semityfinite programming (SDP) zero เมื่อใด

10

ฉันไม่สามารถค้นหาลักษณะเฉพาะที่แม่นยำของการหายไปของช่องว่างระหว่างคู่ SDP ได้ หรือ "คู่ที่แข็งแกร่ง" ถือเมื่อไหร่?

ตัวอย่างเช่นเมื่อมีคนไปและกลับระหว่าง Lasserre และ SOS SDP ในหลักการที่หนึ่งมีช่องว่างเป็นคู่ อย่างไรก็ตามอย่างใดดูเหมือนว่าจะมีเหตุผล "เล็กน้อย" ทำไมช่องว่างนี้ไม่ได้มี

เงื่อนไขของ Slater นั้นเพียงพอ แต่ไม่จำเป็นและมันใช้กับโปรแกรมนูนทุกตัว ฉันหวังว่าสำหรับ SDP โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่แข็งแกร่งกว่าอาจเป็นจริง ฉันยินดีที่จะเห็นตัวอย่างชัดเจนของการใช้เงื่อนไขของ Slaterเพื่อพิสูจน์การหายตัวไปของช่องว่างคู่

— gradstudent
แหล่งที่มา

10

มีทฤษฎีที่ซับซ้อนมากขึ้นของความเป็นคู่สำหรับ SDP ที่แน่นอน: ไม่มี 'เงื่อนไขพิเศษ' เช่นสภาพของผู้ตำหนิ นี่คือสาเหตุที่Ramana (สำหรับสิ่งที่เกี่ยวข้องกับ SOS อีกครั้งโปรดดู[KS12] ) ตามจริงแล้วฉันไม่เคยพยายามที่จะเข้าใจเอกสารเหล่านี้และจะมีความสุขถ้ามีคนใบ้ให้ฉัน

สิ่งหนึ่งที่เป็นผลมาจากงานนี้คือปัญหาของการทดสอบว่า SDP ที่ให้นั้นมีความเป็นไปได้หรือไม่หากอยู่ใน coNP (อย่างไรก็ตามฉันคิดว่าผู้เชี่ยวชาญคาดหวังว่าปัญหาไม่ได้อยู่ในขอบเขตสูงสุดที่รู้จักกันดีคือ PSPACE)

— Ryan O'Donnell
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับคำตอบที่เป็นประโยชน์มาก! ขอผมดูหน่อยสิ! (เป็นเรื่องบังเอิญที่ในช่วงหลายสัปดาห์ที่ผ่านมาฉันพยายามที่จะทำงานผ่านบทความของคุณกับ Daniel Kane ในขอบเขตที่ลึกลงไปของวงจรสุทธิมันเป็นเอกสารที่ให้ความรู้! ฉันสงสัยว่าสิ่งที่คุณทำเพื่อ LTF นั้นเกิดขึ้นอีกหรือไม่ การเปิดใช้งานจริงอย่างเช่น ReLU.)

— นักเรียนชั้นประถมศึกษา

9

สำหรับ SDP ในรูปแบบมาตรฐาน สภาพตำหนิช่วยลดการดำรงอยู่ของแน่นอนบวกที่ตรงกับข้อ จำกัด ของเลียนแบบb_i ฉันเดาว่านี่เป็นสิ่งที่น่าพึงพอใจสำหรับ SDP ใด ๆ ที่คุณสามารถหาได้จากเอกสารการเพิ่มประสิทธิภาพ / การประมาณค่าแบบ combinatorial ตัวอย่างเช่นสำหรับ Goemans-Williamson Max-Cut SDP ข้อ จำกัด ความเป็นไปได้คือและ เมทริกซ์เอกลักษณ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ในเชิงบวกแน่นอน

min {t r (C^{T} X) : t r (A_{1}^{T} X) = b_{1}, \dots, t r (A_{m}^{T} X) = b_{m}, X ⪰ 0},

