สัดส่วน VC ของชื่อพหุนามมากกว่าเซมินารีเขตร้อนหรือไม่

ในคำถามนี้ฉันสนใจ vs. /ปัญหาสำหรับเขตร้อนและB P P P P o L $\mathbf{BPP}$$\mathbf{P}$$\mathrm{poly}$ ( สูงสุด, + ) ( นาที, + $(\max,+)$$(\min,+)$วงจร คำถามนี้ลดการแสดงขอบเขตด้านบนสำหรับมิติ VC ของพหุนามในช่วงรอบเขตร้อน (ดูทฤษฎีบทที่ 2 ด้านล่าง)

ให้เป็น semiring ศูนย์รูปแบบลำดับของมีหลายชื่อในเป็นส่วนหนึ่งที่มีอยู่และดังที่ทุก , IFFS นั่นคือกราฟของว่ามีหลายชื่อเหล่านั้นกับต้องตีจุด1} ("Zero-pattern" เนื่องจากเงื่อนไขสามารถถูกแทนที่ด้วย$R$$(f_1,\ldots,f_m)$$m$$R[x_1,\ldots,x_n]$$S\subseteq \{1,\ldots,m\}$$x\in R^n$$y\in R$$i=1,\ldots,m$$f_i(x)= y$$i\in S$$f_i$$i\in S$$(x,y)\in R^{n+1}$$f_i(x)=y$$f_i(x)-y=0$ ) อนุญาต$Z(m)$= จำนวนที่เป็นไปสูงสุดของศูนย์รูปแบบของการลำดับของพหุนามของระดับที่มากที่สุดdดังนั้นเมตร มิติ Vapnik-Chervonenkisปริญญามีหลายชื่อคือ \} $m$$d$$0\leq Z(m)\leq 2^m$$d$$VC(n,d) := \max\{m\colon Z(m)=2^m\}$

หมายเหตุ:โดยปกติมิติ VC ถูกกำหนดไว้สำหรับตระกูลของเซตเป็น cardinality ที่ใหญ่ที่สุดของชุดดังกล่าวว่า S เพื่อให้พอดีกับเฟรมนี้เราสามารถเชื่อมโยงกับทุกคู่เซตของพหุนามทั้งหมดขององศาซึ่งถือ ดังนั้นมิติ VC ของตระกูลของชุดดังกล่าวทั้งหมดคือ${\cal F}$$|S|$$S$$\{F\cap S\colon F\in{\cal F}\}=2^S$$(x,y)\in R^{n+1}$$F_{x,y}$$f$$\leq d$$f(x)=y$${\cal F}$$F_{x,y}$$VC(n,d)$d)

ขอบเขตบนเล็กน้อยบนคือ(เราต้องการเวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างน้อยจะมีรูปแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ) แต่มันไม่มีประโยชน์ในเซมินนิ่งที่ไม่มีที่สิ้นสุด จะมีขอบเขตบนที่ดีในมิติ VC เราต้องขอบเขตบนที่ดีใน(เมตร) บนฟิลด์จะรู้จักขอบเขตดังกล่าว$m=VC(n,d)$$m\leq n\log |R|$$2^m$$x\in R^n$$2^m$$Z(m)$

ทฤษฎีบทที่ 1: รอบ ๆสนาม เรามีZ (m) \ leq \ binom {md + n} {n} $R$$Z(m)\leq \binom{md+n}{n}$

ขอบเขตบนคล้ายกันก่อนหน้านี้พิสูจน์โดย Milnor , Heintzและ Warren ; หลักฐานของพวกเขาใช้เทคนิคหนักจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจริง ในทางตรงกันข้ามหลักฐานพิสูจน์ครึ่งหน้าของทฤษฎีบท 1 โดยRonyai, Babai และ Ganapathy (ซึ่งเราให้ไว้ด้านล่าง) เป็นการประยุกต์ใช้พีชคณิตเชิงเส้นอย่างง่าย

โดยการมองหาขนาดเล็ก 's ความพึงพอใจเราได้ที่ ถือกว่าใด ๆฟิลด์ ในมุมมองของกับ / , สำคัญที่นี่คือมิติเป็นเพียงลอการิทึมในการศึกษาระดับปริญญาdนี่เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากวงจรของขนาดพหุนามสามารถคำนวณพหุนามในระดับเอกซ์โพเนนเชียลและเนื่องจากผลของ Haussler ในการเรียนรู้ PAC (ข้อพิสูจน์ 2 ในหน้า 114 ของบทความนี้ ) ให้ผลต่อไปนี้ เพื่อส่งออกค่าของพวกเขา) $m$$\binom{md+n}{n} < 2^m$$VC(n,d)=O(n\log d)$$\mathbf{BPP}$$\mathbf{P}$$\mathrm{poly}$$d$

ทฤษฎีบทที่ 2: เก็บไว้สำหรับวงจรเหนือ semiringใด ๆที่ เป็นพหุนามในและเท่านั้น $\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$$R$$VC(n,d)$$n$$\log d$

