การขายของ Bob (การเรียงลำดับคู่ที่มีข้อ จำกัด เพื่อลดผลรวมของผลิตภัณฑ์)

ผมเคยถามคำถามนี้ในกองมากเกินขณะที่ผ่านมา: ขายของบ๊อบ: ปัญหา มีคนแนะนำการโพสต์คำถามที่นี่เช่นกัน

มีคนถามคำถามเกี่ยวกับปัญหานี้แล้ว - น้ำหนักต่ำสุดย่อยของ cardinality ที่กำหนด - แต่เท่าที่ฉันเข้าใจมันไม่ได้ช่วยฉันด้วยปัญหาของฉัน คำตอบที่ได้รับคะแนนสูงสุดใน StackOverflow ก็ควรพิจารณาเช่นกัน

ต่อไปนี้เป็นคำต่อคำของคำถาม StackOverflow ของฉัน อาจเป็นสูตรที่ไม่เหมาะสมสำหรับไซต์นี้ (เฮ้ฉันรู้สึกว่าไม่ได้รับการศึกษาเพียงแค่ขอจากที่นี่) ดังนั้นอย่าลังเลที่จะแก้ไข:

หมายเหตุ: นี่เป็นคำพูดที่เป็นนามธรรมของปัญหาชีวิตจริงเกี่ยวกับการสั่งซื้อบันทึกในไฟล์ SWF โซลูชันจะช่วยฉันปรับปรุงแอปพลิเคชันโอเพนซอร์ซ

Bob มีร้านค้าและต้องการขายสินค้า ร้านค้าของเขามีสินค้าจำนวนหนึ่งและเขามีหน่วยเป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่งของแต่ละผลิตภัณฑ์ในสต็อก นอกจากนี้เขายังมีป้ายราคาติดตั้งบนชั้นวางจำนวนมาก (มากที่สุดเท่าที่จำนวนผลิตภัณฑ์) โดยมีการพิมพ์ราคาลงบนพวกเขา เขาสามารถวางป้ายราคาใด ๆ ในผลิตภัณฑ์ใด ๆ (ราคารวมสำหรับหนึ่งรายการสำหรับสินค้าทั้งหมดของเขาของผลิตภัณฑ์นั้น) แต่สินค้าบางอย่างมีข้อ จำกัด เพิ่มเติม - ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวอาจไม่ถูกกว่าผลิตภัณฑ์อื่นบางอย่าง

คุณต้องหาวิธีจัดเรียงป้ายราคาเช่นว่าค่าใช้จ่ายโดยรวมของสินค้าทั้งหมดของบ๊อบต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ต้นทุนรวมคือผลรวมของป้ายราคาที่กำหนดของแต่ละผลิตภัณฑ์คูณด้วยปริมาณของผลิตภัณฑ์นั้นในสต็อก

ได้รับ:

• N - จำนวนของผลิตภัณฑ์และป้ายราคา
• S _i , 0≤ i <N - ปริมาณสินค้าในสต็อคที่มีดัชนีi (จำนวนเต็ม)
• P _j , 0≤ j <N - ราคาบนฉลากราคาพร้อมดัชนีj (จำนวนเต็ม)
• K - จำนวนคู่ข้อ จำกัด เพิ่มเติม
• A _k , B _k , 0≤ k <K - ดัชนีผลิตภัณฑ์สำหรับข้อ จำกัด เพิ่มเติม
  • ดัชนีผลิตภัณฑ์ใด ๆ อาจปรากฏขึ้นหนึ่งครั้งใน B ดังนั้นกราฟที่เกิดขึ้นจากรายการ adjacency นี้เป็นชุดของต้นไม้ที่กำกับ

โปรแกรมจะต้องค้นหา:

• M _i , 0≤ i <N - การแมปจากดัชนีผลิตภัณฑ์ไปยังดัชนีป้ายราคา (P _{M i}คือราคาของผลิตภัณฑ์i )

เพื่อตอบสนองเงื่อนไข:

1. P _{M A k} ≤ P _{M B k} , สำหรับ0≤ k <K
2. Σ (S _i × P _{M i} ) สำหรับ0≤ i <N นั้นน้อยมาก

โปรดทราบว่าหากไม่ใช่เงื่อนไขแรกโซลูชันจะทำการเรียงลำดับฉลากตามราคาและผลิตภัณฑ์ตามปริมาณและจับคู่ทั้งสองโดยตรง

