ไม่

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรากำหนด${\bf PPAD}$เช่นนั้นแทนที่จะเป็นวงจรทัวริงทัวริงของเครื่อง / polysize, logspace ทัวริงเครื่องหรือวงจร${\bf AC^0}$เข้ารหัสปัญหา

เมื่อเร็ว ๆ นี้ให้อัลกอริทึมที่เร็วขึ้นสำหรับความน่าเชื่อถือของวงจรสำหรับวงจรเล็ก ๆกลายเป็นเรื่องสำคัญดังนั้นฉันจึงสงสัยว่าเกิดอะไรขึ้นกับ${\bf PPAD}$รุ่นที่ จำกัด

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ใช่{} (ที่นี่และข้างล่างฉันสมมุติว่าถูกกำหนดให้เป็นคลาสที่เหมือนกันแน่นอนด้วย nonuniformเราเพิ่งได้ )A C 0 P A D = P P A D A C 0 A C 0 P P A D / p o l $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$$\ac$$\ac$$\mathrm{PPAD/poly}$

แนวคิดพื้นฐานค่อนข้างง่าย:สามารถทำหนึ่งขั้นตอนของการคำนวณของทัวริงดังนั้นเราจึงสามารถจำลองขอบที่คำนวณได้แบบพหุนามหนึ่งครั้งโดยเส้นที่มีความยาวหลายส่วนของ ac- ขอบที่คำนวณได้ ด้วยการขยายแนวคิดเพิ่มเติมเราสามารถจำลองขอบที่คำนวณได้ในเวลาโพลีกับ oracle PPAD นั่นคือ PPAD ถูกปิดภายใต้การลดทอนทัวริง เรื่องนี้จะได้รับในจุมพิตและจอห์นสันA C 0 A C$\ac$$\ac$

มีคำจำกัดความที่เทียบเท่าของ PPAD ในวรรณคดีที่แตกต่างกันในรายละเอียดต่าง ๆ ดังนั้นให้ฉันแก้ไขที่นี่เพื่อความชัดเจน รุ่น NP ค้นหาปัญหาอยู่ใน PPAD ถ้ามีพหุนามและฟังก์ชั่นพหุนามเวลา ,และที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ สำหรับแต่ละอินพุตของความยาว ,และแสดงกราฟกำกับโดยตรงโดยไม่มีการวนตัวเองโดยที่และทุกโหนดมี in- การศึกษาระดับปริญญาและออกจากองศาที่มากที่สุด1การเป็นตัวแทนดังกล่าวนั้นถ้าS p ( n ) f ( x , u ) g ( x , u ) h ( x , u ) x n f g G x = ( V x , E x ) V x = { 0 , 1 } p ( n ) 1 ( u , v ) ∈ E x f ( $S$$p(n)$$f(x,u)$$g(x,u)$$h(x,u)$$x$$n$$f$$g$$G_x=(V_x,E_x)$$V_x=\{0,1\}^{p(n)}$$1$$(u,v)\in E_x$จากนั้นและ ; ถ้ามีออกองศา , ; และถ้ามีอยู่ในระดับ , u, U ) = V กรัม( x , โวลต์) = U U 0 F ( x , U ) = U U 0 กรัม( x , U ) = $f(x,u)=v$$g(x,v)=u$$u$$0$$f(x,u)=u$$u$$0$$g(x,u)=u$

โหนดเป็นแหล่งที่มา (กล่าวคือมีระดับและนอกระดับ ) ถ้าเป็นแหล่งที่มาหรืออ่างใด ๆ (ในระดับออกองศา ) อื่น ๆ กว่าแล้วเป็นวิธีการแก้(x)0 p ( n ) ∈ V x 0 1 คุณ∈ V x 1 0 0 p ( n ) h ( x , u ) S ( x $0^{p(n)}\in V_x$$0$$1$$u\in V_x$$1$$0$$0^{p(n)}$$h(x,u)$$S(x)$

เราสามารถกำหนดในทำนองเดียวกันเว้นแต่เราต้องการที่จะอยู่ใน 0A C 0 P A D f,g,h F A C$\ac\mathrm{PAD}$$f,g,h$$\mathrm{FAC}^0$

ฉันจะเพิกเฉยการก่อสร้างเพื่อความเรียบง่าย (ไม่ยากที่จะแสดงให้เห็นว่าเราสามารถฉายภาพได้ ac- คำนวณได้)h A C$h$$\ac$

