ปัญหาธรรมชาติในทฤษฎีการคำนวณคืออะไร

ในกระดาษของ Stephen Cook เกี่ยวกับปัญหา P vs NP, [1] เขาระบุสิ่งต่อไปนี้ [2]:

วิทยานิพนธ์ความเป็นไปได้: ปัญหาธรรมชาติมีอัลกอริทึมที่เป็นไปได้ถ้ามันมีอัลกอริทึมเวลาพหุนาม

คำถามของฉันคือสิ่งที่เขา (หรือโดยทั่วไปจริงๆสิ่งที่ไม่) สิ่งที่หมายถึงโดย " ปัญหาธรรมชาติ "? การพูดถึงปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติดูเหมือนจะเป็นเรื่องปกติ แต่ฉันยังไม่พบคำจำกัดความ ฉันดูเหมือนจะหายไปบางสิ่งบางอย่าง นี่คือคำตอบที่เป็นไปได้สองสามข้อที่ฉันคิดเกี่ยวกับ:

คำตอบที่เป็นไปได้แรก

Cook กล่าวในเอกสารของเขาว่าต้องอธิบาย "ธรรมชาติ" เขากล่าวว่า "โดยทั่วไปเราจะไม่พิจารณาคลาสที่มีพารามิเตอร์เป็นธรรมชาติเช่นชุดของกราฟที่ฝังอยู่บนพื้นผิวของพืชสกุลk , k > 1" [3] ทีนี้ก่อนอื่นดูเหมือนว่าจะพูดอะไร " ธรรมชาติ "ไม่ได้เป็นมากกว่าสิ่งที่มันเป็น; แต่ถ้าทุกปัญหาเป็นเรื่องธรรมดาหรือไม่และสิ่งนี้อธิบายปัญหาทั้งหมดที่ไม่เป็นธรรมชาติได้ทั้งหมดนี่ก็เพียงพอที่จะนิยามธรรมชาติ (แต่ผู้คัดเลือก "โดยทั่วไป" แนะนำว่านี่ไม่ใช่คำอธิบายที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับปัญหาที่ไม่เป็นธรรมชาติ)

ฉันคิดว่า "คลาสที่มีพารามิเตอร์" หมายถึงการแก้ไขพารามิเตอร์ได้ง่ายซึ่งเราหมายถึงปัญหาที่มีปัจจัยการผลิตที่เป็นไปได้ที่ถูก จำกัด เช่นความเป็นไปได้ที่จะถูกบังคับ ดังนั้นเราจึงสามารถแก้ปัญหาเป้ [4] ด้วยอัลกอริทึมพหุนามเวลาถ้าเราแก้ไขน้ำหนักที่เป้สามารถดำเนินการ (แต่โดยทั่วไปไม่มีวิธีแก้ปัญหาในพหุนามเวลา) ด้วยสิ่งนี้ในมือฉันคิดว่ามันเป็น "ธรรมชาติ" หมายความว่าปัญหาไม่ได้ถูก จำกัด ("ดุ้งดิ้ง" ถูก จำกัด ?) ในวิธีที่บังคับอัลกอริธึมเวลาพหุนามออกจากปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

เหตุผลที่ฉันไม่แน่ใจว่าวิธีที่ถูกต้องในการทำความเข้าใจแนวคิดเรื่อง "ธรรมชาติ" ของ Cook คือฉันไม่แน่ใจอย่างแน่นอนว่าคุณสมบัติ "ธรรมชาติ" กำลังทำอะไรที่นี่ ถ้าคุณปล่อย "ธรรมชาติ" คุณจะได้ "ปัญหามีอัลกอริธึมที่เป็นไปได้ถ้ามันมีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม" แต่สิ่งนี้ดูสมเหตุสมผลอย่างสมบูรณ์: ปัญหาเครื่องหลังไม่มีอัลกอริธึมที่เป็นไปได้เพราะมันไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนาม เป้ - กับ - คงที่ - paramater - tractability มีอัลกอริทึมที่เป็นไปได้เพราะมันมีอัลกอริทึมเวลาพหุนาม บัญชีทั้งสองดูเหมือนจะสอดคล้องกับแนวคิดของปัญหาที่เกิดขึ้นกับอัลกอริธึมที่เป็นไปได้

ฉันคิดว่านี่อาจเป็นแนวทางที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจความหมายของ Cook เพราะ Cook หันกลับมาและนิยามมัน ฉันยังคิดว่าความคิดทางธรรมชาตินี้ถูกจับโดยคำถาม StackExchange นี้ [5}