ค่าทั่วไปสำหรับอินพุตจะเป็น N, K <10,000 ในปัญหาในชีวิตจริงมีแท็กราคาที่แตกต่างกันเพียงไม่กี่ (1,2,3,4)

นี่คือตัวอย่างหนึ่งว่าทำไมโซลูชั่นที่ง่ายที่สุด (รวมถึงการจัดเรียงโทโพโลยี) ไม่ทำงาน:

$\$$$\$$

ทางออกที่ดีที่สุดคือ:

Price, $   1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
Qty        9  8  7  6  1 10  5  4  3  2

$\$$

ฉันยังโพสต์สิ่งนี้กับคำถามเดิมของคุณใน Stack Overflow:

ปัญหาคือ NP-complete สำหรับเคสทั่วไป สิ่งนี้สามารถแสดงได้ผ่านการลดขนาดพาร์ติชั่น 3 ตัว (ซึ่งเป็นเวอร์ชั่นที่สมบูรณ์ของการบรรจุถังขยะรุ่น NP)

ให้w ₁ , ... , w _nเป็นน้ำหนักของวัตถุของอินสแตนซ์ 3 พาร์ติชัน, ให้bเป็นขนาดของ bin และ k = n / 3จำนวนของถังขยะที่ได้รับอนุญาตให้เติม ดังนั้นจึงมี 3- พาร์ติชันหากวัตถุสามารถแบ่งพาร์ติชันดังกล่าวว่ามี 3 วัตถุต่อ bin

สำหรับการลดลงเราตั้งค่า N = kbและแต่ละ bin จะถูกแสดงด้วยป้ายราคาbของราคาเดียวกัน (คิดว่า P _iเพิ่มขึ้นทุกป้ายที่b ) ขอที_ฉัน , 1≤ ฉัน ≤ kเป็นราคาของฉลากที่สอดคล้องกับฉัน bin TH สำหรับแต่ละW _ฉันเรามีหนึ่งผลิตภัณฑ์ S _JปริมาณW _ฉัน + 1 (ช่วยให้เรียกสิ่งนี้ว่าผลิตภัณฑ์รากของW _ฉัน ) และอีกW _ฉัน - 1ผลิตภัณฑ์ปริมาณ 1 ซึ่งจะต้องมีราคาถูกกว่า S _J (เรียกผลิตภัณฑ์เหล่านี้ลา)

สำหรับเสื้อ_ฉัน = (2b + 1) ^ฉัน , 1≤ ฉัน ≤ kมีพาร์ทิชัน 3 และถ้าหากบ๊อบสามารถขาย2b Σ _{1≤ ฉัน ≤ k} T _ฉัน :

• หากมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ 3 พาร์ติชันผลิตภัณฑ์bทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับวัตถุw _i , w _j , w _lที่กำหนดให้กับถังขยะเดียวกันสามารถติดป้ายกำกับด้วยราคาเดียวกันโดยไม่ละเมิดข้อ จำกัด ดังนั้นวิธีการแก้ปัญหามีค่าใช้จ่ายที่ 2b Σ _{1≤ ฉัน ≤ k} T _ฉัน (ตั้งแต่ปริมาณรวมของผลิตภัณฑ์ที่มีราคาที_ฉันเป็น2b )
  
