ปัญหาง่าย ๆ กับรุ่นนับยาก

20

วิกิพีเดียมีตัวอย่างของปัญหาที่รุ่นนับยากขณะที่รุ่นตัดสินใจง่าย สิ่งเหล่านี้บางอย่างกำลังนับการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบการนับจำนวนวิธีแก้ปัญหาเป็น -SAT และจำนวนการเรียงลำดับทอพอโลยี $2$

มีคลาสที่สำคัญอื่น ๆ อีกไหม (พูดตัวอย่างในโปรยต้นไม้ทฤษฎีจำนวนและอื่น ๆ )? มีบทสรุปของปัญหาดังกล่าวหรือไม่?

มีปัญหาหลายประเภทใน $P$ ซึ่งมี $\#P$ ฮาร์ดเวอร์ชันการนับ

มีรุ่นของปัญหาธรรมชาติในที่เข้าใจอย่างสมบูรณ์หรือเรียบง่ายกว่าการจับคู่ bipartite ทั่วไปที่สมบูรณ์ (โปรดระบุรายละเอียดเกี่ยวกับสาเหตุที่ง่ายกว่าเช่นการพิสูจน์ในชั้นต่ำสุดของลำดับชั้นเป็นต้น) ในพื้นที่อื่น (เช่นทฤษฎีจำนวน, โปรย) หรืออย่างน้อยสำหรับกราฟสองฝ่ายอย่างง่ายโดยเฉพาะซึ่งรุ่นนับเป็น P - ฮาร์ด? $P$ $NC$ $\#P$

ตัวอย่างจาก lattices, เรขาคณิตระดับประถมนับจุดทฤษฎีจำนวนจะได้รับการชื่นชม

— T ....
แหล่งที่มา

1

สมมุติว่าคุณต้องการปัญหาทางธรรมชาติเนื่องจาก [โดยการลดจาก #SAT ปัญหาที่ # P-hard ภายใต้ [การลดจำนวนที่ตอบด้วยหมายเลขที่ไม่ใช่ศูนย์] มีปัญหาในการตัดสินใจของ HP] และ [โดยฟังก์ชันเอกลักษณ์ {x: x คือ 1+ (number_of_variables_ (

ϕ

$\phi$ )) หรือ [a ศูนย์ตามด้วยการมอบหมายที่น่าพอใจถึง

ϕ

$\phi$ ]} คือ # P-hard ภายใต้การลดอันดับถัดไปที่เข้มงวดมากที่สุด แต่เวอร์ชันการตัดสินใจนั้นสำคัญมาก]

@RickyDemer งานเขียนของคุณสั้นกระชับ ใช่ฉันต้องการปัญหาธรรมชาติ

— ....

เราไม่เข้าใจการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกราฟสองฝ่ายจริง ๆ หรือไม่? นอกจากนี้ยังมีอัลกอริทึม RNC2 สำหรับปัญหา

— Sasho Nikolov

1

ใช่เราทำไม่ได้ เราไม่มีอัลกอริทึม

กำหนดขึ้นมา

N C

$NC$

— ....

8

นี่เป็นตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริง (ฉันอาจจะลำเอียง)

ให้ชุดที่ได้รับคำสั่งบางส่วน:
ก) มันมีการขยายเชิงเส้น (เช่นการสั่งซื้อทั้งหมดเข้ากันได้กับการสั่งซื้อบางส่วน)? เบ็ดเตล็ด: โพสต์ทั้งหมดมีส่วนขยายเชิงเส้นอย่างน้อยหนึ่ง
b) มันมีกี่อัน? # P-complete เพื่อพิจารณาสิ่งนี้ (Brightwell และ Winkler, การนับส่วนขยายเชิงเส้น , คำสั่ง, 1991)
c) เราสามารถสร้างพวกมันทั้งหมดได้อย่างรวดเร็วหรือไม่? ใช่ในเวลาที่ตัดจำหน่ายอย่างต่อเนื่อง (Pruesse และ Ruskey การสร้างส่วนขยายเชิงเส้นอย่างรวดเร็ว SIAM J Comp 1994)

