บรรจุสี่เหลี่ยมลงในรูปหลายเหลี่ยมนูน แต่ไม่มีการหมุน

ฉันสนใจปัญหาของการบรรจุสำเนาที่เหมือนกันของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (2 มิติ) ลงในรูปหลายเหลี่ยมนูน (2 มิติ) โดยไม่ทับซ้อนกัน ในปัญหาของฉันคุณไม่ได้รับอนุญาตให้หมุนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามารถสันนิษฐานได้ว่าพวกมันวางขนานกับแกน คุณได้รับขนาดของสี่เหลี่ยมและจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมและถามว่าคุณสามารถบรรจุสำเนาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมือนกันจำนวนเท่าไรลงในรูปหลายเหลี่ยมได้ หากคุณได้รับอนุญาตให้หมุนรูปสี่เหลี่ยมปัญหานี้เป็นที่รู้กันว่า NP- ยากฉันเชื่อว่า อย่างไรก็ตามสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันถ้าคุณไม่สามารถ? ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนูนออกมาเป็นแค่สามเหลี่ยม? มีวิธีการประมาณที่รู้จักกันดีหรือไม่หากปัญหานั้นเกิดจากปัญหา NP-hard

สรุปจนถึงปัจจุบัน (21 มีนาคม '11) Peter Shor สังเกตว่าเราสามารถพิจารณาว่าปัญหานี้เป็นหนึ่งในหน่วยบรรจุสี่เหลี่ยมในรูปหลายเหลี่ยมนูนและปัญหานั้นอยู่ใน NP หากคุณกำหนดจำนวนพหุนามที่ถูกผูกไว้กับจำนวนสี่เหลี่ยม / สี่เหลี่ยมที่จะบรรจุ Sariel Har-Peled ชี้ให้เห็นว่ามี PTAS สำหรับกรณีที่ จำกัด ด้วยพหุนามเดียวกัน อย่างไรก็ตามโดยทั่วไปจำนวนสแควร์สที่บรรจุสามารถเป็นเลขชี้กำลังในขนาดของอินพุตซึ่งประกอบด้วยรายการจำนวนเต็มคู่สั้น ๆ เท่านั้น ดูเหมือนคำถามต่อไปนี้จะเปิด

รุ่นที่ไม่มีขีด จำกัด เต็มรูปแบบใน NP หรือไม่ มี PTAS สำหรับรุ่นที่ไม่มีข้อ จำกัด หรือไม่ เป็นกรณีที่ถูกจำกัดความโดยพหุนามใน P หรือ NPC หรือไม่? และสิ่งที่ฉันชอบส่วนตัวคือปัญหาง่ายขึ้นหรือไม่ถ้าคุณ จำกัด ตัวเองให้บรรจุหน่วยสี่เหลี่ยมลงในรูปสามเหลี่ยม?

ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยเลือกจำนวนจุดสูงสุดภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนออกมาเช่นว่าทุกคู่อยู่ในระยะทาง (ภายใต้เมตริก) อย่างน้อย1จากกันและกัน (แค่คิดถึงจุดศูนย์กลางของช่องสี่เหลี่ยม) . ในทางกลับกันนี้เกี่ยวข้องกับปัญหาเดียวกันโดยที่หนึ่งใช้ระยะทางแบบยุคลิดแบบปกติ นี่คือสิ่งที่เกี่ยวข้องกับการประกบที่หนึ่งมีความสนใจในการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมในภูมิภาคที่ประพฤติอย่างดี (เช่นคุณใช้แผนภาพ Voronoi ของศูนย์ [ดู Centroidal Voronoi tessellations])$L_\infty$$1$

อย่างไรก็ตาม a - การประมาณนั้นค่อนข้างง่าย คุณสุ่มเลื่อนตารางของ sidelength O ( 1 / ε ) คลิปรูปหลายเหลี่ยมลงในตารางและแก้ปัญหาภายในจุดตัดของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละชิ้นด้วยตารางโดยใช้กำลังดุร้าย อัลกอริธึมที่ใช้เวลารันO ( M ∗ n o i s e ( ϵ ) )ควรติดตามได้อย่างง่ายดายโดยที่Mคือจำนวนคะแนน (เช่นสี่เหลี่ยม) และn o i s e ( ϵ $(1-\epsilon)$$O(1/\epsilon)$$O(M*noise(\epsilon))$$M$$noise(\epsilon)$เป็นฟังก์ชันที่น่ากลัวที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น$\epsilon$

เอกสารทั้งสองนี้กล่าวถึงปัญหาของคุณ:

EG Birgin และ RD Lobato, " บรรจุมุมฉากของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมือนกันภายในภูมิภาคนูน isotropic ", คอมพิวเตอร์และวิศวกรรมอุตสาหการ 59, pp. 595-602, 2010 

EG Birgin, JM Martínez, FH Nishihara และ DP Ronconi, " การบรรจุมุมฉากของสิ่งของสี่เหลี่ยมภายในภูมิภาคโดยพลการโดยการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่เชิงเส้น ", การวิจัยคอมพิวเตอร์และการปฏิบัติการ 33, pp. 3535-3548, 2006

Peter Shor สังเกตว่าการ rescaling ปัญหานี้กลายเป็นเรื่องของการบรรจุหน่วยสี่เหลี่ยมลงในรูปหลายเหลี่ยมนูน

แก้ไข: ส่วนที่เหลือของคำตอบนี้ใช้ไม่ได้เนื่องจากจะลดข้อกำหนดที่ระบุไว้อย่างชัดเจนว่ารูปร่างที่จะบรรจุมีขนาดเท่ากันทั้งหมด

คำถามที่เกี่ยวข้องNP-Hardness ของกรณีพิเศษของปัญหาบรรจุหีบห่อแบบ orthogonalกล่าวถึงกระดาษพร้อมผลลัพธ์ที่จำเป็นสำหรับคำถามแรก:

• บรรจุสี่เหลี่ยมลงในจตุรัส Joseph YT เหลียง, ทอมมี่ดับบลิว Tam ลูกค้าวงศ์, กิลเบิร์เอชหนุ่มและฟรานซิ YL คางวารสารขนานและ Distributed Computing 10 271-275 ( ลิงก์ )

จากกระดาษ:

เราแสดงให้เห็นว่าปัญหาการบรรจุแบบสี่เหลี่ยมนั้นสมบูรณ์แบบอย่างยิ่ง NP โดยการลดปัญหา 3 พาร์ติชันลงไป

ดังนั้นปัญหาคือ NP-hard แม้สำหรับกรณีพิเศษที่รูปสี่เหลี่ยมที่จะบรรจุคล้ายกับคอนเทนเนอร์ (ไม่เหมือนผู้เขียนบทความนี้ฉันไม่มั่นใจอย่างสมบูรณ์ว่าปัญหาอยู่ใน NP เนื่องจากตำแหน่งอาจต้องระบุความแม่นยำจำนวนมากซึ่งอาจทำให้การตรวจสอบไม่มีพหุนามในขนาดอินพุตอีกต่อไป )

บางทีบทความนี้อาจเป็นที่สนใจสำหรับคุณ:

เรียงรูปหลายเหลี่ยมที่มีสี่เหลี่ยมโดย Kenyon & Kenyon ใน FOCS 92

หากรูปหลายเหลี่ยมที่คุณต้องการแพ็คนั้นไม่จำเป็นต้องนูนออกมาฉันคิดว่าปัญหากลายเป็นปัญหาแบบ NP-hard นี่คือหลักฐานที่สมบูรณ์มาก การลดลงมาจากปัญหาประเภท Planar-3-SAT สำหรับตัวแปรแต่ละตัวคุณสามารถมีตำแหน่ง 1.1 x 1 ได้ขึ้นอยู่กับพื้นที่ที่คุณวางหนึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งจะกำหนดว่าตัวแปรของคุณเป็นเท็จหรือไม่ นอกจากนี้หากคุณออกจากพื้นที่. 1 ซ้าย / ขวาคุณสามารถย้ายสี่เหลี่ยมอีกสองช่องเข้าไปข้างในได้อีกเล็กน้อยและข้างหลังพวกเขาในที่สุดก็ให้พื้นที่ว่างอีก. 1 ที่อื่นที่รวมกันมีผลต่อสี่สี่เหลี่ยมเป็นต้น หลังจากที่คุณมีสำเนามากที่สุดเท่าที่เกิดขึ้นของตัวอักษรที่เกี่ยวข้องคุณเชื่อมต่อท่อเหล่านี้ไปยังส่วนคำสั่งที่เกี่ยวข้องและมีการใช้แกดเจ็ตที่คล้ายกันอีกครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าจากสามหลอด ingoing อย่างน้อยหนึ่งต้องมีพื้นที่พิเศษ. 1