แต่ยังมีอีก

คำตอบที่เป็นไปได้ที่สอง

วิลเลียม Gasarch ในกระดาษของเขา "การจำแนกปัญหาในการเรียนที่ซับซ้อน" [6] เขาบอกว่าเขาจะนำ "การอภิปรายอย่างแท้จริงว่าเป็นปัญหาธรรมชาติ" [7] ที่ท้ายกระดาษ [8] มีการแลกเปลี่ยนในรูปแบบการสนทนาโดยที่ผู้พูดคนหนึ่งพูดว่า:

"อะไรที่ทำให้เกิดปัญหาตามธรรมชาติ? ในอีกด้านหนึ่งฉันไม่ได้สร้างปัญหาเพื่อจุดประสงค์เดียวที่ไม่ได้อยู่ใน P. ดังนั้นมันจึงไม่ใช่ปัญหาที่โง่เง่า

ดังนั้นดูเหมือนว่าสิ่งที่ Gasarch กำลังพูดคือถ้าเรามีปัญหาที่ไม่ได้สร้างขึ้นโดยเจตนาเพื่อให้เราสามารถพูดได้ว่ามันไม่ได้อยู่ใน P แล้วมันเป็นธรรมชาติ ดังนั้นเมื่อมีการตีความอย่างสร้างสรรค์ดูเหมือนว่า Gasarch กำลังพูดอะไรบางอย่างที่สอดคล้องกับ Cook: ในแง่หนึ่ง Gasarch บอกว่าไม่ได้ถูกสร้างขึ้นด้วยเป้าหมายเดียวที่ไม่ได้อยู่ใน P ทำให้เกิดปัญหาไม่เป็นธรรมชาติ และในทางกลับกันคุกบอกว่าปัญหานั้นเป็นเรื่องธรรมดาถ้ามันไม่มีพารามิเตอร์ แต่ความสอดคล้องเพียงไม่ได้ให้คำจำกัดความ

คำตอบที่เป็นไปได้ที่สาม

ในรายการ Wikipedia สำหรับ "ปัญหาที่ถูกวางอย่างดี" [9], คำจำกัดความของแนวคิดของ Jacques Hadamard เกี่ยวกับปัญหาที่มีการโพสต์ถูกนำเสนอจากนั้นจะระบุว่าปัญหาที่ถูกวางไว้อย่างดี "อาจถือได้ว่าเป็นปัญหา 'ธรรมชาติ' ในนั้นมีกระบวนการทางกายภาพที่จำลองโดยปัญหาเหล่านี้ " ดังนั้นปัญหาเป็นเรื่องปกติถ้าหากมันเป็นแบบจำลองกระบวนการทางกายภาพ?

คุณสมบัติของ Hadamard ตามที่กล่าวไว้ใน Wikipedia คือ (i) วิธีแก้ปัญหาที่มีอยู่ (ii) วิธีแก้ปัญหานั้นมีลักษณะเฉพาะและ (iii) พฤติกรรมของโซลูชันเปลี่ยนไปอย่างต่อเนื่องโดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น ดูเหมือนว่าจะแตกต่างจากคำจำกัดความอีกสองคำ ความรู้สึกของฉันคือ "ธรรมชาติ" ไม่ได้ถูกใช้ในลักษณะเดียวกัน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราเห็นด้วยกับการตีความว่าปัญหานั้นเป็นเรื่องธรรมชาติถ้าหากมันเป็นแบบจำลองกระบวนการทางกายภาพ) แต่ฉันต้องการรวมเพราะฉันวิ่งเข้าไป ในการวิจัยของฉันเกี่ยวกับคำถามนี้และมีจุดติดต่อ

ดังนั้นคำถามของฉันคือปัญหาธรรมชาติคืออะไร คำตอบใด ๆ เหล่านี้หรือบางส่วนของพวกเขาถูกต้องหรือไม่ มีคำตอบอื่น ๆ ที่ฉันขาดหายไปหรือไม่? ขอบคุณ.

