข้อผิดพลาดสารเติมแต่งkจากนั้น
เนื่องจากเป็นจำนวนเต็มหมายถึงการที่เราสามารถกำหนดค่าที่แน่นอนของจาก{a} ขั้นตอนวิธีการกำหนดค่าที่แน่นอนของนำไปสู่การแก้ปัญหา # P- สมบูรณ์ # 3SAT ซึ่งหมายความว่ามันเป็น # P-ยากที่จะคำนวณ{a}a^ϕk
|b−a^/2n−m|=∣∣∣a−a^2n−m∣∣∣≤k2n−m<1/2.
bba^ba^