• พิจารณาทางออกที่ดีที่สุดของ Bob's Sale แรกสังเกตว่าในการแก้ปัญหาใด ๆ มากกว่า 3 ผลิตภัณฑ์รากแบ่งปันป้ายราคาเดียวกันสำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ดังกล่าวที่ "มากเกินไป" มีป้ายราคาที่ถูกกว่าซึ่งติดอยู่กับผลิตภัณฑ์รากน้อยกว่า 3 สิ่งนี้เลวร้ายยิ่งกว่าวิธีแก้ปัญหาใด ๆ เพราะมีผลิตภัณฑ์ 3 รายการต่อฉลากราคา (ถ้ามี)
  ขณะนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาของ Bob's Sale ที่มี 3 ป้ายชื่อรูทต่อราคา แต่ผลิตภัณฑ์ที่ลาของพวกเขาไม่ได้ใส่ป้ายราคาเดียวกัน (ถังเรียงลำดับของการไหลผ่าน) สมมติว่าป้ายราคาสินค้าที่แพงที่สุดนั้นเป็นผลิตภัณฑ์รูทของw _ฉันซึ่งมีผลิตภัณฑ์ลาแท็กที่ถูกกว่า นี่หมายความว่า 3 รูทเลเบลw _i , w _j , w _lแท็กที่มีราคาแพงที่สุดไม่ได้เพิ่มขึ้นถึงข ดังนั้นค่าใช้จ่ายทั้งหมดของผลิตภัณฑ์ที่มีแท็กราคานี้เป็นอย่างน้อย2b + 1
  ดังนั้นโซลูชันดังกล่าวจึงมีต้นทุนt _k (2b + 1) + ต้นทุนการมอบหมายอื่น ๆ เนื่องจากค่าใช้จ่ายที่ดีที่สุดสำหรับอยู่ 3 พาร์ทิชัน2b Σ _{1≤ ฉัน ≤ k} T _ฉันเราจะต้องแสดงให้เห็นว่ากรณีการพิจารณาเพียงแค่จะเลวร้ายยิ่ง เป็นกรณีนี้ถ้าเสื้อ_k > 2b Σ _{1≤ ฉัน ≤ K-1} เสื้อ_ฉัน (หมายเหตุว่ามันเป็นK-1ในผลรวมในขณะนี้) การตั้งค่าที_ฉัน= (2b + 1)^ฉัน , 1≤ ฉัน ≤ k , เป็นกรณีนี้ สิ่งนี้ถือได้ว่าไม่ใช่แท็กราคาที่แพงที่สุดคือ "เลว" แต่อย่างใด

ดังนั้นนี่คือส่วนที่ทำลายล้าง ;-) อย่างไรก็ตามหากจำนวนแท็กราคาแตกต่างกันเป็นค่าคงที่คุณสามารถใช้การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเพื่อแก้ปัญหาในเวลาพหุนาม

นี่คือการติดตามคำตอบของ Geroคำตอบความคิดคือการปรับเปลี่ยนการก่อสร้างของเขาเพื่อแสดงความแข็ง NP ที่แข็งแกร่ง

$t_i=(2b+1)^i$$t_i=i$$P=2b\sum_{1\leq i \leq k} t_i$แปลว่ามีพาร์ติชั่น 3 ตัว

$w_i-1$$P$$P$

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับรางวัลที่อ้างสิทธิ์เท่านั้นหากผลิตภัณฑ์ใบไม้ทั้งหมดมีรางวัลเดียวกันกับผลิตภัณฑ์รากซึ่งหมายความว่ามีพาร์ติชัน 3 ส่วน

$k$$f(k)\cdot n^{O(1)}$$n^{O(k)}$

รวมทั้งโพสต์ข้ามไปยังคำถามสแต็ค - โอเวอร์โฟลว์เดิม

ฟังดูเหมือนคำถามทฤษฎีการเล่นเกม ในกรณีดังกล่าววิธีการแก้ปัญหาแบบบังคับกำลังแบบง่าย ๆ คือ

ให้เราสมมติว่าข้อ จำกัด เป็นตัวแทนของรูปแบบคงที่

S-> AkSBk | AkBkS | SAkBk

การแก้ปัญหาคือการเพิ่มข้อ จำกัด ก่อนแล้วจึงองค์ประกอบ เช่นให้เราบอกว่า n = 10 และมีข้อ จำกัด 2 ข้อคือ A1B1 และ A2B2 จากนั้นมีลูกสามคนไปที่โหนดรูท (ระดับ 2) แต่ละโหนด 3 โหนดเหล่านี้จะมีลูก 7 ระดับระดับ 3 แต่ละโหนดมี 21 ลูกที่ระดับ 4 เป็นต้นโดยพื้นฐานแล้วคุณจะต้องใช้ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด

                A1B1 --- ระดับ 1 
               / | \
              / | \
             / | \
            / | \
    A1A2B2A1 A1B1A2B2 A2B2A1B1 --- ระดับ 2

และปลูกต้นไม้ แม้ว่าในตอนแรกดูเหมือนว่าจะเป็นทางออกที่น่ากลัว แต่ฉันรู้สึกว่าคุณสามารถละทิ้งใบที่มีราคาแพงมากด้วยการใช้ฮิวริสติกและการตัดแต่งกิ่ง ...