หลักฐานที่แสดงว่าคูณเมทริกซ์ไม่ได้อยู่ใน

เป็นที่เชื่อกันโดยทั่วไปว่าทุก$\epsilon > 0$มันเป็นไปได้ที่จะคูณสอง$n \times n$เมทริกซ์ใน$O(n^{2 + \epsilon})$เวลา การอภิปรายเป็นที่นี่

ฉันได้ถามบางคนที่คุ้นเคยกับการวิจัยมากขึ้นว่าพวกเขาคิดว่ามี$k>0$เป็นอิสระจาก$n$เช่นนั้นมีอัลกอริทึม$O(n^2 \log^k n)$สำหรับการคูณเมทริกซ์และพวกเขาดูเหมือนจะมีสัญชาตญาณว่า คำตอบคือ "ไม่" แต่ไม่สามารถอธิบายได้ว่าทำไม นั่นคือพวกเขาเชื่อว่าเราสามารถทำได้ในเวลา$O(n^{2.001})$แต่ไม่ใช่$O(n^2 \log^{100} n)$เวลา

มีเหตุผลอะไรที่จะเชื่อว่าไม่มี$O(n^2 \log^k n)$ขั้นตอนวิธีการที่คงที่$k>0$ ?

มีอัลกอริทึมสำหรับการคูณเมทริกซ์$N \times N^{0.172}$กับเมทริกซ์$N^{0.172} \times N$ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$ข้อมูลประจำตัวหลักที่ใช้มันมาจากทองแดงกระดาษ "คูณอย่างรวดเร็วของการฝึกอบรมสี่เหลี่ยม" แต่คำอธิบายสำหรับเหตุผลที่จะนำไปสู่$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$แทนที่จะเป็น$N^{2 + \epsilon}$อยู่ในภาคผนวกของวิลเลียมส์กระดาษ "อัลกอริทึมใหม่ และขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับวงจรที่มีเกตเชิงเส้นประตู "

สิ่งนี้ใช้งานได้เพียงเพราะตัวตนของ Coppersmith มีโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่างที่คุณสามารถใช้ประโยชน์ได้และอัลกอริทึม MM ล่าสุดดูเหมือนจะไม่มีโครงสร้างนี้ ที่กล่าวว่าผมไม่แน่ใจว่าทำไมไม่สามารถหวังว่าจะขยายวิธีการนี้จะ$N \times N \times N$คูณเมทริกซ์

$A_\epsilon$$O(n^{2+\epsilon})$$O(n^2 poly(\log n))$

$O(n^2 poly(\log n))$

Josh Alman แสดงให้เห็นถึงผลการแข่งขันที่ต่ำกว่าของ MM ซึ่งได้รับรางวัลผลงานนักเรียนดีเด่น CCC 2019! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf