มีภาษา NP- หรือ P-Complete สมมาตรสูงหรือไม่

มี , ภาษา NP- หรือ P-complete ซึ่งมีกลุ่มสมมาตรบางกลุ่ม (หรือgroupoidแต่จากนั้นคำถามอัลกอริทึมก็เปิดขึ้น) การแสดง (ในเวลาพหุนาม) ในเซตมีวงโคจรอยู่ไม่กี่เช่นนั่นคือสำหรับขนาดใหญ่พอที่และบางและเช่นนั้นสามารถสร้างได้อย่างมีประสิทธิภาพ ?$L$$G_n$$L_n = \{ l \in L \mid |l| = n \}$$|L_n / G_n| < n^c$$n$$c$$G_n$$n$

ประเด็นตรงนี้คือหากพบภาษา / กลุ่มเช่นนี้และหากพบรูปแบบปกติภายใต้การกระทำของกลุ่มเวลาพหุนามในจากนั้นหนึ่งสามารถลดLโดยP T I M Eลดลงถึง a ภาษากระจัดกระจายโดยการคำนวณรูปแบบปกติสำหรับNใดก็ตามซึ่งหมายความว่าP = N PหรือL = P$\mathrm{FP}$$L$$\mathrm{PTIME}$$N$$\mathrm{P = NP}$$\mathrm{L = P}$ขึ้นอยู่กับว่าคุณเลือกภาษา NP- หรือ P-complete ตามลำดับ ดังนั้นดูเหมือนว่าจะไม่มีกลุ่มดังกล่าวที่มีวงโคจรเบาบางหรือการคำนวณรูปแบบปกตินั้นยากสำหรับกลุ่มดังกล่าวทั้งหมดหรือผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้จะคงไว้ซึ่งฉันคิดว่าพวกเราส่วนใหญ่ไม่เชื่อ นอกจากนี้ก็จะดูเหมือนว่าถ้าใครสามารถคำนวณความสมดุลมากกว่าวงโคจรแทนในรูปแบบปกติหนึ่งยังคงสามารถทำเช่นนี้ nonuniformly ใน Y หวังว่าบางคนจะมีความคิดในเรื่องนี้$\mathrm{P/poly}$

สำหรับ NP ดูเหมือนว่าจะสร้างยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณสามารถสุ่มตัวอย่างองค์ประกอบที่ใกล้เคียงจากกลุ่มของคุณซึ่งเป็นจริงสำหรับวิธีการสร้างกลุ่มที่เป็นธรรมชาติถ้าภาษา NP-complete มีการดำเนินการกลุ่มแบบเวลาที่มีวงโคจรไม่กี่วง PH จะยุบลง เพราะด้วยสมมติฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับ sampleability มาตรฐานโปรโตคอลสำหรับกราฟมอร์ฟยังใช้งานได้สำหรับการทดสอบว่าสองสายอยู่ในเดียวกันG n -orbit จากนั้นเราจะมีN P ⊆ c o A M / p o l y = c o N P /$\mathsf{coAM}$$G_n$เพื่อให้ยุบ PH เพื่อ Z P P N P ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงการยุบ PH การก่อสร้างใด ๆ สำหรับ NP จะต้องให้กลุ่มไม่มีตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพเกือบเท่ากัน$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coAM/poly} = \mathsf{coNP/poly}$$\mathsf{ZPP}^{\mathsf{NP}}$

สัญชาตญาณของฉันคือภาษา NP-complete ของประเภทนี้จะทำให้เกิดการล่มสลายของลำดับชั้นพหุนามเหมือนหนึ่งในทฤษฎีบท Karp - Lipton

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณขึ้นไปถึงระดับที่สองของลำดับชั้นพหุนามคุณสามารถใช้พลังของลำดับชั้นในการเดาความเท่าเทียมกันระหว่างองค์ประกอบกลุ่มที่กำหนดและตัวแทนบางส่วนของชั้นเทียบเท่าและจากนั้นคุณกลับไป Karp - กรณีลิปตันที่ความจริงที่ว่าคุณมีอินพุตแบบอสมมาตรจำนวนมากทำให้คุณอยู่ใน P / poly

(ผลลัพธ์ควรตรงกับคำตอบของ Joshua Grochow แต่ไม่มีข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับการสุ่มตัวอย่าง)