โปรแกรม GCT ของ Mulmuley

บางครั้งก็อ้างว่าทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตของ Ketan Mulmuley เป็นโปรแกรมที่มีเหตุผลเพียงอย่างเดียวสำหรับการตั้งคำถามเปิดของทฤษฎีความซับซ้อนเช่น P กับคำถาม NP มีข้อคิดเห็นเชิงบวกหลายประการจากนักทฤษฎีความซับซ้อนที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับโปรแกรม ตาม Mulmuley มันจะใช้เวลานานเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ การเข้าสู่พื้นที่นั้นไม่ใช่เรื่องง่ายสำหรับนักทฤษฎีความซับซ้อนทั่วไปและต้องการความพยายามอย่างมากในการจัดการกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทน

1. ทำไม GCT จึงถูกพิจารณาว่ามีความสามารถในการชำระ P vs. NP? มูลค่าของการเรียกร้องคืออะไรหากคาดว่าจะใช้เวลานานกว่า 100 ปีกว่าจะถึงที่นั่น? อะไรคือข้อดีของวิธีการปัจจุบันอื่น ๆ และสิ่งที่อาจเพิ่มขึ้นในอีก 100 ปีข้างหน้า?

2. สถานะปัจจุบันของโปรแกรมคืออะไร?

3. เป้าหมายต่อไปของโปรแกรมคืออะไร?

4. มีการวิจารณ์พื้นฐานของรายการหรือไม่?

ฉันต้องการคำตอบที่เข้าใจได้โดยนักทฤษฎีความซับซ้อนทั่วไปที่มีพื้นฐานน้อยที่สุดจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทน

ดังที่คนอื่นหลายคนชี้ให้เห็นแล้วมีการพูดถึงคำถามเหล่านี้มากมายโดย Mulmuley, Regan และคนอื่น ๆ ฉันจะเสนอที่นี่โดยย่อสรุปสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นประเด็นสำคัญที่ยังไม่ได้กล่าวถึงในความคิดเห็น

1. สำหรับเหตุผลที่ GCT ถูกพิจารณาว่ามีความสามารถในการแสดงได้คำตอบมากมายแล้วในที่อื่นและในความคิดเห็นข้างต้นถึงแม้ว่าฉันคิดว่ายังไม่มีใครพูดถึงมันเพื่อหลีกเลี่ยงอุปสรรคที่เป็นที่รู้จัก (relativization ) คุณค่าของมัน - ฉันคิดว่าแม้ว่าเราจะใช้เวลา 100 ปีเราก็จะได้เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับความซับซ้อนไปพร้อมกันโดยศึกษาจากมุมนี้$P \neq NP$

2. • ความก้าวหน้าบางอย่างเกิดขึ้นจากการทำความเข้าใจเกี่ยวกับพีชคณิตหลากหลายรูปแบบการนำเสนอและคำถามเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่เกิดขึ้นใน GCT นักวิจัยหลักที่ฉันรู้ว่าใครได้ทำงานในเรื่องนี้คือ: (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในลำดับ): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Manivel, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar และแน่นอน K. Mulmuley และ M. Sohoni

   • เป็นรูปธรรมมากขึ้น Burgisser และ Ikenmeyer เพิ่งนำเสนอ (STOC 2011) ขอบเขตที่ต่ำกว่าเล็กน้อยในการคูณเมทริกซ์โดยใช้วิธี GCT (เมื่อเทียบกับที่รู้จักกันดีในปัจจุบัน ) แม้ว่าขอบเขตล่างเหล่านี้ไม่ใช่ขอบเขตใหม่ แต่อย่างน้อยก็ให้การพิสูจน์แนวคิดในการที่วัตถุทางทฤษฎีการแทนสมมุติฐานที่มีอยู่ใน GCT มีอยู่สำหรับขอบเขตล่างที่ต่ำกว่าในปัญหาแบบจำลองนี้$n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal มีเอกสารสองสามข้อเกี่ยวกับคำถามอัลกอริทึมของการทดสอบเมื่อพหุนามหนึ่งอยู่ในวงโคจรของอีกวงหนึ่งหรือเป็นอีกมุมหนึ่ง เขาแสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วปัญหาเหล่านี้คือ NP-hard แต่สำหรับฟังก์ชั่นพิเศษอย่างถาวร, ดีเทอร์มิแนนต์, และพหุนามแบบสมมาตรระดับประถม, ปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ใน P นี่คือขั้นตอนต่อการคาดเดาของclosure - อยู่ใน P สำหรับฟังก์ชั่นพิเศษเช่นดีเทอร์มิแนนต์

3. ฉันไม่เจาะจงที่จะพูดมากกว่านี้มากกว่าคำตอบที่ 2

4. เท่าที่ฉันรู้ว่ายังไม่มีการวิจารณ์ขั้นพื้นฐานในแง่ที่ว่าฉันไม่เคยเห็นคำวิจารณ์ใด ๆ ที่น่าเชื่อถือโปรแกรมในทางใดทางหนึ่ง มีการถกเถียงกันอย่างแน่นอนว่าทำไมเทคนิคเหล่านี้ควรมีความจำเป็นคุณค่าของโปรแกรมที่คาดว่าจะเปิดโลกทัศน์มาเป็นเวลานาน แต่ฉันจะอธิบายลักษณะเหล่านี้ว่าเป็นการอภิปรายที่ดีกว่าการวิจารณ์ขั้นพื้นฐาน

ฉันคิดว่าบทความนี้โดย Ketan D. Mulmuley จะตอบคำถามอย่างน้อย # 1 (อาจเป็น 2) เกี่ยวกับ P vs. NP และทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิต