ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดของ MSOL บนกราฟของ cliquewidth ที่ถูก จำกัด โดยมีค่าความเป็นเชิงซ้อน

CMSOL คือการนับ Monadic Second Order Logic นั่นคือตรรกะของกราฟที่โดเมนคือเซตของจุดยอดและขอบมีเพรดิเคตสำหรับการติดยอดจุดยอดและอุบัติการณ์ของขอบ - จุดยอดมีปริมาณเหนือขอบจุดยอดชุดขอบและจุดยอด ชุดและมีกริยาซึ่งเป็นการแสดงออกไม่ว่าจะเป็นขนาดของคือโมดูโลพี $\textrm{Card}_{n,p}(S)$ $S$ $n$ $p$

ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของ Courcelleระบุว่าหากเป็นสมบัติของกราฟที่แสดงออกได้ใน CMSOL ดังนั้นสำหรับกราฟของ treewidth ทุก ๆที่ส่วนใหญ่สามารถตัดสินใจได้ในเวลาเชิงเส้นว่าถือได้หรือไม่โดยมีการสลายตัวของในอินพุต ทฤษฎีบทรุ่นต่อมาได้กำหนดให้มีการสลายตัวของต้นไม้ในอินพุต (เพราะสามารถคำนวณด้วยอัลกอริธึมของ Bodlaender ) และอนุญาตให้ปรับให้เหมาะสมแทนการตัดสินใจเท่านั้น เช่นได้รับสูตร MSOL เรายังสามารถคำนวณเซตที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดซึ่งตรงกับ $\Pi$ $G$ $k$ $\Pi$ $G$ $\phi(S)$ $S$ ) $\phi(S)$

คำถามของฉันเกี่ยวข้องกับการปรับทฤษฎีบทของ Courcelle ให้เป็นกราฟของ cliquewidth ที่มีขอบเขต มีทฤษฎีบทคล้าย ๆ กันที่บอกว่าถ้าคุณมี MSOL1 ซึ่งอนุญาตให้มีการหาปริมาณของจุดยอด, ขอบ, เซตจุดยอด แต่ไม่ใช่ชุดขอบแล้วให้กราฟของ cliquewidth (กับ clique-expression), สำหรับคงที่ทุกอันสามารถตัดสินใจได้ เส้นเวลาไม่ว่าจะเป็นกราฟตอบสนองบางสูตร MSOL1 ; การอ้างอิงทั้งหมดที่ฉันได้เห็นชี้ไปที่ $G$ $k$ $k$ $G$ $\phi$

ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดของเวลาเชิงเส้นบนกราฟของความกว้างของกลุ่มที่ถูก จำกัดโดย Courcelle, Makowsky และ Rotics, ทฤษฎีของระบบคอมพิวเตอร์, 2000

ฉันพยายามอ่านกระดาษ แต่มันไม่ได้บรรจุอยู่ในตัวเองตามคำจำกัดความที่แน่นอนของ MSOL1 และมันยากที่จะอ่าน ฉันมีคำถามสองข้อเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นไปได้ที่จะเพิ่มประสิทธิภาพใน FPT โดยกำหนดพารามิเตอร์ตามความกว้างของกราฟหากการแสดงออกของกลุ่มได้รับในอินพุต

$\textrm{Card}_{n,p}(S)$
$S$ $\phi(S)$

สำหรับคำถามทั้งสองนี้ฉันอยากรู้ว่าการอ้างอิงที่ถูกต้องคืออะไรเมื่ออ้างถึงผลลัพธ์เหล่านี้ ขอบคุณล่วงหน้า!

— Bart Jansen
แหล่งที่มา

ฉันพยายามแก้ไขบทความของคุณบางอย่างขออภัยเกี่ยวกับเรื่องนี้ เพราะฉันค่อนข้างสนใจคำถามของคุณ แต่หลังจากการเปลี่ยนแปลงฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจความคิดของคุณถูกต้องหรือไม่ ดังนั้นคุณหมายถึงว่าคุณต้องการคำจำกัดความที่แน่นอนของ MSOL1 และการมีอยู่ของภาคแสดงและ FPT ของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพหรือไม่

— Hsien-Chih Chang 張顯之

M S O L_{1}

$MSOL_1$

ϕ (S)

$\phi(S)$

S

$S$

ϕ

$\phi$

_{n, p} (S)

$_{n,p}(S)$

S

$S$

ϕ (S)

