แนวคิดเชิงทอพอโลยีในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์

คำถาม: อะไรคือการประยุกต์ที่สำคัญหรือเป็นระบบของคณิตศาสตร์หลังยุค 1960 กับเศรษฐศาสตร์จุลภาค?

ตัวอย่างเช่นในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ฟิชเชอร์ใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของกิ๊บส์เพื่อสร้างทฤษฎียูทิลิตี้สมัยใหม่ ในศตวรรษที่ 20 Mas-Colell ได้รวมแนวคิดทางโทโพโลยีเพื่อศึกษาความสมดุลทั่วไป แล้วประมาณปลายศตวรรษที่ 20 ต้นศตวรรษที่ 21 ล่ะ?

ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาทฤษฎีกราฟกำกับทฤษฎีการวัดทอพอโลยีทฤษฎีหมวดหมู่และโฮโมโลยีหรือโฮโมโลจี้สมัยใหม่วิธีโทโปสการรวมฟังก์ชัน ฯลฯ

หมายเหตุ 1 : ไม่รวมเศรษฐศาสตร์ / สถิติโดยไม่มีการสร้างแบบจำลอง มีเพียงคณิตศาสตร์สมัยใหม่เท่านั้นที่มีทฤษฎีการเดินแบบสุ่มและปัญหาเกี่ยวกับอัตลักษณ์ได้รับการแก้ไขผ่านการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน RW และ EP ไม่เฉพาะเจาะจงกับเศรษฐศาสตร์

สิ่งพิมพ์ทางเศรษฐศาสตร์ที่เหมาะสมคือคำตอบ นอกจากนี้ยังรวมถึงผู้ที่ตีพิมพ์ในไม่ใช่อย่างเคร่งครัดเศรษฐศาสตร์วารสารเช่นวารสารจิตวิทยาคณิตศาสตร์

หมายเหตุ 2 : ใช่ฉันรู้ว่างานประเภทนี้หายาก (เพื่อไม่ให้สับสนกับความสับสน: เป็นที่รู้จักกันดี) นั่นคือสิ่งที่ทำให้พลาดการอ้างอิงได้ง่ายเมื่อมีการเผยแพร่ ดังนั้นคำถาม

ฉันสงสัยอย่างยิ่งว่าพื้นที่สำคัญที่เกิดขึ้นใหม่สำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีการวัดจะอยู่ในเทคนิคการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยประมาณ การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยประมาณ (aka "การเรียนรู้การเสริมแรง" ในวรรณคดีวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์) เป็นทิศทางของงานวิจัยในช่วง 10-20 ปีที่ผ่านมาของวรรณกรรมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก เศรษฐศาสตร์เพิ่งเริ่มนำความก้าวหน้าเหล่านี้มาใช้ ตัวอย่างของทิศทางของวรรณคดี DP ดูการขยายฉบับที่ 4ล่าสุดของ Bertsekas ของชุดการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกหรือDP ประมาณของ Powell DP: การแก้คำสาปแห่งมิติ. นักเศรษฐศาสตร์เพิ่งเริ่มหยิบเครื่องมือเหล่านี้ทั้งทางตรงและทางอ้อมและฉันสงสัยว่าพวกเขาจะมีผลกระทบเพิ่มขึ้นในวรรณคดีในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า พื้นหลังการวิเคราะห์บางส่วนสำหรับการลู่เข้าของวิธีการเหล่านี้คือทอพอโลยีและระบบพลวัต

ตัวอย่างที่ดีของการมีส่วนร่วมทางทฤษฎีของวรรณคดีประเภทนี้จากนักเศรษฐศาสตร์คือPálและ Stachurski (2013), ฟังก์ชั่นค่าที่เหมาะสมซ้ำกับความน่าจะเป็นหนึ่งหดตัว (ฉบับไม่มีการดัดแปลงที่นี่ ) อ่านบทความนั้นและคุณสามารถเห็นความสำคัญของการเข้าใจทฤษฎีการวัดได้เป็นอย่างดี หนังสือDynamics ทางเศรษฐกิจของ Stachurski เป็นงานแสดงสินค้าเชิงพลวัตที่ดีมากจากมุมมองนี้ซึ่งสร้างขึ้นเพื่อใช้กับนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา / มืออาชีพหลายระดับ (ทฤษฎีการวัดมาในตอนท้ายที่ฉันเชื่อว่า - ฉันยังทำงานต่อ ข้อมูลเชิงลึกเหล่านั้น)