— Gara Pruesse
แหล่งที่มา

3

+1: ฉันยอมรับว่ามันเป็นตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริง (กำลังคิดที่จะโพสต์ด้วยตัวเองแล้วเห็นคำตอบนี้) อีกทั้งเกรงว่าใครบางคนพูดว่า "สิ่งที่เกี่ยวกับการตัดสินใจว่ามีอย่างน้อยหนึ่งส่วนขยายเชิงเส้นอื่น ๆ " ปัญหาที่ยังเป็นเรื่องเล็กน้อยโดยสิ้นเชิง: คำสั่งซื้อทั้งหมดมี 1 ส่วนขยาย posets อื่น ๆ ทั้งหมดมี> 1 เกิดขึ้นถ้ามีองค์ประกอบที่หาที่เปรียบไม่ได้หนึ่งคู่) ในความเป็นจริงมีการจัดหมวดหมู่ที่สมบูรณ์ของ posets ที่มีส่วนขยายเชิงเส้นสูงสุด 7 รายการ (ดูHanamura-Iwata, IPL 2011 )

— Joshua Grochow

นี่เป็นตัวอย่างที่ดีแน่นอน มีปัญหา "เรียบง่าย" มากขึ้นอย่างไรก็ตามการเพลิดเพลินกับคุณสมบัติแบบเดียวกัน (ง่ายกว่าในแง่ที่ว่าคุณสมบัติเหล่านี้แทบจะไม่สำคัญที่จะพิสูจน์) การนับจำนวนของการมอบหมายที่น่าพอใจของ DNF: a) ทุก ๆ DNF ที่ไม่ว่างเปล่าเป็นที่น่าพอใจ b) การนับเป็น # P-complete (ลดลงถึง #SAT) c) การแจงนับสามารถทำได้ด้วยความล่าช้าแบบพหุนาม คิดเกี่ยวกับมัน)

— holf

ฉันสนใจที่จะทราบว่า DNF ที่ได้รับมอบหมายสามารถสร้างขึ้นได้ในเวลาตัดจำหน่ายอย่างต่อเนื่อง ในเวลาและกระดาษของฉันกับ Frank ในปี 1994 ส่วนขยายเชิงเส้นเป็นวัตถุ "ที่นิยามตามธรรมชาติ" ชิ้นแรกซึ่งการนับนั้นยากและการสร้างนั้นเร็วเท่าที่จะได้รับเมื่อตัดจำหน่าย (เช่น CAT) โซลูชัน DNF ดูเหมือนจะเป็นตัวเลือกที่น่าจะเป็นเช่นนี้ ไม่มีใครมีการอ้างอิง?

— Gara Pruesse

@GaraPruesse ฉันไม่มีการอ้างอิงสำหรับสิ่งนั้น สำหรับ monotone-DNF เทียบเท่ากับการแจกแจงชุดการกดไฮเปอร์กราฟและเทคนิคบางอย่างสำหรับการปรับปรุงการหน่วงเวลาจะถูกนำเสนอใน "อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำไฮเปอร์กราฟขนาดใหญ่เป็นสองเท่า" โดย Keisuke Murakami และ Takeaki Uno dl.acm.org/citation.cfm? id เราควรตรวจสอบว่ามันให้กสท สำหรับ DNF ปรีชาญาณของฉันคือถ้ามีประโยคเล็ก ๆ คุณก็มีทางออกเพียงพอสำหรับการบังคับเดรัจฉาน มิฉะนั้นคุณจะมีเพียงประโยคคำสั่งขนาดใหญ่และมีแนวโน้มที่จะขัดแย้งกันและอาจใช้ในการออกแบบอัลกอริทึม CAT