1. "คำแถลงปัญหา" ปี 2549 โพสต์ออนไลน์ที่คณิตศาสตร์ดิน; หัวข้อ: "The P vs NP Problem", http://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf
2. พี 3
3. พี 4
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#0.2F1_Knapsack_Problem
5. ปัญหาทางธรรมชาติที่รู้จักยากที่สุดใน P ฉันคิดว่าปัญหาธรรมชาติตามคำอธิบายนี้ แต่ไม่ จำกัด ว่าkจะใหญ่ที่สุด
6. https://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/classcomp.pdf
7. พี 2
8. พี 47-8 มาตรา 25
9. https://en.wikipedia.org/wiki/Well-posed_problem

เพื่อความชัดเจนมันไม่ได้หมายความว่าจะเป็นทางการ มันไม่ใช่ทฤษฎี แต่เป็นการสังเกตเกี่ยวกับโลก - มันก็โอเคถ้า "ธรรมชาติ" เป็นอัตนัยที่นี่ สำหรับการเปรียบเทียบถ้ามีคนบอกว่า "ความแตกต่างคือกลไกขณะที่การรวมเป็นศิลปะ" พวกเขาไม่ได้เชิญให้คุณสร้าง "กลศาสตร์" และ "ศิลปะ" อย่างเป็นทางการและพิสูจน์คำแถลงพวกเขากำลังพยายามถ่ายทอดมุมมองทั่วไป ดังนั้นคุณอาจจะพลาดป่าสักเล็กน้อยสำหรับต้นไม้ที่นี่ [เชิงอรรถ]

ประเด็นของผู้เขียนคืออะไร

ลองทำตามคำแนะนำของคุณและวางคำว่า "ธรรมชาติ":

วิทยานิพนธ์ความเป็นไปได้ (ร่างแรก): ปัญหามีอัลกอริทึมที่เป็นไปได้ถ้ามันมีอัลกอริทึมเวลาพหุนาม

$n^{1000}$$n^{1000}$

ดังนั้นผู้เขียนจึงรู้สึกว่าวิทยานิพนธ์ยังค่อนข้างแม่นยำเกี่ยวกับปัญหาที่เราต้องการแก้ไขในโลกแห่งความเป็นจริงและปัญหาอื่น ๆ ที่พบ "ตามธรรมชาติ" ในหลักสูตรชีวิตที่ไม่มีความซับซ้อน - ทฤษฎี ดังนั้นเขาจึงคิดว่าเราจะเรียกปัญหาเหล่านั้นว่า "เป็นธรรมชาติ" และทบทวนความเป็นไปได้ในการทำวิทยานิพนธ์

อะไรคือและไม่เป็นธรรมชาติ

แน่นอนว่าปัญหาที่เกิดขึ้นโดยทั่วไปในทางปฏิบัติจะได้รับการพิจารณาตามธรรมชาติ: เส้นทางที่สั้นที่สุดการเรียงลำดับแก้ไขระยะทางค้นหารูทพนักงานขายเดินทางเครื่องหลัง

แน่นอนปัญหาที่คิดขึ้นมาและถูกนิยามโดยเฉพาะเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ซับซ้อนและการอ้างอิงคลาสเฉพาะนั้นไม่ใช่เรื่องธรรมดา ตัวอย่างเช่น "สามารถสร้างสตริงนี้ได้โดยเครื่องทัวริงในสถานะ k ในเวลา n"

บางสิ่งมีความชัดเจนน้อยกว่าเช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น แต่ฉันจะไม่กังวลมากเกินไป ศึกษาอัลกอริธึมและปัญหาความซับซ้อนมากมายและดูว่าคุณเห็นด้วยกับแนวคิดทั่วไปหรือไม่หรือคุณพบตัวอย่างที่คุณคิดว่าขัดแย้ง

(ในกรณีใด ๆ ฉันคิดว่าเส้นทาง "ปัญหาที่ถูกวางอย่างดี" เป็นวิธีที่ผิดอย่างแน่นอนตามที่คุณสงสัย)

[เชิงอรรถ] ฉันไม่ได้ตั้งใจที่จะกีดกันคุณจากการพยายามทำให้เป็นทางการเพียงแค่คิดว่าคุณตั้งใจจะทำ

มันลวก ๆ ประมาณว่าการกำหนดปัญหาอาจเป็นวงกลมหรือไม่:

• ปัญหาเทียมเป็นปัญหาที่สร้างขึ้นเพื่อเติมเกณฑ์ระดับของมัน

• ปัญหาตามธรรมชาติไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิธีการก่อสร้างเพื่อเติมเกณฑ์การเรียน

การสร้าง Ladner นั้นเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นNP-Intermediateหากมี NPI อยู่

$P \subsetneq NP$

ข้อควรระวัง: ขอให้โชคดีในการพิสูจน์ผู้สมัครดังกล่าว นี้อาจดูเหมือนเป็นวิธีการที่สามารถเข้าถึงได้ แต่ธรรมชาติได้มีการพัฒนาอุปสรรคบางอย่างเกี่ยวกับหลักฐาน