หวังว่านี่จะตอบคำถามของคุณในระดับหนึ่ง ฉันกลัวว่าวลี "คณิตศาสตร์ช่วงหลังปี 1960" ค่อนข้างคลุมเครือสำหรับฉัน (เนื่องจากฉันไม่มีความรู้ด้านประวัติศาสตร์ของวรรณคดีคณิตศาสตร์) ดังนั้นถ้าฉันพลาดเครื่องหมายไปอย่างสิ้นเชิงฉันขอโทษ!

นี่นานเกินไปสำหรับความคิดเห็น "โพสต์ 1960" ดูเหมือนจะเป็นแถบที่มีกฎเกณฑ์และสูงมากสำหรับฟิลด์ที่ใช้รวมถึงทฤษฎีไมโคร หัวข้อส่วนใหญ่ที่คุณตั้งชื่อจะไม่ถือเป็นคณิตศาสตร์ร่วมสมัย ตัวอย่างเช่นทฤษฎีการวัดเริ่มต้นด้วยวิทยานิพนธ์ของ Lebesgue และมีอายุมากกว่าหนึ่งศตวรรษ โทโพโลยีนั้นเก่ากว่าและเริ่มต้นด้วย Poincare ซึ่งแนะนำกลุ่มของโฮโมโลยี ทั้งสองได้รับการสอนให้เป็นนักศึกษาปริญญาตรีในปัจจุบันเช่นแคลคูลัส (คณิตศาสตร์ที่ใช้โดย Mas-Colell และคณะใน GE เป็นการวิเคราะห์มากกว่าทอพอโลยี)

ความเป็นนิรันดร์ของโปรแกรมวิจัยที่ขับเคลื่อนคณิตศาสตร์สมัยใหม่ตั้งแต่กลางศตวรรษที่ 20 ไปจนถึงชุมชนประยุกต์นั้นเป็นสิ่งที่ดีที่สุด มุมมองและเทคนิคที่ได้รับแรงบันดาลใจจากตัวอย่างเช่นรูปทรงที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยน, โปรแกรมของ Langland, การคาดคะเนของ Poincare, การคาดเดาของ Baum-Connes, การคาดเดาคู่ที่สำคัญ --- อาจจะไม่เคยเห็นนอกคณิตศาสตร์ แน่นอนว่าการเงินของคณิตศาสตร์ยังคงเป็นคณิตศาสตร์อยู่ แต่มันก็ถูกลบออกไปจากมุมมองทางเศรษฐกิจ

แก้ไขปรากฎว่าการตอบคำถามของคุณโดยตรงมีการประยุกต์โทโพโลยีกับทฤษฎีทางเลือกทางสังคมซึ่งริเริ่มโดย Chichilnisky และอื่น ๆ อัล นี่คือบทความ JET ในหัวข้อโดยนักทอพอโลยี:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf

บางทีคนที่มีความเชี่ยวชาญด้านโทโพโลยีสามารถแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมได้

พื้นที่ Loebถูกใช้เพื่อจำลองสถานการณ์ด้วยเอเจนต์ต่อเนื่อง ดูhttp://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdfและบทโดย Sun ในการใช้งานทางเศรษฐกิจในหนังสือเล่มนี้ไม่เป็นมาตรฐานการวิเคราะห์สำหรับนักคณิตศาสตร์ทำงาน

ทฤษฎีการวัดถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในปัญหาการแบ่งงาน (หรือที่เรียกว่า "การตัดเค้ก") ดูหลายเอกสารเกี่ยวกับความเป็นธรรมในทางเศรษฐศาสตร์วารสาร

