ความซับซ้อนแบบสอบถามแบบสุ่มของปัญหาต้นไม้ทรงจำ

กระดาษ 2546 ที่มีความสำคัญโดย Childs และคณะแนะนำ "ปัญหาต้นไม้ที่มีความทรงจำ": ปัญหาในการยอมรับการเร่งความเร็วควอนตัมแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งไม่เหมือนกับปัญหาอื่น ๆ ที่เรารู้ ในปัญหานี้เราได้รับกราฟขนาดใหญ่แบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเช่นเดียวกับภาพด้านล่างซึ่งประกอบด้วยต้นไม้ไบนารีสองต้นที่มีความลึก n ซึ่งใบไม้เชื่อมต่อกันโดยรอบสุ่ม เราจัดทำฉลากของจุดเข้าใช้งาน นอกจากนี้เรายังมี oracle ที่ระบุฉลากของจุดสุดยอดใด ๆ ให้เราทราบถึงฉลากของเพื่อนบ้าน เป้าหมายของเราคือค้นหาจุดสุดยอด EXIT (ซึ่งสามารถจดจำได้ง่ายเป็นจุดสุดยอดระดับ 2 เท่านั้นในกราฟอื่นที่ไม่ใช่จุดสุดยอดการเข้า) เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าเลเบลเป็นสตริงแบบสุ่มที่มีความยาวน่าจะเป็นดังนั้นจุดสุดยอดอื่นที่ไม่ใช่ทางเข้าจุดยอดจะถูกกำหนดโดย oracle

พระเกศาและคณะ แสดงให้เห็นว่าอัลกอริธึมการเดินควอนตัมสามารถทะลุผ่านกราฟนี้และค้นหาจุดยอด EXIT หลังจากขั้นตอนโพลี (n) ในทางตรงกันข้ามพวกเขายังแสดงให้เห็นว่าอัลกอริธึมการสุ่มแบบคลาสสิกต้องใช้ขั้นตอน exp (n) เพื่อหาจุดสุดยอด EXIT ที่มีความน่าจะเป็นสูง พวกเขากล่าวถึงขอบเขตล่างของพวกเขาว่าΩ (2 ^{n / 6} ) แต่ฉันเชื่อว่าการตรวจสอบหลักฐานที่ใกล้ชิดของพวกเขาให้ผลตอบแทนΩ (2 ^{n / 2} ) โดยสัญชาตญาณเพราะนี่คือความน่าจะเป็นอย่างยิ่งการเดินสุ่มบนกราฟ (แม้กระทั่งการหลีกเลี่ยงการเดินด้วยตนเอง ฯลฯ ) จะติดอยู่ในภูมิภาคกลางอันกว้างใหญ่เป็นระยะเวลาแบบทวีคูณ: เมื่อใดก็ตามที่วอล์คเกอร์เริ่มมุ่งหน้าไปยัง EXIT จำนวนของขอบที่มากขึ้นซึ่งชี้ออกจาก EXIT จะทำหน้าที่เป็น "แรงผลักดัน" ที่ผลักกลับไปที่ตรงกลาง

วิธีที่พวกเขาทำให้ข้อโต้แย้งเป็นทางการนั้นแสดงให้เห็นว่าจนกระทั่งถึงจุดยอด~ 2 ^{n / 2}อัลกอริธึมแบบสุ่มยังไม่พบวัฏจักรใด ๆในกราฟ: กราฟย่อยที่เหนี่ยวนำซึ่งมันเห็นเป็นเพียงต้นไม้ ข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับจุดสุดยอดออกที่อาจเป็น

ฉันสนใจที่จะตรึงความซับซ้อนของแบบสอบถามแบบสุ่มของปัญหานี้ให้แม่นยำยิ่งขึ้น คำถามของฉันคือ:

ทุกคนสามารถคิดอัลกอริธึมแบบคลาสสิคที่พบจุดยอด EXIT ในเวลาน้อยกว่า ~ 2 ⁿก้าว --- พูดว่าใน O (2 ^{n / 2} ) หรือ O (2 ^{2n / 3} ) อีกวิธีหนึ่งใครสามารถให้ขอบเขตล่างดีกว่าΩ (2 ^{n / 2} )?

(โปรดทราบว่าโดยเส้นขนานวันเกิดมันไม่ยากที่จะหาวัฏจักรในกราฟหลังจากขั้นตอนO (2 ^{n / 2} ) คำถามคือว่าใครสามารถใช้วงจรเพื่อรับเบาะแสใด ๆ เกี่ยวกับจุดยอดของ EXIT)

ถ้าใครสามารถปรับปรุงขอบเขตล่างที่ผ่านมาΩ (2 ^{n / 2} ), จากความรู้ของฉัน, นี่จะเป็นตัวอย่างแรกที่พิสูจน์ได้ของปัญหากล่องดำที่มีการเร่งควอนตัมเชิงเลขชนวน, ซึ่งความซับซ้อนของแบบสอบถามแบบสุ่มมากกว่า randomN . (โดยที่ N ~ 2 ⁿคือขนาดของปัญหา)

อัปเดต:ฉันได้เรียนรู้จาก Andrew Childs ว่าในหมายเหตุนี้ Fenner และ Zhang ปรับปรุงขอบเขตล่างแบบสุ่มสำหรับต้นไม้ที่อยู่ในความทรงจำเป็นΩ (2 ^{n / 3} ) หากพวกเขายินดีที่จะยอมรับความน่าจะเป็นที่ประสบความสำเร็จคงที่ (มากกว่าเล็ก) ฉันเชื่อว่าพวกเขาสามารถปรับปรุงขอบเขตต่อไปเป็น to (2 ^{n / 2} )

