ประมาณปัญหา # P-hard


9

พิจารณาปัญหา # P-complete # 3SAT แบบคลาสสิกคือการนับจำนวนการประเมินค่าเพื่อสร้าง 3CNF โดยมีตัวแปรน่าพอใจ ฉันสนใจในสารเติมแต่ง approximability เห็นได้ชัดว่ามีอัลกอริธึมเล็กน้อยเพื่อให้บรรลุ -error แต่ถ้าเป็นไปได้ที่จะมีอัลกอริทึมการประมาณที่มีประสิทธิภาพหรือปัญหานี้ก็คือ # P-hard ?n2n1k<2n1


ถ้าแล้วมีขั้นตอนวิธีการโพลีเวลาที่มีข้อผิดพลาดสารเติมแต่งkถ้าแล้วจะมีขั้นตอนวิธีการโพลีเวลาสุ่มด้วยข้อผิดพลาดสารเติมแต่งkเมื่อมีขนาดเล็กลงอย่างมีนัยสำคัญ (แต่ไม่ใช่ขนาดเล็กแบบพหุนาม) ฉันคาดว่ามันจะเป็น NP-hard แต่ไม่ใช่ # P-hard เนื่องจาก #P ความแข็งขึ้นอยู่กับการคำนวณที่แน่นอน k=2n1poly(n)kk=2n/poly(n)kk
โทมัส

คุณสามารถให้การอ้างอิงสำหรับการอ้างสิทธิ์สองครั้งแรกได้หรือไม่ ขออภัยฉันเป็นผู้เริ่มต้น ...
user0928

คำตอบ:


10

เราสนใจที่จะประมาณค่าเพิ่มเติมสำหรับ # 3SAT เช่นรับ 3CNFในตัวแปรนับจำนวนของความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมาย (การเรียกนี้) ถึงข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งkϕnak

นี่คือผลลัพธ์พื้นฐานบางประการสำหรับสิ่งนี้:

กรณีที่ 1: k=2n1poly(n)

ที่นี่มีขั้นตอนวิธีการโพลีเวลาที่กำหนด: Let(n) ตอนนี้ประเมินบนอินพุตโดยพลการ (เช่นอินพุตพจนานุกรมแรกของ lexicographically ) สมมติว่าของปัจจัยการผลิตเหล่านี้ตอบสนอง\จากนั้นเรารู้ว่าเนื่องจากมีอย่างน้อยได้รับมอบหมายที่พอใจและเนื่องจากมีอย่างน้อยได้รับมอบหมายไม่พอใจ ความยาวของช่วงเวลานี้คือ2k ดังนั้นถ้าเราเอาจุดกึ่งกลางนี่อยู่ภายในm=2n2k=poly(n)ϕmmϕaa2n(m)m2n(m)=2k2n1m/2+k ของคำตอบที่ถูกต้องตามที่ต้องการ

กรณีที่ 2: k=2n/poly(n)

ที่นี่เรามีขั้นตอนวิธีการโพลีเวลาสุ่ม: ประเมินที่จุดสุ่ม n Letและ n เราส่งออก\ เพื่อให้มีข้อผิดพลาดมากที่สุดเราต้องการซึ่งเทียบเท่ากับโดยขอบเขตเชอร์นอฟ ,ในขณะที่ϕmX1,,Xm{0,1}nα=1mi=1mϕ(Xi)ε=k/2n2nαk

k|2nαa|=2n|αa/2n|,
|αa/2n|ε.
P[|αa/2n|>ε]2Ω(mε2),
E[ϕ(Xi)]=E[α]=a/2n. นี่ก็หมายความว่าถ้าเราเลือก (และให้แน่ใจว่าคือพลังของ ) แล้วด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อยข้อผิดพลาดคือที่สุด .m=O(1/ε2)=poly(n)m20.99k

กรณีที่ 3: สำหรับk=2cn+o(n)c<1

ในกรณีนี้ปัญหาคือ # P-hard: เราจะทำการลดจาก # 3SAT รับ 3CNFกับตัวแปรPickเช่นที่ - นี้ต้อง(1-c)) Letยกเว้นขณะนี้อยู่ในตัวแปรมากกว่าเมตรถ้ามีความพึงพอใจในการมอบหมายแล้วมีมอบหมายที่น่าพอใจเนื่องจากตัวแปร "ฟรี" ของสามารถรับค่าใด ๆ ในการมอบหมายที่น่าพอใจ ตอนนี้สมมติว่าเรามีเช่นนั้นψmnmk<2nm1n=O(m/(1c))ϕ=ψϕnmψbϕb2nmnma^|a^a|k - นั่นคือเป็นประมาณจำนวนของการมอบหมายงานที่น่าพอใจของด้วยข้อผิดพลาดสารเติมแต่งkจากนั้น เนื่องจากเป็นจำนวนเต็มหมายถึงการที่เราสามารถกำหนดค่าที่แน่นอนของจาก{a} ขั้นตอนวิธีการกำหนดค่าที่แน่นอนของนำไปสู่การแก้ปัญหา # P- สมบูรณ์ # 3SAT ซึ่งหมายความว่ามันเป็น # P-ยากที่จะคำนวณ{a}a^ϕk

|ba^/2nm|=|aa^2nm|k2nm<1/2.
bba^ba^

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.