ยกตัวอย่างเช่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งให้ดูTatsuro Ichiishi และอดัม Idzik "จัดสรรธรรมของสินค้าหาร" JME 1999

นอกเหนือจากงานของ Chichilnisky ที่กล่าวถึงโดย Michael การใช้ topology ในทฤษฎีทางเลือกทางสังคมที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่งก็ปรากฏในผลงานของ Redekop on theemem theorem บนขอบเขตทางเศรษฐกิจ

• Redekop, J. (1991) สวัสดิการสังคมทำหน้าที่ในขอบเขตทางเศรษฐกิจที่ จำกัด วารสารเศรษฐศาสตร์ทฤษฎี, 53, 396–427
• Redekop, J. (1993a) ลูกศรโดเมนเศรษฐกิจที่ไม่สอดคล้องกัน การเลือกและสวัสดิการทางสังคม, 10, 107–126
• Redekop, J. (1993b) โทโพโลยีแบบสอบถามในบางพื้นที่ของการตั้งค่าทางเศรษฐกิจ วารสารเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์, 22, 479–494
• Redekop, J. (1993c) หน้าที่สวัสดิการสังคมในขอบเขตตัวแปร การเลือกและสวัสดิการทางสังคม, 10, 127–148
• Redekop, J. (1995) ทฤษฎีลูกศรในสภาพแวดล้อมทางเศรษฐกิจ ใน WA Barnett, H. Moulin, M. Salles, & NJ Schofield (Eds.), การเลือกทางสังคม, สวัสดิการและจริยธรรม (หน้า 163–185) Cambridge: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• Redekop, J. (1996) ทฤษฎีบทลูกศรในสินค้าผสม, สุ่ม, และสภาพแวดล้อมทางเศรษฐกิจแบบไดนามิก การเลือกและสวัสดิการทางสังคม, 13, 95–1212

ทฤษฎีบทของลูกศรที่เป็นไปไม่ได้นั้นได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นชุดของทางเลือกที่เป็นนามธรรม คำถามที่ Redekop (และอื่น ๆ ) ถามคือ: มีทฤษฎีบทของ Arrow เมื่อทางเลือกเป็นชุดของสินค้าและตัวแทนมีการตั้งค่า "คลาสสิค" มากกว่าสินค้าเหล่านั้น (monotonic, นูน, ต่อเนื่อง, เห็นแก่ตัว, ... )

อีกอย่างแม่นยำคำถามก็คือว่าจะมีการจัดสวัสดิการสังคมที่น่าพอใจทั้งสาม Arrovian สัจพจน์ (ความเป็นอิสระของผู้ที่เกี่ยวข้องทางเลือกอ่อนแอพาเรโตและไม่ใช่เผด็จการ -) บนโดเมนเศรษฐกิจเหล่านี้ (ดูเลอเบรอตงมิเชลและจอห์น. บทที่สิบเจ็ด - Arrovian ทฤษฎีทางเลือกทางสังคมในเขตเศรษฐกิจ "คู่มือการเลือกทางสังคมและสวัสดิการ 2 (2011): 191-2993 สำหรับการทบทวนที่ดีซึ่งคำตอบนี้ขึ้นอยู่กับ)

ผลงานของ Redekop แสดงให้เห็นว่าสำหรับปัญหาทางเศรษฐกิจบางอย่างหากโดเมนของความพึงพอใจยอมรับหน้าที่สวัสดิการสังคมของ Arrovian โดเมนจะต้อง "เล็ก" ในแง่ของทอพอโลยี ตัวอย่างเช่นใน Redekop (1991) เขาแนะนำโทโพโลยีที่แยบยลในชุดของการตั้งค่าที่เขาขนานนามแบบสอบถามทอพอโลยีและแสดงให้เห็นว่าในเศรษฐกิจสินค้าสาธารณะหากโดเมนของการตั้งค่ายอมรับการทำงานสวัสดิการสังคม Arrovian โดเมนต้อง จะไม่มีที่ไหนเลยหนาแน่นตามโครงสร้างนี้ (เช่นการปิดของโดเมนไม่มีชุดเปิด)