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าฉันมีอัลกอริทึมที่กำหนดไว้ซึ่งพบทางออกใน oracle call $O(n2^{n/2})$

ก่อนอื่นค้นหาป้ายกำกับสำหรับจุดยอดทั้งหมดของระยะทางจากทางเข้า สิ่งนี้ต้องใช้แบบสอบถามจากนั้นเริ่มจากทางเข้าและเดินขั้นตอนเพื่อไปยังโหนดระยะทางจากทางเข้า เราจะพยายามไปให้ถึงทางออกจากโหนดนี้ $n/2$ $O(2^{n/2})$ $n+1$ $X$ $n+1$

เรามีสองตัวเลือกว่าจะไปที่ไหนจากและเราต้องการเลือกทางออกที่ใกล้กว่า การทำเช่นนี้เลือกหนึ่งในตัวเลือกที่พลที่เดินทางมาถึงโหนดYจากนั้นสำรวจทั้งหมดวิธีการเดินขั้นตอนจากYหากหนึ่งในนั้นให้ฉลากของระยะทางจากทางเข้าเรารู้ว่าการไปจากเป็นเป็นตัวเลือกที่ผิด มิฉะนั้นเป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง ดังนั้นใน $X$ $Y$ $O(2^{n/2})$ $n/2$ $Y$ $n/2$ $X$ $Y$ $Y$ เราพบโหนดของระยะทางจากทางเข้า $O(2^{n/2})$ $X_2$ $n+2$

เราสามารถดำเนินการต่อด้วยวิธีนี้ เพื่อหาโหนดของระยะทางจากทางเข้าเราเริ่มต้นที่และเดินสองขั้นตอนโดยพลการ จากนั้นเราสำรวจตัวเลือกทั้งหมดสำหรับการเดินขั้นตอนเพิ่มเติม (ในขณะที่ไม่เดินย้อนกลับ) และตรวจสอบว่ามีวิธีใดระยะทางจากทางเข้า สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากว่าขั้นตอนแรกที่เราเดินจากนั้นผิด $n+3$ $X_2$ $n/2$ $n/2$ $X_2$

การไปยังทางออกต้องใช้ครั้งนี้เพื่อให้มีการเรียกใช้ oracle ทั้งหมดนอกจากนี้อาจจะแปลกใจว่าอัลกอริทึมนี้กำหนดขึ้น $n$ $O(n2^{n/2})$

แก้ไข:เพียงชี้แจงจะได้รับจากเพื่อเราเดินขั้นตอนโดยพลแล้วเรียกใช้การค้นหาของความลึกรวมของขั้นตอน หากขั้นตอนแรกนำห่างจากทางออกแล้วทั้งหมดเป็นครั้งแรกทำตามขั้นตอนไม่ได้และเราจึงพบป้ายชื่อของระยะไกลจากทางเข้า ซึ่งหมายความว่าขั้นตอนพอเพียงสำหรับการกำหนดขั้นตอนเดียวต่อไปที่จะใช้เวลาจาก $X_t$ $X_{t+1}$ $t$ $n/2$ $t+2^{n/2}$ $t$ $n/2$ $t+2^{n/2}$ $X_t$ .

— Shalev
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจ เพื่อหา

คุณจะทำให้

โดยพลการไม่ไกลจาก

แล้ว

ขั้นตอนเพิ่มเติม? นี่จะไม่ให้

ขั้นตอนซึ่งมากเกินไปหรือไม่

X_{t + 1}

$X_{t+1}$

t

$t$

X_{t}

$X_t$

n / 2

$n/2$

2^{t} 2^{n / 2}

$2^t2^{n/2}$

— domotorp

ฉันสองความสับสนของ domotorp มันไม่ใช่กรณีที่ยิ่งคุณเข้าใกล้ EXIT มากเท่าไหร่เส้นทางที่คุณจะต้องเดินทางไปถึงหนึ่งใน

จุดที่คุณเริ่มต้นตอนนี้ ถึงกระนั้นคุณอาจใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าเส้นทางที่เริ่มเข้าใกล้ EXIT นั้นมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนตัวไปทางซ้ายตรงกลางจนกว่าจะถึงจุดสูงสุด (นี่จะเพิ่มการสุ่มให้อัลกอริทึมของคุณสักหน่อย)

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Scott Aaronson

ลองคิดดูสิถ้าเราใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าจากจุดสุดยอดในครึ่งขวาของกราฟคุณมีโอกาส 1/2 ที่จะเลือกทิศทางที่จะนำคุณกลับมาที่ศูนย์อย่างไม่รู้จักจบสิ้น นั่นอาจเพียงพอที่จะทำให้เรา n / 2 อยู่ห่างจากจุดสุดยอดของ EXIT ซึ่งจะทำให้เราสามารถค้นหาจุดสุดยอดของ EXIT ได้ด้วยข้อความค้นหาเพิ่มเติม

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Scott Aaronson

X_{t + 1}

$X_{t+1}$

t

$t$

X_{t}

$X_t$

t

$t$

2^{t}

$2^t$

n / 2

$n/2$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

t + 2^{n / 2}

$t+2^{n/2}$

t

$t$

t

$t$

t

$t$

แนวคิดของการเริ่มต้นค้นหาจากปลายทั้งสองและนำไปสู่การปรับปรุง sqrt () เหนืออัลกอริทึมไร้เดียงสาเป็นที่รู้จักกันในชื่อการค้นหาแบบสองทิศทางและได้รับการค้นพบใหม่อย่างอิสระหลายครั้งในบริบทต่างๆเช่นการวางแผนเส้นทางในแผนที่ ข้อมูลอ้างอิงดั้งเดิมน่าจะเป็น: GB Dantzig การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและส่วนขยาย สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 1962.

— Alex Lopez-Ortiz