— holf

17

ตัวอย่างหนึ่งที่น่าสนใจจากทฤษฎีตัวเลขคือการแสดงจำนวนเต็มบวกเป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม สิ่งนี้สามารถทำได้ค่อนข้างง่ายในเวลาพหุนามแบบสุ่ม (ดูบทความปี 1986 ของฉันกับ Rabin ที่https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713 ) และถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องตอนนี้ยังมีพหุนามแบบกำหนดเวลา วิธีการแก้. แต่นับจำนวนของการแสดงดังกล่าวจะช่วยให้คุณคำนวณ sum-of-หารทำงานซึ่งเป็นแบบสุ่มเทียบเท่าพหุนามเวลาเพื่อแฟnดังนั้นปัญหาการนับอาจเป็นเรื่องยาก $\sigma(n)$ $n$

— Jeffrey Shallit
แหล่งที่มา

"ดังนั้นปัญหาการนับอาจยาก" คุณหมายถึง

hard? คุณมีหลักฐานไหม

# P

$\#P$

— ....

โดย "อาจยาก" ฉันหมายถึงมันเป็นการสุ่มพหุนามเทียบเท่ากับตัวประกอบจำนวนเต็ม

— Jeffrey Shallit

3

ดังนั้นเพื่อให้ชัดเจน: ปัญหาไม่ใช่ # P-hard (เว้นแต่ว่านรกทั้งหมดจะหลวม)

— Emil Jeřábekสนับสนุนโมนิก้า

@JeffreyShallit มีตัวอย่าง

หรือไม่

# P

$\#P$

— T ....

ผมคิดว่าต่อไปนี้เป็นตัวอย่างได้ง่าย: "ไม่

มีมากขึ้นหารที่เหมาะสมกว่า

" กับ "กี่ตัวหารที่เหมาะสมมากกว่า

ไม่

มี?" เวอร์ชันการตัดสินใจเทียบเท่ากับ "

คือคอมโพสิต" ดังนั้นจึงอยู่ใน

แต่เวอร์ชันการนับไม่ได้ดูง่ายไปกว่าแฟคตอริ่ง

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— Dan Brumleve

17

ตัวอย่างที่ดีและเรียบง่ายจากทฤษฎีกราฟคือการนับจำนวนของวงจร Eularian ในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

เวอร์ชันการตัดสินใจเป็นเรื่องง่าย (... และปัญหาSeven Bridges of Königsbergไม่มีวิธีแก้ไข :-)

รุ่นนับเป็น # P-ยาก: เกรแฮมอาร์ Brightwell, ปีเตอร์เคลอร์: นับวงจร Eulerian คือ # ALENEX / ANALCO 2005: 259-262

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

กระดาษของ "วิธีการของเราคือการแสดงให้เห็นว่าด้วยความช่วยเหลือของ oracle ซึ่งนับวงจร Eulerian, เครื่องทัวริงสามารถ ... และ" เราต้องการคำนวณจำนวน

ของ Eulerian orientations ของ

"การแบ่งย่อหน้า" เราสร้างสำหรับไพร์ม

แปลก ๆกราฟ

ซึ่งมีจำนวนของ orbs เทียบเท่ากับ

modulo

"และ" เราทำซ้ำขั้นตอนนี้สำหรับทุก p ที่สำคัญระหว่าง

และ

โดยที่

และ ... "แนะนำอย่างแน่นอนว่าพวกเขาให้การลดแบบขนานเท่านั้นมากกว่าแม้แต่

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

ลด -query

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasi คือการตัดสินใจวงจร Eulerian ใน NC?

— ....

1

@AJ คุณเพียงแค่ต้องคำนวณความเท่าเทียมกันของระดับของแต่ละโหนดและตรวจสอบพวกเขาทั้งหมดแม้ ดูเหมือนว่าจะอยู่ใน NC อย่างแน่นอน

— Sasho Nikolov

4

คุณสามารถใช้ความเท่าเทียมกันของ

บิตใช้

ขนาดสูตรหรือวงจรขนาดเชิงเส้นของความลึก

)

ดังนั้นหากกราฟของคุณถูกกำหนดให้เป็นเมทริกซ์คำคุณศัพท์ให้คำนวณพาริตีของแต่ละแถวลบล้างและหาและ และ