$\min\{ \mathrm{tr}(C^T X): \mathrm{tr}(A_1^T X) = b_1, \ldots, \mathrm{tr}(A_m^T X) = b_m, X \succeq 0\},$

X ≻ 0

$X\succ 0$

t r (A_{i}^{T} X) = b_{i}

$\mathrm{tr}(A_i^T X) = b_i$

{X : X_{1, 1} = 1, \dots, X_{n, n} = 1, X ⪰ 0}

$\{X: X_{1,1} = 1, \ldots, X_{n,n} = 1, X\succeq 0\}$

เท่าที่ Lasserre / Sum of Squares hierarchy Lasserre แสดงให้เห็นว่าถ้าเป็นไปได้ที่กำหนดโดยพหุนามมีข้อ จำกัด ภายในจุดนั้นไม่มีช่องว่างคู่ คุณสามารถหาเงื่อนไขที่อ่อนแอลงในเอกสารนี้

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากสำหรับการอ้างอิง! ดังนั้นสภาพของ Slater ที่ถูกเปลี่ยนสภาพก็เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ SDP เช่นกัน? หรือมีเงื่อนไขที่จำเป็นอื่น ๆ ? (ในไม่ช้าฉันจะดูเอกสารที่คุณอ้างถึง แต่ฉันสงสัยว่าคุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "เงื่อนไขที่อ่อนแอ" คุณหมายถึงเงื่อนไขในบทความที่สองยังคงเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอและไม่จำเป็น แต่จะง่ายกว่าสภาพที่เพียงพอในกระดาษแผ่นแรก?)

— นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่

นี่เป็นเงื่อนไขสเลเตอร์มาตรฐานฉันมีเฉพาะ SDPs ซึ่งทำให้เรื่องต่าง ๆ ง่ายขึ้นเนื่องจากข้อ จำกัด ทั้งหมดเป็นเลียนแบบยกเว้นข้อ จำกัด ของ PSD เงื่อนไขนี้ไม่จำเป็น ฉันไม่คิดว่าเงื่อนไข SoS เป็นสิ่งจำเป็น แต่อย่างใดอย่างหนึ่ง "ที่อ่อนแอกว่า" ไม่ต้องการการมีอยู่ของจุดตกแต่งภายในดังนั้นจึงอาจง่ายต่อการตรวจสอบ

— Sasho Nikolov

ขอบคุณ! ดังนั้นไม่ทราบเงื่อนไขที่จำเป็น?

— นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่

1

มีลักษณะนิสัยที่ดี (ฉันคิดว่า .... ) เมื่อมีความเป็นคู่ที่แข็งแกร่งหรือล้มเหลวสำหรับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ {\ em all}

เราบอกว่าระบบ semidefinite {\ em}

$(P_{SD}) \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

จะประพฤติไม่ดีถ้านี่เป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ SDP $c$

$\sup c^T x \,\, s.t. \,\, \sum_{i=1}^m x_i A_i \preceq B$

มีค่าที่เหมาะสมที่สุด แต่ SDP คู่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่มีค่าเท่ากันนั่นคือความเป็นคู่ที่แข็งแกร่งล้มเหลวในบาง $c.$

$(P_{SD})$ มีพฤติกรรมที่ดีหากไม่ประพฤติตนไม่ดี นั่นคือสำหรับทุกฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ที่เป็นคู่ที่แข็งแกร่งถือ (เช่นสำหรับทุก ๆซึ่ง SDP แรกมีค่าที่ดีที่สุด จำกัด , คู่มีวิธีการแก้ปัญหาที่มีค่าเดียวกัน) $c$

แน่นอนว่าถ้าสภาพของ Slater มีอยู่แล้วก็ดี แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง $(P_{SD})$

https://arxiv.org/pdf/1709.02423.pdf

กระดาษจะออกมาเร็ว ๆ นี้ในรีวิว SIAM ฉันหวังว่าผู้คนจะชอบ :)

— district9
แหล่งที่มา