$\phi(S)$

f (k) | V (G) |^{O (1)}

$f(k) |V(G)|^{O(1)}$

f

$f$

S

$S$

ϕ

$\phi$

ปริมาณหนังสือร่างของ Bruno Courcelle อาจเป็นประโยชน์: ดูlabri.fr/perso/courcell/ActSci.htmlภายใต้ "โครงสร้างกราฟและตรรกะลำดับที่สองแบบ monadic ซึ่งเป็นแนวทางเชิงทฤษฎีภาษา"

— András Salamon

ขอบคุณ; อย่างน้อยก็ตัดสินส่วนที่ 1) ของปัญหาเนื่องจากทฤษฎีบทของเขา 6.4 ในส่วนแรกของหนังสือบอกว่า: สำหรับทุกชุด จำกัด K และ L ของจุดยอดและป้ายชื่อขอบปัญหาการตรวจสอบรูปแบบของสูตรการนับ MSOL1 ได้รับการแก้ไข - พารามิเตอร์ลูกบาศก์เทียบกับพารามิเตอร์ cliquewidth (G) + ขนาดของสูตร

— Bart Jansen

คำตอบ:

หลังจากถามอีกสักครู่ดูเหมือนว่าคำตอบสำหรับ 1) และ 2) เป็นทั้งใช่ การเพิ่มประสิทธิภาพความสำคัญของเซตใน LinEMSOL (ดังที่ Martin Lackner พูดถึง) ดังที่ฉันได้รับแจ้งว่าการมีอยู่ของ cardinality predicates นั้นไม่มีปัญหาเนื่องจากสามารถจัดการได้อย่างมีประสิทธิภาพโดย automatons ต้นไม้ จำกัด ซึ่งควรปฏิบัติตาม (ชัดเจนกว่าในเอกสารอ้างอิงเดิม) จากOn parse trees และ Myhill-Nerode- พิมพ์เครื่องมือสำหรับการจัดการของกราฟ จำกัด จัดอันดับความกว้าง

— Bart Jansen
แหล่งที่มา

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics(2000).pdf (ซึ่งเป็นกระดาษที่คุณพูดถึง แต่เป็นรุ่นที่อ่านได้ดีกว่า) กำหนด LinEMSOL (คำจำกัดความ 10) LinEMSOL อนุญาตสำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสม MSO1 และ Theorem 4 ระบุว่าปัญหาดังกล่าวเป็นพารามิเตอร์ที่คงที่ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยคำนึงถึงความกว้างของกลุ่ม ดังนั้นคำตอบสำหรับคำถามที่สอง / คำถามของคุณควรเป็นใช่

เกี่ยวกับสัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยแรก: ใน "จุดสุดยอด - ผู้เยาว์, ตรรกะลำดับที่สองแบบ monadic และการคาดเดาโดย Seese" โดย Bruno Courcelle และ Sang-il Oum ผู้เขียนเขียนว่า "มันพิสูจน์ได้ว่าไม่มีสูตร MS φ (X) ในทุกโครงสร้างชุด X มีความสำคัญเชิงสถิติ [10] "โดยที่ [10] =" Courcelle, ตรรกะลำดับที่สองของกราฟแบบ monadic "

หวังว่าจะช่วย

— Martin Lackner
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับข้อมูลเชิงลึก แต่ความจริงที่ว่าไม่มีสูตร MS (โดยทั่วไป) สามารถแสดงได้ว่าชุดมีความผิดปกติแม้แต่น้อยนั้นไม่เกี่ยวข้องกันหรือไม่เนื่องจากคำถามนี้เกี่ยวกับการนับภาษา MSOL ซึ่งมีภาคแสดงพิเศษที่เพิ่มการทดสอบอย่างชัดเจน ของชุดโมดูโลบางจำนวนคงที่; ดังนั้นในภาษาการนับ MSOL จึงเป็นไปได้ที่จะแสดงความเป็นคู่ของเซตและคำถามคือเราสามารถหาเซตที่เล็กที่สุด / ใหญ่ที่สุดที่น่าพอใจประโยคหนึ่งในการนับ MSOL ที่กำหนดพารามิเตอร์โดย cliquewidth ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ขอขอบคุณ!

— Bart Jansen

คุณมีความถูกต้องแน่นอน ฉันแค่ต้องการทำให้ประเด็นที่กระดาษที่คุณกล่าวถึงไม่ครอบคลุม CMSOL (ฉันไม่ทราบผลลัพธ์ที่ทำเช่นนั้น)

— Martin Lackner