ดูที่นี่เกี่ยวกับผลลัพธ์ของ Haussler แสดงถึงทฤษฎีบท 2

โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยทฤษฎีบทที่ 1ถือครองฟิลด์ใด ๆ (ที่น่าสนใจอยู่ที่นี่เพียงกรณีของอนันต์สาขา: สำหรับคนที่ จำกัด ข้อโต้แย้งง่ายมากทำงาน: Chernoff ผูกพันแล้วไม่ทำงาน.) แต่สิ่งที่เกี่ยวกับ (อนันต์) semirings ที่มีไม่สาขาหรือแม้กระทั่งไม่ได้แหวน? แรงบันดาลใจจากการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกฉันส่วนใหญ่สนใจในsemirings เขตร้อนและแต่คนอื่น ๆ "ไม่ใช่ฟิลด์" (ไม่มีที่สิ้นสุด) semirings น่าสนใจเช่นกัน โปรดทราบว่าในช่วง semiring พหุนาม ด้วย และ$\mathbf{BPP}\subseteq \mathbf{P}/\mathrm{poly}$$(\max,+)$$(\min,+)$$(\max,+)$$f(x)=\sum_{a\in A} c_a\prod_{i=1}^n x_i^{a_i}$$A\subseteq\mathbb{N}$$c_a\in \mathbb{R}$เปลี่ยนเป็นปัญหาการขยายสูงสุด ; ระดับของคือ (ตามธรรมเนียม) สูงสุดสำหรับทั้งหมด$f(x)=\max_{a\in A}\ \{c_a+a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\}$$f$$a_1+\cdots+a_n$$a\in A$

คำถาม:เป็นมิติ VC ขององศาชื่อพหุนามมากกว่าพหุนามเขตร้อนพหุนามใน$\leq d$$n\log d$หรือไม่

ฉันยอมรับว่านี่อาจเป็นคำถามที่ค่อนข้างยากที่จะคาดหวังคำตอบอย่างรวดเร็ว: พีชคณิตเขตร้อนนั้นค่อนข้าง "บ้า" แต่บางคนอาจมีความคิดบางอย่างว่าทำไม (ถ้ามี) ชื่อพหุนามแบบเขตร้อนสามารถสร้างรูปแบบที่ไม่มีศูนย์ได้มากกว่าแบบพหุนามจริง หรือทำไมพวกเขา "ไม่ควร" หรือการอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง

หรือบางทีหลักฐานของ Babai, Ronyai และ Ganapathy (ด้านล่าง) อาจเป็น "บิด" อย่างใดอย่างหนึ่งในการทำงานกับรอบเขตร้อน หรือมากกว่าเซมินนิ่งอื่น ๆ (ซึ่งไม่ใช่ฟิลด์)

บทพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1: สมมติว่าลำดับมีรูปแบบเป็นศูนย์ที่แตกต่างกันและปล่อยให้เป็นพยานในรูปแบบศูนย์แบบนี้ ให้จะเป็นรูปแบบศูนย์ร่วมเป็นสักขีพยานโดย -th เวกเตอร์และพิจารณาพหุนามS_i} เราอ้างว่าชื่อพหุนามเหล่านี้มีความเป็นอิสระในเชิงเส้นตรงเหนือสนามของเรา การอ้างสิทธิ์นี้ทำให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทเสร็จสมบูรณ์เนื่องจากแต่ละมีระดับมากที่สุดและมิติของพื้นที่พหุนามของระดับที่มากที่สุดคือ$(f_1,\ldots,f_m)$$p$$v_1,\ldots,v_p\in R^n$$S_i=\{k\colon f_k(v_i)\neq 0\}$$i$$v_i$$g_i:=\prod_{k\in S_i}f_k$$g_i$$D:=md$$D$$\binom{n+D}{D}$. เพื่อพิสูจน์การอ้างสิทธิ์ก็เพียงพอที่จะทราบว่า g i ( v j ) ≠ 0ถ้าหาก S i ⊆ S jเท่านั้น สมมติว่ามีความสัมพันธ์เชิงเส้นที่ไม่ใช่เชิงเส้น λ 1 g ฉัน ( x ) + ⋯ + λ p g p ( x ) = 0มีอยู่ ให้ jเป็นตัวห้อยเช่นว่า | S J | มีน้อยที่สุดในหมู่ S iด้วย λ $g_i(v_j)\neq 0$$S_i\subseteq S_j$$\lambda_1 g_i(x)+\cdots+\lambda_p g_p(x)=0$$j$$|S_j|$$S_i$≠ 0 แทนที่ v jในความสัมพันธ์ ในขณะที่ λ j g j ( v j ) ≠ 0เรามี λ ฉันg ฉัน ( v j ) = 0สำหรับทุกฉัน≠ jความขัดแย้ง $\lambda_i\neq 0$$v_j$$\lambda_jg_j(v_j)\neq 0$$\lambda_ig_i(v_j)=0$$i\neq j$$\Box$

ฉันได้ตระหนักถึงว่าคำตอบของคำถามของฉันเป็น - ใช่: มิติ VC ของการศึกษาระดับปริญญา$\leq d$พหุนามใน$n$ตัวแปรมากกว่า semiring เขตร้อนใด ๆ ที่เป็นที่มากที่สุดครั้งคง$n^2\log(n+d)$ ) สามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทที่ 1 ด้านบน ดู รายละเอียดที่นี่ ดังนั้นBPP $\subseteq$ P / poly จึงมีไว้สำหรับวงจรเขตร้อนด้วยเช่นกันสำหรับอัลกอริธึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกที่ "บริสุทธิ์"

---

NB (เพิ่ม 25.06.2019) ในระหว่างนี้ฉันได้แก้ไขปัญหาทั้งหมดในบทความนี้แล้ว ในลักษณะทั่วไปซึ่งฉันไม่ได้ฝันถึงตอนแรก คดีเขตร้อนอยู่ที่นี่เป็นกรณีที่พิเศษมาก ๆ และยิ่งอยากรู้อยากเห็น: เพียงแค่การรวมกันที่เหมาะสมของผลลัพธ์ที่ผู้เขียนคนอื่นรู้

มีอะไรอีกที่ต้องทำในทิศทางนี้ (BPP กับ P / poly) นอกจากนี้การลดลงของขนาดของวงจรกำหนดผล (คำถามที่น่าสนใจในตัวเอง)