บิตที่สามารถทำได้ด้วยสูตรขนาดเส้นรวมดังนั้นคุณจะได้รับ

ขนาดบูลีนสูตรและ

ขนาดวงจรบูลีนของความลึก

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$ (บนพื้นฐาน AND-OR) ดังนั้นปัญหาที่เกิดขึ้นในความเป็นจริงใน

1

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— Sasho Nikolov

2

ในความเป็นจริงที่เป็นปัญหาใน

]

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— Emil Jeřábekสนับสนุน Monica

6

เกี่ยวกับคำถามที่สองของคุณปัญหาเช่น Monotone-2-SAT (การตัดสินใจว่าสูตร CNF มีความพึงพอใจมากที่สุดโดยมี 2 ตัวอักษรเชิงบวกมากที่สุดตามข้อ) เป็นเรื่องเล็กน้อย (คุณต้องตรวจสอบว่าสูตรของคุณว่างเปล่าหรือไม่) แต่ ปัญหาการนับคือ # P-hard แม้แต่การประมาณจำนวนการมอบหมายที่น่าพอใจของสูตรดังกล่าวก็เป็นเรื่องยาก (ดูความแข็งของการให้เหตุผลโดยประมาณ, Dan Roth, ปัญญาประดิษฐ์, 1996)

— holf
แหล่งที่มา

5

จาก[Kayal, CCC 2009] : การประเมินผลการลบชื่อพหุนามอย่างชัดเจนในบางประเด็น

จากนามธรรม: `` นี่เป็นปัญหาการคำนวณตามธรรมชาติเพียงอย่างเดียวที่กำหนดการมีอยู่ของวัตถุ (พหุนามการทำลายล้างในกรณีของเรา) สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่การคำนวณที่แท้จริงของวัตถุนั้นพิสูจน์ได้ยาก ''

ให้เป็นสนามและเป็นชุดของ -many คุณวุฒิปริญญาพหุนาม -variate กว่า -annihilating พหุนามมีที่ใด ๆ (ที่ไม่น่ารำคาญ) เซนต์ $\mathbb{F}$ $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

การตัดสินใจเป็นเรื่องง่าย: กว่าข้อมูลใด ๆ และสำหรับการใด ๆพหุนาม - ถ้ามี annihilating เช่นสำหรับ . ((ผ่านอาร์กิวเมนต์การนับขนาด)) $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

นับเป็นเรื่องยากที่:กำหนดล้มเหลว-EVALเป็นปัญหาการทำงานของการประเมินพหุนาม annihilating ในบางจุด:ป.ร. ให้นายกและชุดที่มีน้อยที่สุด monic annihilating $p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ เอาท์พุทจำนวนเต็ม $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

ANNIHILATING-EVALคือ -hard นอกจากนี้ annihilating พหุนามไม่ได้มีการแสดงวงจรขนาดเล็กเว้นแต่พังทลายลงมา $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— Daniel Apon
แหล่งที่มา

1

อย่างเช่น Marzio ของหลักฐานของกระดาษที่เรียกร้อง 15.2 ดูเหมือนจะบ่งบอกว่าพวกเขาเพียง แต่แสดงความแข็งภายใต้การลดขนานมากกว่าแม้ภายใต้

ลดคำค้นหา

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

ทรัพยากรที่ฉันสามารถหาได้ทั้งหมดดูเหมือนจะไม่เห็นด้วยกับคำจำกัดความ ให้ AE เป็นปัญหาที่คำตอบของคุณพูดถึง ( ... ต่อ)

1

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$ TCชุดของ DLOGTIME

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$

1

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ โรงเรียนสารพัดช่าง

1

More generally, i.e. for arbitrary

k

$k$ (even less than

n

$n$ ), decision is easy because of the Jacobian criterion, right? (Note that the Jacobian criterion only works in characteristic >

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$ ; in small positive characteristic, there is a modified Jacobian criterion due to Mittman-Saxena-Scheiblechner, but that apparently only leads to an

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$ algorithm for decision...)

— Joshua Grochow