เพื่อพิจารณาปัญหา PPADกำหนดโดยและ , และแก้ไขปัญหาเครื่องคอมพิวเตอร์ทัวริงและในเวลา(n) สำหรับใด ๆเรากำหนดกราฟกำกับซึ่งจุดยอดเป็นลำดับของแบบฟอร์มต่อไปนี้:S f g f g q ( n ) x G ′ x = ( V ′ x , E ′ x$S$$f$$g$$f$$g$$q(n)$$x$$G'_x=(V'_x,E'_x)$

• ( 0 , u , c 1 , … , c k ) u ∈ V x 0 ≤ k ≤ q ( n ) c 1 , … , c k k f ( x , u $(0,u,c_1,\dots,c_k)$โดยที่ , , และเป็นรูปแบบแรกในการคำนวณมึง)$u\in V_x$$0\le k\le q(n)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

• ( 0 , u , c 1 , … , c q ( n ) , v , d 1 , … , d k ) u , v ∈ V x 0 ≤ k ≤ q ( n ) f ( x , u ) = v c 1 , … , c q ( n ) f ( $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ , โดยที่ , , ,คือการคำนวณแบบเต็มของและเป็นขั้นตอนแรกในการคำนวณโวลต์)$u,v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$f(x,u)=v$$c_1,\dots,c_{q(n)}$, u ) d 1 , … , d k k g ( x , v $f(x,u)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• ( 1 , v , d 1 , … , d k ) 0 p ( n ) ≠ v ∈ V x 0 ≤ k ≤ q ( n ) d 1 , … , d k k g ( x , v $(1,v,d_1,\dots,d_k)$โดยที่ ,และเป็นคนแรกกำหนดค่าในการคำนวณของV)$0^{p(n)}\ne v\in V_x$$0\le k\le q(n)$$d_1,\dots,d_k$$k$$g(x,v)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$โดยที่ , , , ,คือการคำนวณของและเป็นคนแรกขั้นตอนในการคำนวณของU)$u,v\in V_x$$v\ne0^{p(n)}$$0\le k\le q(n)$$g(x,v)=u$$d_1,\dots,d_{q(n)}$$g(x,v)$$c_1,\dots,c_k$$k$$f(x,u)$

$E'_x$ประกอบด้วยขอบในของชนิดต่อไปนี้:$V'_x\times V'_x$

• $(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$

• $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ถ้าและ (กล่าวคือหรือคือ จุดสุดยอดที่แยก)$f(u)=v$$g(v)=u$$(u,v)\in E_x$$u=v$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$

• $(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$

• $(1,u)\to(0,u)$

อย่างเป็นทางการปล่อยให้เป็นพหุนาม จำกัด ขอบเขตความยาวของการเป็นตัวแทนไบนารีของลำดับทั้งหมดข้างต้น (เช่นที่เราสามารถขยายหรือตัดลำดับที่สั้นลงและแยกองค์ประกอบของพวกเขาด้วย -functions); เราใส่และเราปล่อยให้ทุกจุดยกเว้นลำดับที่กล่าวถึงข้างต้นแยก$r(n)$$\ac$$V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$

มันง่ายที่จะเห็นว่าฟังก์ชั่น ,แทนคือ ac- คำนวณได้: โดยเฉพาะเราสามารถทดสอบในไม่ว่าจะเป็นเป็นการคำนวณบางส่วนที่ถูกต้องของเราสามารถคำนวณจากและเราสามารถดึงค่าของจาก(n)}$f'$$g'$$G'_x$$\ac$$\ac$$c_1,\dots,c_k$$f(x,u)$$c_{k+1}$$c_k$$f(x,u)$$c_{q(n)}$

sinks ในคือโหนดของแบบฟอร์มโดยที่เป็น sink ในG_xเช่นเดียวกันแหล่งที่มาคือโดยที่คือแหล่งที่มาในยกเว้นที่อยู่ในแบบพิเศษ กรณีเราได้ตัดสายในช่วงต้นและที่มาที่สอดคล้องกันในเป็นเพียง(n)}) เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าการเข้ารหัสของลำดับจะทำในลักษณะที่(n)}$G'_x$$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$$u$$G_x$$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$$v$$G_x$$v=0^{p(n)}$$G'_x$$(0,0^{p(n)})$$(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$

ดังนั้นและนิยามปัญหา , และเราสามารถดึงสารละลายไปยังจากโซลูชันไปยังโดย -functionซึ่งผลลัพธ์ องค์ประกอบที่สองของลำดับ$f'$$g'$$\ac\mathrm{PAD}$$S'$$S(x)$$S'(x)$$\ac$$h'$